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Lição de casa da aula: Sucessões Convergentes e Divergentes Mathematics • 3º Ano

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar se uma sequência é convergente ou divergente.

Q1:

Utilizando o gráfico de 𝑦=1𝑥 na figura, definimos 𝑎 para ser a área sombreada. Isto dá um termo da sequência 𝑎.

Utilizando uma integral, dê uma expressão exata para 𝑎.

  • A(1+2++𝑛)+(𝑛+1)ln
  • B(1+2++𝑛)(𝑛+1)ln
  • C1+12++1𝑛(𝑛+1)ln
  • D1+12++1𝑛(𝑛1)ln
  • E1+12++1𝑛+(𝑛+1)ln

A sequência 𝑎 é claramente crescente. O que diz o retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 sobre o tamanho de 𝑎?

  • A𝑎<45
  • B𝑎>45
  • C𝑎=45
  • D𝑎1

O que, portanto, você pode dar como um limite superior em todos os 𝑎?

O que você pode concluir sobre a sequência 𝑎?

  • ANão podemos concluir nada.
  • BÉ divergente.
  • CSeus termos são eventualmente maiores que 1.
  • DÉ convergente.
  • EConverge para 1.

Q2:

Seja 𝑁(𝑥)=𝑥+32𝑥.

Defina 𝑁(𝑥)=𝑁(𝑥) arredondado para 6 casas decimais. Agora seja 𝑥=1, 𝑥=𝑁(𝑥)=2,000000, 𝑥=𝑁(𝑥)=1,750000, e assim por diante. A sequência {𝑥} é eventualmente constante. Em que valor isso está?

Com 𝑁(𝑥)=𝑁(𝑥) arredondado para 10 casas decimais, qual é o limite, 𝑛, da sequência dado por 𝑥=1 e 𝑥=𝑁(𝑥) para 𝑛1?

Se 𝑎𝑧 como 𝑛, então, pela continuidade de 𝑁, 𝑎=𝑁(𝑎)𝑁(𝑧). Então 𝑁(𝑧)=𝑧. O que 𝑧 seria?

  • A5
  • B2
  • C3

Q3:

Utilizando a indução, mostre que a sequência 1;2;7;37+1;337+1+1; é crescente e limitada, e encontre o limite da sequência.

  • A3+52
  • B3+132

Q4:

Considere a sequência (𝑢) dada por 𝑢=2𝑛+35𝑛+6𝑛.

Indique os primeiros 5 termos da sequência. Se necessário, arredonde suas respostas para 3 casas decimais.

  • A0, 0,455, 0,183, 0,124, 0,095
  • B0, 0,205, 0,17, 0,159, 0,153
  • C0,455, 0,183, 0,124, 0,095, 0,077
  • D0,455, 0,318, 0,273, 0,25, 0,236
  • E0,205, 0,17, 0,159, 0,153, 0,15

Encontre o limite da sequência, se existir.

Q5:

Encontre o limite da sequência cujos termos são dados por 𝑎=8𝑥4𝑥𝑥+1.

  • AO limite é 4.
  • BO limite é 2.
  • CNão há limite; a sequência tende a .
  • DNão há limite; a sequência tende a .
  • EO limite é 4.

Q6:

A sequência 𝑢=(2𝑛+1)(2𝑛1)loglog é convergente. Qual é o seu limite?

Q7:

O axioma da completude pode ser usado diretamente para mostrar que uma sequência é convergente. Considere a função 𝑁(𝑥)=𝑥2+1𝑥 em números diferentes de zero. Começando com 𝑎=32, podemos definir recursivamente 𝑎=𝑁(𝑎) para 𝑛1.

Quanto é 𝑎? Dê sua resposta como uma fração.

  • A665857470832
  • B577408
  • C470832665857
  • D627013566048886731088897
  • E886731088897627013566048

Considerando as expansões decimais da sequência 𝑎, parece que lim𝑎 existe. O que você acha que é isso?

  • A2
  • B2

Suponha que 𝑥=𝑝𝑞 com inteiros 𝑝, 𝑞. Escreva 𝑁(𝑥) na sua forma mais simples.

  • A2𝑝+2𝑞𝑝𝑞
  • B𝑝+2𝑞𝑝𝑞
  • C𝑝+𝑞2𝑝𝑞
  • D𝑝+2𝑞2𝑝𝑞
  • E2𝑝+𝑞2𝑝𝑞

Que fato o último resultado nos diz sobre todos os termos 𝑎?

  • AAlguns deles são inteiros.
  • BSão todos números racionais.
  • CAlguns deles são números irracionais.
  • DEles são todos inteiros.
  • ESão todos números irracionais.

Escreva 𝑁(𝑥)2 em sua forma mais simples e fatorada.

  • A𝑥24𝑥
  • B𝑥1𝑥
  • C𝑥+24𝑥
  • D𝑥+2𝑥
  • E𝑥12𝑥

O que o último resultado nos diz sobre como todos os 𝑎 e 2 estão relacionados?

  • A𝑎>2
  • BIsso não nos diz nada.
  • C𝑎=2 depois de algum grande 𝑛
  • D𝑎<2

Escreva 𝑥𝑁(𝑥) na sua forma mais simples.

  • A𝑥22𝑥
  • B𝑥+2𝑥
  • C𝑥12𝑥
  • D𝑥1𝑥
  • E𝑥2𝑥

Preencha o espaço em branco: Dado que 32>2, os dois últimos resultados implicam que a sequência 𝑎 é .

  • AConvergente
  • BMonotonicamente crescente
  • CLimitada
  • DDivergente
  • EMonotonicamente decrescente

O último resultado prova que 𝑎 é realmente convergente. Resolvendo 𝑁(𝑥)=𝑥 diz que o limite é 2. Encontre uma função semelhante para uma sequência recursiva convergente para 3.

  • A𝑁(𝑥)=𝑥3+1𝑥
  • B𝑁(𝑥)=𝑥31𝑥
  • C𝑁(𝑥)=2𝑥32𝑥
  • D𝑁(𝑥)=2𝑥3+1𝑥
  • E𝑁(𝑥)=𝑥3+2𝑥

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