Atividade: Otimização Utilizando Derivadas

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar derivadas que identifiquem a localização dos valores máximo e mínimo para otimizar as quantidades nos modelos.

Q1:

Encontre os dois números cuja soma é 96 e seu produto é o máximo possível.

  • A48, 48
  • B 4 8 , 144
  • C192, 96
  • D 1 9 2 , 288

Q2:

Encontre dois números cuja soma é 156 e a soma de cujos quadrados é o menor possível.

  • A78, 78
  • B 3 4 4 , 500
  • C148, 8
  • D 4 5 2 , 608

Q3:

Qual o volume máximo de um cilindro com área de superfície 24𝜋 cm2? Apresente a resposta em termos de 𝜋.

  • A 4 𝜋 cm3
  • B 8 𝜋 cm3
  • C 16 cm3
  • D 1 6 𝜋 cm3

Q4:

A soma dos lados de um paralelepípedo que tem de base um quadrado é 12 cm. Determine as dimensões que maximizam o volume.

  • A 4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • B 1 cm, 2 cm, 2 cm.
  • C 2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • D 1 cm, 1 cm, 1 cm.

Q5:

Um fazendeiro quer criar um campo retangular em sua terra utilizando uma parede existente para cercar um lado. Determine, até o milésimo mais próximo, a área máxima que ele pode obter se tiver 177 metros de cerca para cercar os outros três lados.

Q6:

Dado que o volume de um balão de ar quente cresce de acordo com a relação 𝑓(𝑡)=7000𝑡𝑡+49+4000, onde o tempo é medido em horas, determine seu volume máximo.

Q7:

Uma janela é feita de um semicírculo no topo de um retângulo, com um diâmetro igual à largura do retângulo. Dado que o perímetro da janela é 30 m, determine o raio do semicírculo que maximize a área da janela.

  • A 3 0 4 + 𝜋 m
  • B 3 0 2 + 𝜋 m
  • C 2 + 𝜋 𝜋 m
  • D 1 4 + 𝜋 m
  • E 4 + 𝜋 3 0 m

Q8:

Determine os pontos na curva 𝑦=2𝑥+21 que estão mais próximos do ponto (6,0).

  • A 4 , 1 3 , 4 , 1 3
  • B 5 , 3 1 , 5 , 3 1
  • C 7 , 3 5 , 7 , 3 5
  • D 7 , 7 , 7 , 7

Q9:

Um pedaço retangular de papel cartão tem duas dimensões de 10 cm e 16 cm. Se quadrados congruentes de comprimento lateral 𝑥 cm são cortados de seus quatro cantos, e as partes projetadas são dobradas para cima para formar uma caixa sem tampa, calcule a dimensão da caixa formada quando seu volume é o máximo possível.

  • A 6 cm, 2 cm, 4 cm
  • B 6 cm, 4 cm, 10 cm
  • C 2 cm, 6 cm, 12 cm
  • D 2 cm, 8 cm, 14 cm

Q10:

Um setor de um círculo tem de área 16 cm2. Determine o raio 𝑟 que minimize o seu perímetro e, em seguida, determine o ângulo correspondente 𝜃 em radianos.

  • A 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 1 6 r a d
  • B 𝑟 = 8 c m , 𝜃 = 1 2 r a d
  • C 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 2 r a d
  • D 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 2 r a d
  • E 𝑟 = 1 6 c m , 𝜃 = 1 8 r a d

Q11:

Um silo vertical cilíndrico de capacidade 384𝜋 m3 será construído com uma cúpula semiesférica no topo. Se a pintura da cúpula custa três vezes mais que a pintura dos lados, que dimensões minimizarão o custo da pintura?

  • A raio = 8 m, altura = 24 m
  • B raio = 5 m, altura = 8 m
  • C raio = 4 m, altura = 24 m
  • D raio = 3 m, altura = 30 m
  • E raio = 6 m, altura = 36 m

Q12:

Qual é a área máxima de um triângulo isósceles inscrito em uma circunferência de raio 47 cm? Dê sua resposta para o centésimo mais próximo.

Q13:

Dado que a soma das áreas das superfícies de uma esfera e um cilindro é 1000𝜋 cm2 e os seus raios são iguais, determine o raio da esfera que torna a soma dos seus volumes o seu maior valor possível.

Q14:

Um foguete é lançado no ar. A sua altura, em metros, em função do tempo é dada por (𝑡)=4,9𝑡+229𝑡+234. Determine a altura máxima atingida pelo foguete.

Q15:

Encontre as dimensões de um paralelepípedo de volume de 1 000 metros cúbicos que tenha a menor área de superfície.

  • Alargura = 25 cm, altura = 5 cm, e profundidade = 8 cm
  • Blargura = 5 cm, altura = 8 cm, e profundidade = 25 cm
  • Clargura = 5 cm, altura = 10 cm, e profundidade = 20 cm
  • Dlargura = 10 cm, altura = 10 cm, e profundidade = 10 cm
  • Elargura = 20 cm, altura = 10 cm, e profundidade = 5 cm

Q16:

Uma escada se inclina contra um prédio e também toca o topo de uma cerca. Se a cerca tem 6 m de altura e está a 6,25 m longe do prédio, qual é a menor escada que podemos ter? Dê sua resposta correta para o milésimo mais próximo.

Q17:

Uma agricultora descobre que, se plantar 75 árvores por acre, cada árvore produzirá 20 alqueires de fruta. Ela estima que para cada árvore adicional plantada por acre, o rendimento de cada árvore diminuirá em 3 alqueires. Quantas árvores ela deve plantar por acre para maximizar sua colheita?

  • A560 árvores por acre
  • B82 árvores por acre
  • C12 árvores por acre
  • D75 árvores por acre
  • E41 árvores por acre

Q18:

Um cilindro circular reto deve ter um volume de 40 polegadas cúbicas. Custa 4 centavos/polegada quadrada para construir a parte superior e inferior e 1 centavo/polegada quadrada para construir o resto do cilindro. Encontre o raio que produziria o custo mínimo.

Q19:

Uma caixa em forma de paralelepípedo tem uma base quadrada. Se a soma de todas as suas arestas é igual a 792 cm, calcule as dimensões da caixa que maximizarão seu volume.

  • A 66 cm, 66 cm, 66 cm
  • B 33 cm, 33 cm, 132 cm
  • C 99 cm, 99 cm, 66 cm
  • D 198 cm, 198 cm, 99 cm

Q20:

Um playground retangular termina em dois semicírculos. Dado que o perímetro do parque infantil é 594 m, determine sua área máxima.

  • A 1 7 6 4 1 8 𝜋 m2
  • B 88‎ ‎209 m2
  • C 176‎ ‎418 m2
  • D 8 8 2 0 9 𝜋 m2

Q21:

Um cilindro circular reto sem topo tem um volume de 50 metros cúbicos. Qual é o raio que dá a área mínima de superfície?

Q22:

Um fio de comprimento 41 cm é utilizado para formar um retângulo. Que dimensões dão a área máxima?

  • A 4 1 5 cm, 1 2 3 1 0 cm
  • B 4 1 3 cm, 4 1 6 cm
  • C 4 1 2 cm, 4 1 2 cm
  • D 4 1 3 cm, 8 2 3 cm
  • E 4 1 4 cm, 4 1 4 cm

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