Atividade: Matriz de uma Transformação Linear

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinação da matriz de uma transformação linear e a descrevê-la geometricamente.

Q1:

Considere a transformação linear que transforma (1,1) em (3,7) e (2,0) em (2,6).

Determine a matriz 𝐴 que representa esta transformação.

  • A 𝐴 = 3 1 4 3
  • B 𝐴 = 2 3 1 4
  • C 𝐴 = 1 2 3 4
  • D 𝐴 = 1 2 3 4
  • E 𝐴 = 3 2 4 1

Em que se tornam (1,0) e (0,1) pela transformação?

  • A ( 1 , 0 ) ( 3 , 2 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 1 )
  • B ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 2 , 4 )
  • C ( 1 , 0 ) ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 3 )
  • D ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 3 , 4 )
  • E ( 1 , 0 ) ( 2 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 1 , 4 )

Q2:

Suponha que a transformação linear 𝐿 transforma (1,0) em (1,5) e (1,1) em (6,6). Qual é o valor absoluto do determinante da matriz que representa 𝐿?

Q3:

Um quadrado de área 1 sofre uma transformação linear. Sabendo que a área da imagem também é 1, o que pode ser dito sobre a matriz da transformação?

  • ATem determinante 1 ou 1.
  • BPreserva os ângulos.
  • CPreserva as distâncias.
  • DÉ uma rotação ou uma reflexão.

Q4:

O determinante de uma matriz 2×2 é 1. Qual é a área da imagem de um quadrado unitário sob a transformação que ela representa?

Q5:

Uma transformação linear transforma os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, e 𝐷 em 𝐴, 𝐵, 𝐶, e 𝐷, como mostrado.

Ao encontrar as áreas do objeto e da imagem e considerando a orientação, encontre o determinante da matriz que representa essa transformação.

  • A 8 5
  • B 9 5
  • C 6 5
  • D 6 5
  • E 8 5

Q6:

Determine a matriz da transformação que transforma os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 em 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 como se mostra.

  • A 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • B 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • C 5 9 1 5 1 1 3 5 1 7 1 5
  • D 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • E 9 5 3 5 1 1 5 1 7 1 5

Q7:

Qual é a matriz 𝑀 que transforma os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 como se mostra?

  • A 𝑀 = 1 1 3 1
  • B 𝑀 = 2 3 4 1
  • C 𝑀 = 1 2 3 4
  • D 𝑀 = 3 1 2 4
  • E 𝑀 = 1 3 4 1

Q8:

A matriz 𝐴 representa uma transformação linear que transforma o vetor 10 para 𝑝𝑞. O que você pode dizer sobre a matriz 𝐴?

  • ASua segunda linha é [𝑝𝑞].
  • BSua primeira linha é [𝑝𝑞].
  • CSua primeira coluna é 𝑝𝑞.
  • DSua segunda coluna é 𝑝𝑞.

Q9:

Suponha que a matriz 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖 representa uma transformação que envia o vetor 001 para si e envia todos os vetores no plano 𝑥𝑦 para um vetor (possivelmente diferente) no plano 𝑥𝑦. O que pode ser dito sobre as entradas de 𝐴?

  • A 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 1 , = 1 , 𝑖 = 0
  • B 𝑐 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1
  • C 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1
  • D 𝑏 = 1 , = 1 , 𝑑 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑒 = 0
  • E 𝑏 = 0 , = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 1

Q10:

Considere o espaço vetorial dos polinómios que têm, no máximo, grau três. O operador de diferenciação 𝐷 é uma transformação linear neste espaço vetorial. Determine a matriz que representa a transformação linear 𝐿=𝐷+2𝐷+1 em relação à base 1,𝑥,𝑥,𝑥.

  • A 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
  • B 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1
  • C 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
  • D 1 2 2 0 0 1 4 6 0 0 1 6 0 0 0 1
  • E 1 1 2 0 0 1 1 6 0 0 1 1 0 0 0 1

Q11:

Considere o espaço vetorial dos polinómios com, no máximo, grau três. O operador de diferenciação 𝐷 é uma transformação linear desse espaço. Determine a matriz que representa a transformação linear 𝐿=𝐷+5𝐷+4 em relação à base 1,𝑥,𝑥,𝑥.

  • A 4 1 0 0 0 4 2 0 0 0 4 3 0 0 0 4
  • B 4 5 2 0 0 4 1 0 6 0 0 4 1 5 0 0 0 4
  • C 4 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 4 1 5 0 0 0 4
  • D 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4
  • E 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1

Q12:

Seja 𝐿 a transformação produzida por uma matriz diferente de zero com um determinante zero. Qual é a imagem de um quadrado unitário sob 𝐿?

  • Aum único ponto
  • Bum segmento de reta contendo a origem
  • Cum paralelogramo
  • Dum losango
  • Eoutro quadrado

Q13:

Seja 𝐿 uma transformação linear de em si mesmo com a propriedade que 𝐿64=22 e 𝐿2112=33.

Utilizando o fato de que 64=64, encontre 𝐿64.

  • A 2 2
  • B 2 2
  • C 2 2
  • D 6 4
  • E 6 4

Utilizando o fato de que 128=264, encontre 𝐿128.

  • A 1 2 6
  • B 4 4
  • C 4 4
  • D 2 8 4 4
  • E 2 2

Encontre um vetor 𝑣 de modo que 𝐿(𝑣)=11.

  • A 3 2
  • B 3 2
  • C 1 2
  • D 2 1
  • E 2 2

Quanto é 𝐿(4𝑣+𝑤), onde 𝑣=64 e 𝑤=2112?

  • A 1 5 8
  • B 5 1 1
  • C 1 1 2 9
  • D 4 2 0
  • E 1 0 1 4

Considerando combinações lineares adequadas de 64 e 2112, encontre 𝐿10 e 𝐿01.

  • A 1 2 , 3 5
  • B 3 5 , 1 2
  • C 3 5 , 3 5
  • D 1 3 , 2 5
  • E 1 2 , 1 2

Encontre a matriz 𝑀 que representa a transformação linear 𝐿.

  • A 𝑀 = 1 2 1 2
  • B 𝑀 = 3 5 3 5
  • C 𝑀 = 1 2 3 5
  • D 𝑀 = 1 3 2 5
  • E 𝑀 = 3 5 1 2

Q14:

A matriz dos vértices do quadrado de lado 1 apresentado é 1212121232525232.

Determine a matriz dos vértices da imagem após uma transformação pela matriz 1221 e indique a forma geométrica que se obtém.

  • A 7 2 1 1 2 9 2 5 2 5 2 7 2 3 2 1 2 , um losango
  • B 5 2 7 2 1 1 2 9 2 3 2 1 2 5 2 1 1 2 , um paralelogramo
  • C 5 2 7 2 1 1 2 9 2 3 2 1 2 5 2 1 1 2 , um retângulo
  • D 7 2 1 1 2 9 2 5 2 5 2 7 2 3 2 1 2 , um quadrado

Q15:

Encontre a matriz da transformação que transforma os pontos 𝑎, 𝑏, e 𝑐 em 𝑎, 𝑏, e 𝑐 como mostrado na figura.

  • A 3 9 1 1 2 0 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1
  • B 3 9 1 4 2 9 1 4 1 3 1 4 1 9 1 4
  • C 3 1 1 1
  • D 3 1 1 5 1 3 1 6 1 3
  • E 3 8 1 1 1 8 1 1 1 1

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