Atividade: Base para o Núcleo de uma Matriz

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a solução geral de um sistema de equações lineares e determinar uma base para seu espaço solução.

Q1:

Determine a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, em seguida, determine a base do espaço de soluções. 1 1 2 1 2 1 3 4 5 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0

  • AA solução geral é 4 𝑡 2 𝑡 3 𝑡 . Uma base para o espaço de soluções é 4 2 3 .
  • BA solução geral é 𝑡 𝑡 3 𝑡 . Uma base para o espaço de soluções é 1 1 3 .
  • CA solução geral é 3 𝑡 2 𝑡 4 𝑡 . Uma base para o espaço de soluções é 3 2 4 .
  • DA solução geral é 3 𝑡 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço de soluções é 3 1 1 .
  • EA solução geral é 3 𝑡 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço de soluções é 1 1 3 .

Q2:

Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução. 1 1 2 1 2 0 3 4 4 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0 ,

  • AA solução geral é 𝑡 𝑡 3 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 1 1 3 .
  • BA solução geral é 𝑡 2 𝑡 4 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 1 2 4 .
  • CA solução geral é 3 𝑡 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 3 1 1 .
  • DA solução geral é 4 𝑡 2 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 4 2 1 .
  • EA solução geral é 4 𝑡 2 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 1 2 4 .

Q3:

Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução.

  • AA solução geral é . Uma base para o espaço da solução é .
  • BA solução geral é . Uma base para o espaço da solução é .
  • CA solução geral é . Uma base para o espaço da solução é .
  • DA solução geral é . Uma base para o espaço da solução é .
  • EA solução geral é . Uma base para o espaço da solução é .

Q4:

Determine uma base para o espaço de soluções do seguinte sistema. 0 1 2 1 0 1 1 2 5 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0

  • A 2 1 5
  • B 1 2 1
  • C 5 1 2
  • D 1 2 1
  • E 1 2 1

Q5:

Encontre a solução geral para o sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução. 1 1 0 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 = 0 0 0 0

  • AA solução geral é 𝑡 2 𝑡 𝑡 0 . Uma base para o espaço da solução é 1 2 1 0 .
  • BA solução geral é 0 𝑡 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 0 1 1 1 .
  • CA solução geral é 0 𝑡 2 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 0 1 2 1 .
  • DA solução geral é 𝑡 𝑡 𝑡 0 . Uma base para o espaço da solução é 1 1 1 0 .
  • EA solução geral é 𝑡 𝑡 𝑡 0 . Uma base para o espaço da solução é 0 1 1 1 .

Q6:

Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução. 1 0 1 1 1 1 1 0 3 1 3 2 3 3 0 3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 = 0 0 0 0 ,

  • AA solução geral é 𝑡 𝑡 3 𝑡 3 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 1 1 3 3 .
  • BA solução geral é 𝑡 𝑡 𝑡 0 . Uma base para o espaço da solução é 1 1 1 0 .
  • CA solução geral é 𝑡 𝑡 3 𝑡 3 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 1 1 3 3 .
  • DA solução geral é 0 𝑡 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 0 1 1 1 .
  • EA solução geral é 0 𝑡 𝑡 𝑡 . Uma base para o espaço da solução é 1 1 1 0 .

Q7:

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares 1 1 0 1 1 1 1 0 3 1 1 2 3 3 0 3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 = 0 0 0 0 , e, portanto, encontre uma base para o seu espaço da solução.

  • AA solução geral é 𝑠 𝑡 𝑠 𝑡 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 1 1 1 0 , 1 1 0 1 .
  • BA solução geral é 𝑡 1 2 𝑠 1 2 𝑡 𝑠 1 2 𝑠 1 2 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 0 1 2 1 1 2 , 1 1 2 0 1 2 .
  • CA solução geral é 𝑡 𝑠 𝑡 𝑠 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 0 1 1 1 , 1 1 0 1 .
  • DA solução geral é 1 2 𝑠 1 2 𝑡 1 2 𝑠 1 2 𝑡 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 1 2 1 2 1 0 , 1 2 1 2 0 1 .
  • EA solução geral é 𝑠 𝑡 𝑠 + 𝑡 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 1 1 1 0 , 1 1 0 1 .

Q8:

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares 1 1 0 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 = 0 0 0 0 , e, portanto, encontre uma base para o seu espaço de solução.

  • AA solução geral é 𝑠 𝑡 𝑠 + 𝑡 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 1 1 1 0 , 1 1 0 1 .
  • BA solução geral é 𝑡 𝑠 𝑠 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 0 1 1 1 , 1 0 0 1 .
  • CA solução geral é 𝑡 𝑠 + 𝑡 𝑠 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 0 1 1 1 , 1 1 0 1 .
  • DA solução geral é 𝑠 𝑡 𝑠 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 1 1 1 0 , 1 0 0 1 .
  • EA solução geral é 𝑡 𝑠 𝑠 𝑡 , e uma base para o espaço da solução é 0 1 1 0 , 1 0 0 1 .

Q9:

Seja 𝑉 o espaço de polinômios na variável 𝑥 que têm grau inferior a 4. Seria 𝑥 + 1 , 𝑥 + 𝑥 + 2 𝑥 , 𝑥 + 𝑥 , 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 uma base para este espaço?

  • Asim
  • Bnão

Q10:

Suponha que 𝐴 e 𝐵 são matrizes 𝑚 × 𝑚 e 𝑣 é um vetor do kernel de 𝐴 . Considere esta proposição: 𝐴 𝐵 𝑣 = 0 . Qual das seguintes opções é verdadeira?

  • AA proposição é verdadeira se e só se 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade.
  • BSe a proposição é verdadeira, então 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade.
  • CA proposição é sempre verdadeira.
  • DSe 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade, então a proposição é verdadeira.
  • ESe 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade, então a proposição é falsa.

Q11:

Suponha que as colunas de uma matriz 𝑚 × 𝑚 𝐴 são linearmente independentes. Então, qual das seguintes afirmações é sempre verdadeira?

  • A 𝐴 tem 𝑚 vetores próprios linearmente independentes.
  • BO determinante de 𝐴 é 1.
  • C 𝐴 é idempotente.
  • DO kernel de 𝐴 é { 0 } .
  • E 𝐴 é uma matriz de projeção.

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