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Atividade: Campos Conservativos e o Teorema Fundamental do Integral de Linha

Q1:

Existe um potencial 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) para βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯ βƒ— πš₯ ? Se sim, encontre um.

  • A sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 + 𝐾
  • B sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦
  • C sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 𝑦 2 βˆ’ π‘₯ 2  
  • DnΓ£o
  • E sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 𝑦 2 βˆ’ π‘₯ 2 + 𝐾  

Q2:

Indique se o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘Ž βƒ— 𝚀 + 𝑏 βƒ— πš₯ + 𝑐 βƒ— π‘˜ onde π‘Ž , 𝑏 , 𝑐 sΓ£o constantes, tem ou nΓ£o um potencial em ℝ  .

  • Asim
  • BnΓ£o

Q3:

Existe um potencial 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) para βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ( 8 π‘₯ 𝑦 + 3 ) βƒ— 𝚀 + 4 ο€Ή π‘₯ + 𝑦  βƒ— πš₯  ? Se sim, encontre um.

  • A sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 4 π‘₯ 𝑦 + 1 2 𝑦 + 3 π‘₯  
  • B nΓ£o
  • C sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 4 π‘₯ 𝑦 βˆ’ 1 2 𝑦 + 3 π‘₯  
  • D sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 4 π‘₯ 𝑦 + 2 𝑦 + 3 π‘₯  
  • E sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 4 π‘₯ 𝑦 βˆ’ 2 𝑦 + 3 π‘₯  

Q4:

Existe um potencial 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) para 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή π‘₯ π‘₯ 𝑦 + 2 π‘₯ π‘₯ 𝑦  βƒ— 𝚀 + π‘₯ 𝑦 βƒ— πš₯   c o s s e n ? Se sim, encontre um.

  • A nΓ£o
  • B sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ π‘₯ 𝑦 βˆ’ 2 π‘₯ 𝑦  s e n c o s

Q5:

Existe um potencial 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) para βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή 𝑦 + 3 π‘₯  βƒ— 𝚀 + 2 π‘₯ 𝑦 βƒ— πš₯   ? Se sim, encontre um.

  • A sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 + π‘₯  
  • B nΓ£o
  • C sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 βˆ’ π‘₯  
  • D sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 + π‘₯  
  • E sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 + 𝑦 π‘₯  

Q6:

Existe um potencial 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) para βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑦 βƒ— πš₯ ? Se sim, encontre um.

  • A sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 2 + 𝑦 2  
  • B nΓ£o
  • C sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ βˆ’ 𝑦  
  • D sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 2 βˆ’ 𝑦 2  
  • E sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ + 𝑦  

Q7:

Qual das seguintes afirmaçáes Γ© verdadeira em relação ao campo vetorial βƒ— 𝑉 ∢ ℝ β†’ ℝ 3 3 definido por βƒ— 𝑉 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯ βƒ— π‘˜ ?

  • A βƒ— 𝑉 tem uma divergΓͺncia positiva em todos os pontos ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) ∈ ℝ 3 .
  • B βƒ— 𝑉 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) β‰  0 , para todos ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) ∈ ℝ 3 .
  • C βƒ— 𝑉 Γ© um campo vetorial conservador.
  • D βƒ— 𝑉 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) Γ© ortogonal ao vetor βƒ— 𝑗 ⟨ 0 , 1 , 0 ⟩ , para todos ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) ∈ ℝ 3 .

Q8:

Existe um potencial 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) para βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯ 𝑦 βƒ— πš₯   ? Se sim, encontre um.

  • A sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 2 βˆ’ π‘₯ 𝑦 2    
  • B sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 2 + π‘₯ 𝑦 2    
  • C sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦  
  • D nΓ£o
  • E sim, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = βˆ’ π‘₯ 𝑦  

Q9:

Indique se o campo vetorial tem ou nΓ£o βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ ο€Ή π‘₯ βˆ’ 𝑦 𝑧  βƒ— πš₯ + 𝑦 𝑧 βƒ— π‘˜   um potencial em ℝ  .

  • AnΓ£o
  • Bsim