Atividade: A Equação Vetorial de um Plano no Espaço

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinação da equação vetorial de um plano no espaço.

Q1:

Escreva, na forma normal, a equação do plano (1,0,3), (1,2,βˆ’1) e (6,1,6).

  • A π‘₯ βˆ’ 2 𝑦 βˆ’ 𝑧 βˆ’ 2 = 0
  • B π‘₯ + 3 𝑧 βˆ’ 2 0 = 0
  • C π‘₯ + 3 𝑧 + 2 0 = 0
  • D π‘₯ βˆ’ 2 𝑦 βˆ’ 𝑧 + 2 = 0
  • E π‘₯ βˆ’ 2 𝑦 βˆ’ 𝑧 βˆ’ 4 = 0

Q2:

Qual dos seguintes planos contΓ©m a reta βƒ—π‘Ÿ=βˆ’6βƒ—π‘–βˆ’βƒ—π‘—βˆ’4βƒ—π‘˜+𝑑4⃗𝑖+βƒ—π‘—βˆ’βƒ—π‘˜ο‡?

  • A βƒ— π‘Ÿ β‹… ο€» 2 βƒ— 𝑖 βˆ’ 6 βƒ— 𝑗 + 1 5 βƒ— π‘˜  = 0
  • B βƒ— π‘Ÿ β‹… ο€» 2 βƒ— 𝑖 βˆ’ 3 βƒ— 𝑗 + 5 βƒ— π‘˜  = βˆ’ 2 9
  • C βƒ— π‘Ÿ β‹… ο€» 2 βƒ— 𝑖 βˆ’ 3 βƒ— 𝑗 + 5 βƒ— π‘˜  = 5 8
  • D βƒ— π‘Ÿ β‹… ο€» 2 βƒ— 𝑖 βˆ’ 6 βƒ— 𝑗 + 1 5 βƒ— π‘˜  = βˆ’ 3 1
  • E βƒ— π‘Ÿ β‹… ο€» 4 βƒ— 𝑖 + βƒ— 𝑗 βˆ’ βƒ— π‘˜  = 0

Q3:

Determine a equação vetorial do plano que tem como vetor normal ⃗𝑛=βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ e contΓ©m o ponto (2,6,6).

  • A βƒ— π‘Ÿ = ( 2 , 6 , 6 )
  • B ( 1 , 1 , 1 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = ( 2 , 6 , 6 )
  • C βƒ— π‘Ÿ = 1 4
  • D ( 1 , 1 , 1 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = 1 4

Q4:

Encontre os cossenos de direção da normal para o plano 4π‘₯+8π‘¦βˆ’3𝑧=28.

  • A ο€Ώ 4 √ 1 5 1 5 , 8 √ 1 5 1 5 , βˆ’ √ 1 5 5 
  • B ο€Ώ 4 √ 8 9 8 9 , 8 √ 8 9 8 9 , βˆ’ 3 √ 8 9 8 9 
  • C ο€Ό 1 4 , 1 2 , βˆ’ 3 1 6 
  • D ο€Ό 4 8 9 , 8 8 9 , βˆ’ 3 8 9 

Q5:

A qual dos seguintes planos pertence o ponto (3,βˆ’1,5)?

  • A 2 π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 2 𝑧 + 2 3 = 0
  • B 3 π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 5 𝑧 = 0
  • C 2 π‘₯ βˆ’ 4 𝑦 + 𝑧 + 5 = 0
  • D βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 4 𝑦 + 2 𝑧 + 7 = 0
  • E π‘₯ βˆ’ 2 𝑦 + 2 𝑧 βˆ’ 1 5 = 0

Q6:

Qual dos seguintes pontos estΓ‘ no plano 3(π‘₯+4)βˆ’2(𝑦+1)βˆ’7(π‘§βˆ’6)=0?

  • A ( 7 , βˆ’ 1 , βˆ’ 1 3 )
  • B ( 4 , 1 , βˆ’ 6 )
  • C ( βˆ’ 4 , βˆ’ 1 , 6 )
  • D ( 3 , βˆ’ 2 , βˆ’ 7 )

Q7:

Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto (3,βˆ’8,βˆ’7) e contΓ©m o eixo π‘₯.

  • A 8 π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 = 0
  • B βˆ’ 7 𝑦 + 8 𝑧 = 0
  • C βˆ’ 7 π‘₯ + 8 𝑧 = 0
  • D 3 π‘₯ βˆ’ 8 𝑦 βˆ’ 7 𝑧 = 0
  • E 3 π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 + 8 𝑧 = 0

Q8:

Determine a equação do plano Oπ‘₯𝑦.

  • A π‘₯ + 𝑦 = 0
  • B π‘₯ + 𝑦 = 𝑧
  • C 𝑧 = 0
  • D 𝑧 βˆ’ π‘₯ 𝑦 = 0
  • E π‘₯ = 𝑦

Q9:

Encontre a equação do plano que Γ© perpendicular ao vetor ⃗𝐴=5βƒ—πš€βˆ’7βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜ e passa pelo ponto 𝐡(βˆ’5,5,9).

  • A 5 π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 + 8 7 = 0
  • B βˆ’ 5 π‘₯ + 5 𝑦 + 9 𝑧 + 8 7 = 0
  • C 5 π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 βˆ’ 5 = 0
  • D βˆ’ 5 π‘₯ + 5 𝑦 + 9 𝑧 βˆ’ 5 = 0
  • E 5 π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 βˆ’ 8 7 = 0

Q10:

Um plano passa por (βˆ’2,βˆ’2,3) e tem reta normal (βˆ’4,1,βˆ’4). DΓͺ sua equação na forma vetorial.

  • A βƒ— π‘Ÿ = βˆ’ 6
  • B ( βˆ’ 4 , 1 , βˆ’ 4 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = ( βˆ’ 2 , βˆ’ 2 , 3 )
  • C ( βˆ’ 4 , 1 , βˆ’ 4 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = βˆ’ 6
  • D βƒ— π‘Ÿ = ( βˆ’ 4 , 1 , βˆ’ 4 )

Q11:

Qual das seguintes alternativas a equação βˆ’7π‘₯βˆ’2𝑧=0 representa no espaΓ§o tridimensional?

  • Auma reta cujas razΓ΅es de direção sΓ£o (βˆ’7,0,βˆ’2)
  • Bum plano contendo o eixo 𝑦
  • Cum plano contendo o eixo 𝑧
  • Dum plano contendo o eixo π‘₯

Q12:

Determine a forma geral da equação de um plano no qual as duas linhas retas 𝐿∢π‘₯+8βˆ’7=𝑦+7βˆ’5=𝑧+53 e 𝐿∢π‘₯+84=𝑦+73=𝑧+54 se encontram.

  • A 4 π‘₯ + 3 𝑦 + 4 𝑧 + 1 4 6 = 0
  • B βˆ’ 2 9 π‘₯ + 4 0 𝑦 βˆ’ 𝑧 + 4 3 = 0
  • C βˆ’ 7 π‘₯ βˆ’ 5 𝑦 + 3 𝑧 βˆ’ 7 6 = 0
  • D βˆ’ 2 9 π‘₯ βˆ’ 4 0 𝑦 + 𝑧 βˆ’ 4 3 = 0

Q13:

Determine a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (βˆ’2,9,2) que Γ© perpendicular ao plano 5π‘₯βˆ’6π‘¦βˆ’6π‘§βˆ’11=0.

  • A π‘₯ βˆ’ 5 βˆ’ 2 = 𝑦 + 6 9 = 𝑧 + 6 2
  • B π‘₯ + 2 5 = 𝑦 βˆ’ 9 βˆ’ 6 = 𝑧 βˆ’ 2 βˆ’ 6
  • C π‘₯ βˆ’ 2 5 = 𝑦 + 9 βˆ’ 6 = 𝑧 + 2 βˆ’ 6
  • D π‘₯ + 5 βˆ’ 2 = 𝑦 βˆ’ 6 9 = 𝑧 βˆ’ 6 2

Q14:

A qual dos seguintes planos a reta π‘₯βˆ’24=𝑦+7βˆ’3=𝑧+96 Γ© perpendicular?

  • A 1 2 π‘₯ βˆ’ 9 𝑦 + 1 8 𝑧 βˆ’ 1 9 = 0
  • B 4 π‘₯ βˆ’ 1 4 𝑦 βˆ’ 1 8 𝑧 + 1 9 = 0
  • C 2 π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 βˆ’ 9 𝑧 = 0
  • D 4 π‘₯ + 3 𝑦 + 6 𝑧 = βˆ’ 1 9

Q15:

Encontre a equação geral do plano que passa pelos dois pontos 𝐴(8,βˆ’7,βˆ’2) e 𝐡(1,βˆ’4,βˆ’1), dado que a distΓ’ncia do π‘₯-interceptado a origem Γ© igual Γ  distΓ’ncia do 𝑦-interceptado a origem.

  • A π‘₯ + 𝑦 + 4 𝑧 + 7 = 0
  • B βˆ’ 7 π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 βˆ’ 7 4 𝑧 βˆ’ 1 = 0
  • C βˆ’ 7 4 π‘₯ βˆ’ 7 4 𝑦 βˆ’ 7 𝑧 + 1 = 0
  • D 4 π‘₯ + 4 𝑦 + 𝑧 + 7 = 0

Q16:

Escreva, na forma normal, a equação do plano ⃗𝑃 contendo o ponto ⃗𝑄=(5,1,βˆ’2) e perpendicular ao vetor ⃗𝑛=(4,βˆ’4,3).

  • A 4 π‘₯ βˆ’ 4 𝑦 + 3 𝑧 + 4 = 0
  • B 4 π‘₯ βˆ’ 4 𝑦 + 3 𝑧 + 1 0 = 0
  • C 4 π‘₯ βˆ’ 4 𝑦 + 3 𝑧 βˆ’ 1 0 = 0
  • D 5 π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 2 𝑧 βˆ’ 1 0 = 0
  • E 5 π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 2 𝑧 + 1 0 = 0

Q17:

Encontre a equação, em forma vetorial, do plano que passa pelos pontos (1,2,2), (3,1,βˆ’4), e (0,3,3).

  • A βƒ— π‘Ÿ = ( 5 , 4 , 1 )
  • B βƒ— π‘Ÿ = 1 5
  • C ( 5 , 4 , 1 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = 1 5
  • D ( 5 , 4 , 1 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = ( 1 , 2 , 2 )

Q18:

Determine a equação vetorial do plano que contΓ©m duas retas βƒ—π‘Ÿ=(βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜)+𝑑(3βƒ—πš€+3βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜) e βƒ—π‘Ÿ=(βˆ’βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜)+𝑑(βˆ’βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’4βƒ—π‘˜).

  • A ( 2 0 , 1 6 , 9 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = βˆ’ 2 3
  • B ( 4 , βˆ’ 4 , 3 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = βˆ’ 1
  • C ( 4 , βˆ’ 8 , 3 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = βˆ’ 3
  • D ( 4 , βˆ’ 8 , 3 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = 3

Q19:

Qual das alternativas a seguir Γ© a equação de um plano que divide o segmento de reta entre os dois pontos (4,βˆ’2,βˆ’6) e (8,4,2)?

  • A π‘₯ βˆ’ 𝑦 βˆ’ 𝑧 βˆ’ 5 = 0
  • B π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 𝑧 + 5 = 0
  • C π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 βˆ’ 5 = 0
  • D π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 𝑧 + 5 = 0

Q20:

Dado que 𝐴𝐡 Γ© paralelo ao plano 8π‘₯βˆ’5π‘¦βˆ’2π‘§βˆ’5=0, onde as coordenadas de 𝐴 e 𝐡 sΓ£o (βˆ’4,3,π‘š) e (βˆ’3,βˆ’3,𝑛), respectivamente, encontre o valor de (π‘›βˆ’π‘š).

Q21:

Encontre a equação cartesiana do plano (π‘₯,𝑦,𝑧)=(βˆ’7,βˆ’5,βˆ’3)+𝑑(βˆ’3,βˆ’8,1)+𝑑(2,1,3), onde π‘‘οŠ§ e π‘‘οŠ¨ sΓ£o parΓ’metros.

  • A βˆ’ 3 π‘₯ βˆ’ 8 𝑦 + 𝑧 βˆ’ 5 8 = 0
  • B 2 π‘₯ + 𝑦 + 3 𝑧 + 2 8 = 0
  • C π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 βˆ’ 4 𝑧 + 3 0 = 0
  • D βˆ’ 7 π‘₯ βˆ’ 5 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 + 1 1 = 0
  • E 2 5 π‘₯ βˆ’ 1 1 𝑦 βˆ’ 1 3 𝑧 + 8 1 = 0

Q22:

Escreva, na forma normal, a equação do plano contendo (βˆ’3,1,βˆ’3), (4,βˆ’4,3), e (0,0,1).

  • A βˆ’ 1 4 π‘₯ βˆ’ 1 0 𝑦 + 8 𝑧 βˆ’ 8 = 0
  • B βˆ’ 3 π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 + 8 = 0
  • C βˆ’ 3 π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 βˆ’ 8 = 0
  • D βˆ’ 1 4 π‘₯ βˆ’ 1 0 𝑦 + 8 𝑧 + 5 6 = 0
  • E βˆ’ 1 4 π‘₯ βˆ’ 1 0 𝑦 + 8 𝑧 + 8 = 0

Q23:

Determine a equação geral do plano que contΓ©m a reta π‘₯βˆ’1βˆ’7=𝑦+84=𝑧+34 e o ponto 𝐴(βˆ’8,βˆ’4,3).

  • A 4 π‘₯ + 3 𝑦 + 4 𝑧 + 3 2 = 0
  • B βˆ’ 7 π‘₯ + 4 𝑦 + 4 𝑧 + 5 1 = 0
  • C 4 π‘₯ βˆ’ 3 𝑦 + 4 𝑧 βˆ’ 1 6 = 0
  • D π‘₯ βˆ’ 8 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 βˆ’ 1 5 = 0
  • E βˆ’ 7 π‘₯ + 4 𝑦 + 4 𝑧 βˆ’ 5 2 = 0

Q24:

Encontre a equação geral do plano que passa pelos dois pontos (βˆ’6,9,8) e (βˆ’8,5,βˆ’2) e Γ© paralela ao vetor ⃗𝐴=(2,1,3).

  • A 2 π‘₯ + 𝑦 + 3 𝑧 + 1 7 = 0
  • B 2 π‘₯ + 𝑦 + 3 𝑧 βˆ’ 2 1 = 0
  • C βˆ’ 6 π‘₯ + 9 𝑦 + 8 𝑧 βˆ’ 7 7 = 0
  • D βˆ’ π‘₯ + 7 𝑦 + 3 𝑧 βˆ’ 9 3 = 0
  • E βˆ’ π‘₯ βˆ’ 7 𝑦 + 3 𝑧 + 3 3 = 0

Q25:

Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto 𝐴(7,5,βˆ’3) e Γ© perpendicular Γ  reta que passa pelos dois pontos 𝐡(βˆ’5,βˆ’7,βˆ’1) e 𝐢(9,βˆ’9,7).

  • A 6 π‘₯ + 6 𝑦 βˆ’ 𝑧 + 7 5 = 0
  • B 6 π‘₯ βˆ’ 6 𝑦 βˆ’ 𝑧 βˆ’ 7 5 = 0
  • C 7 π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 4 𝑧 βˆ’ 3 2 = 0
  • D 7 π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 4 𝑧 + 3 2 = 0
  • E π‘₯ + 7 𝑦 + 5 𝑧 + 4 3 = 0

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