Atividade: Comprimento da Arco por Integração

Nesta atividade, nós vamos praticar a configurar a integral que fornece o comprimento de arco da curva suave definida como y = f (x) entre dois pontos.

Q1:

Escreva a integral necessΓ‘ria para calcular o comprimento da curva senoidal entre π‘₯ = 0 e π‘₯ = πœ‹ . NΓ£o calcule isso.

  • A ο„Έ √ 1 βˆ’ π‘₯ π‘₯ οŽ„   c o s d
  • B ο„Έ √ 1 + π‘₯ π‘₯ οŽ„   s e n d
  • C ο„Έ √ 1 βˆ’ π‘₯ π‘₯ οŽ„   s e n d
  • D ο„Έ √ 1 + π‘₯ π‘₯ οŽ„   c o s d
  • E ο„Έ √ 1 + π‘₯ π‘₯ οŽ„  c o s d

Q2:

Calcule o comprimento do arco da curva 𝑦 = √ 4 βˆ’ π‘₯  entre π‘₯ = 0 e π‘₯ = 2 , dando sua resposta para 5 casas decimais.

  • A3,46410
  • B1,57080
  • C1,46410
  • D3,14159
  • E5,46410

Q3:

Encontre a função 𝑠 ( π‘₯ ) que dΓ‘ o comprimento do arco 𝑦 = √ π‘₯  de ( 0 , 0 ) para ο€» π‘₯ , √ π‘₯   .

  • A 𝑠 ( π‘₯ ) = 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3   οŠͺ  
  • B 𝑠 ( π‘₯ ) = ( 9 π‘₯ + 4 ) 2 7  
  • C 𝑠 ( π‘₯ ) = 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9   οŠͺ  
  • D 𝑠 ( π‘₯ ) = ( 9 π‘₯ + 4 ) βˆ’ 8 2 7  
  • E 𝑠 ( π‘₯ ) = ( 1 8 π‘₯ + 8 ) βˆ’ 8 2 7  

Q4:

Seja 𝐹 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ , √ 9 βˆ’ π‘₯   no intervalo [ 0 , 3 ] . Configurando a função comprimento do arco 𝑠 ( 𝑑 ) para ser o comprimento do arco entre 𝐹 ( 0 ) e 𝐹 ( 𝑑 ) , encontre as coordenadas do ponto 𝑃 nesta curva tal que o comprimento do arco de 𝐹 ( 0 ) para 𝑃 Γ© 1. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A ( 0 , 9 8 1 6 , 8 , 0 3 6 5 )
  • B ( 1 , 2 , 8 2 8 4 )
  • C ( 0 , 0 1 7 5 , 2 , 9 9 9 )
  • D ( 0 , 9 8 1 6 , 2 , 8 3 4 9 )
  • E ( 0 , 3 2 7 2 , 2 , 9 8 2 1 )

Q5:

A figura mostra uma parte da curva 𝐹 ( π‘₯ ) = √ π‘₯  , com pontos marcados 𝐴 ( 0 , 0 ) , 𝐡 , 𝐢 , e 𝐷 .

Dado que o comprimento do arco de ( 0 , 0 ) a ( π‘₯ , 𝐹 ( π‘₯ ) ) Γ© dado por 𝑠 ( π‘₯ ) = ( 9 π‘₯ + 4 ) βˆ’ 8 2 7   , a primeira coisa que precisamos para uma parametrização do comprimento do arco Γ© a inversa 𝑠 ( π‘₯ )   . Determine 𝑓 de modo que π‘₯ = 𝑓 ( 𝑠 ) .

  • A 𝑓 ( 𝑠 ) = 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3   οŠͺ  
  • B 𝑓 ( 𝑠 ) = 𝑠 βˆ’ 4 9  
  • C 𝑓 ( 𝑠 ) = 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9   οŠͺ  
  • D 𝑓 ( 𝑠 ) = ( 2 7 𝑠 + 8 ) βˆ’ 4 9  
  • E 𝑓 ( 𝑠 ) = ( 1 8 𝑠 + 8 ) βˆ’ 8 2 7  

EntΓ£o, forneΓ§a a parametrização do comprimento do arco π‘₯ = 𝑓 ( 𝑠 ) , 𝑦 = 𝑔 ( 𝑠 ) da curva.

  • A π‘₯ = ( 2 7 𝑠 + 8 ) βˆ’ 4 9   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„   ( 2 7 𝑠 + 8 ) βˆ’ 4 9    
  • B 𝑓 ( 𝑠 ) = 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9   οŠͺ   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„  βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠   οŠͺ   
  • C 𝑓 ( 𝑠 ) = 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3   οŠͺ   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„  βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠   οŠͺ   
  • D π‘₯ = 𝑠 βˆ’ 4 9   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„   𝑠 βˆ’ 4 9    
  • E 𝑓 ( 𝑠 ) = ( 1 8 𝑠 + 8 ) βˆ’ 8 2 7   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„   ( 1 8 𝑠 + 8 ) βˆ’ 8 2 7    

O comprimento do arco entre cada um dos pontos 𝐴 , 𝐡 , 𝐢 , e 𝐷 Γ© uma unidade. DΓͺ as coordenadas de 𝐢 para 3 casas decimais.

  • A ( 1 , 2 9 6 , 1 , 4 7 6 )
  • B ( 1 , 2 9 5 , 1 , 5 0 0 )
  • C ( 1 , 3 1 0 , 1 , 5 0 0 )
  • D ( 1 , 2 9 5 , 1 , 4 7 4 )

Q6:

O comprimento exato da curva 𝑦 = 𝑒  entre π‘₯ = 1 e π‘₯ = 2 Γ© 4,785154 para 6 casas decimais. Estime isso usando a regra do trapΓ©zio com 𝑛 = 1 0 para sua integral. DΓͺ sua resposta a 6 casas decimais.

Q7:

Calcule o seguinte.

Encontre a derivada de √ 𝑒 + 1   .

  • A 2 𝑒 √ 𝑒 + 1    
  • B 1 √ 𝑒 + 1  
  • C 2 √ 𝑒 + 1  
  • D 𝑒 √ 𝑒 + 1    
  • E 𝑒 𝑒 + 1    

Encontre a derivada de t a n h     ο€» √ 𝑒 + 1  .

  • A βˆ’ 1 √ 𝑒 + 1  
  • B βˆ’ 𝑒 √ 𝑒 + 1    
  • C 𝑒 √ 𝑒 + 1    
  • D 1 √ 𝑒 + 1  
  • E βˆ’ 𝑒 √ 𝑒 + 1    

EntΓ£o, encontre ο„Έ √ 𝑒 + 1   .

  • A √ 𝑒 + 1 βˆ’ ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h
  • B √ 𝑒 + 1 + ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h
  • C 2 √ 𝑒 + 1 βˆ’ ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h
  • D 2 √ 𝑒 + 1 + ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h

Use seus resultados acima para calcular, com 5 casas decimais, o comprimento do arco da curva 𝑦 = 𝑒  entre π‘₯ = 1 e π‘₯ = 3 .

Q8:

Calcule o comprimento do arco 𝑦 = π‘₯ + 3 2 3 2 π‘₯   entre π‘₯ = 1 e π‘₯ = 3 . DΓͺ sua resposta como uma fração.

  • A3,389
  • B 6 1 1 7
  • C 2 2 4 9
  • D 6 1 1 8
  • E 3 1 9

A Nagwa usa cookies para garantir que vocΓͺ tenha a melhor experiΓͺncia em nosso site. Saiba mais sobre nossa PolΓ­tica de privacidade.