Lição de casa da aula: Comprimento da Arco por Integração Mathematics

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Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a integração para encontrar o comprimento de uma curva.

Q1:

Utilizando uma substituição trigonomΓ©trica, determine o comprimento do arco da curva 𝑦=√4βˆ’π‘₯ entre π‘₯=0 e π‘₯=π‘˜.

  • A2(π‘˜)arcsen
  • B2ο€½π‘˜2sen
  • C2ο€½π‘˜2arcsen
  • Dsenο€½π‘˜2
  • Earcsenο€½π‘˜2

Q2:

Escreva a integral necessΓ‘ria para calcular o comprimento da curva senoidal entre π‘₯=0 e π‘₯=πœ‹. NΓ£o calcule isso.

  • Aο„Έβˆš1+π‘₯π‘₯οŽ„οŠ¦οŠ¨send
  • Bο„Έβˆš1βˆ’π‘₯π‘₯οŽ„οŠ¦οŠ¨cosd
  • Cο„Έβˆš1+π‘₯π‘₯οŽ„οŠ¦cosd
  • Dο„Έβˆš1βˆ’π‘₯π‘₯οŽ„οŠ¦οŠ¨send
  • Eο„Έβˆš1+π‘₯π‘₯οŽ„οŠ¦οŠ¨cosd

Q3:

Calcule o comprimento do arco da curva 𝑦=√4βˆ’π‘₯ entre π‘₯=0 e π‘₯=2, dando sua resposta para 5 casas decimais.

Q4:

Encontre a função 𝑠(π‘₯) que dΓ‘ o comprimento do arco 𝑦=√π‘₯ de (0,0) para ο€»π‘₯,√π‘₯ο‡οŠ©.

  • A𝑠(π‘₯)=(9π‘₯+4)27
  • B𝑠(π‘₯)=(18π‘₯+8)βˆ’827
  • C𝑠(π‘₯)=4ο€»1+ο‡βˆ’99οŠ―ο—οŠͺ
  • D𝑠(π‘₯)=2ο€»1+ο‡βˆ’33οŠ―ο—οŠͺ
  • E𝑠(π‘₯)=(9π‘₯+4)βˆ’827

Q5:

Seja 𝐹(π‘₯)=ο€»π‘₯;√9βˆ’π‘₯ο‡οŠ¨ no intervalo [0,3]. Configurando a função comprimento do arco 𝑠(𝑑) para ser o comprimento do arco entre 𝐹(0) e 𝐹(𝑑), encontre as coordenadas do ponto 𝑃 nesta curva tal que o comprimento do arco de 𝐹(0) para 𝑃 Γ© 1. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A(0,9816;8,0365)
  • B(0,3272;2,9821)
  • C(1;2,8284)
  • D(0,0175;2,999)
  • E(0,9816;2,8349)

Q6:

A figura mostra a curva 𝑦=𝑒+𝑒2ο—οŠ±ο— com os pontos 𝐴(1,1,543) e 𝐡(2,3,762) marcados.

Utilize a secante entre 𝐴 e 𝐡 para obter um limite inferior para a curva entre os dois pontos. Apresente a resposta com 3 casas decimais.

Utilize os trΓͺs pontos em π‘₯=1,25,1,5,1,75 para obter uma melhor aproximação deste comprimento com 3 casas decimais.

Calcule o comprimento da curva, apresentando a resposta com 4 casas decimais.

Q7:

A figura mostra o grΓ‘fico de 𝑦=π‘₯3 com duas iteraçáes para estimar o comprimento do arco π‘₯=1 a π‘₯=3 utilizando 2 e, em seguida, 4 subintervalos e adicionando comprimentos dos segmentos de reta correspondentes.

Uma tabela de integrais dΓ‘ a fΓ³rmula ο„Έβˆšπ‘Ž+𝑒𝑒=𝑒2βˆšπ‘Ž+𝑒+π‘Ž2𝑒+βˆšπ‘Ž+𝑒+.dlnC

Utilize isso para calcular o comprimento exato do arco para 5 casas decimais.

Estime o comprimento do arco usando os 2 segmentos de reta na primeira figura, dando sua resposta a 5 casas decimais.

Calcule o comprimento do arco utilizando os 4 segmentos de reta na segunda figura, dando sua resposta a 5 casas decimais.

Utilizando a regra de Simpson com 4 subintervalos, o primeiro termo somado Γ© 16𝑓(1)=√1318. Qual Γ© o segundo termo somado em estimar o comprimento do arco? DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

Utilizando a regra de Simpson com 4 subintervalos de largura 0,5, qual Γ© o comprimento de arco estimado para 5 casas decimais?

Utilizando a regra de Simpson com 8 subintervalos de largura 0,25, qual Γ© o comprimento estimado do arco com 5 casas decimais?

Q8:

A figura mostra uma parte da curva 𝐹(π‘₯)=√π‘₯, com pontos marcados 𝐴(0,0), 𝐡, 𝐢, e 𝐷.

Dado que o comprimento do arco de (0,0) a (π‘₯,𝐹(π‘₯)) Γ© dado por 𝑠(π‘₯)=(9π‘₯+4)βˆ’827, a primeira coisa que precisamos para uma parametrização do comprimento do arco Γ© a inversa 𝑠(π‘₯). Determine 𝑓 de modo que π‘₯=𝑓(𝑠).

  • A𝑓(𝑠)=2ο€»1+ο‡βˆ’33οŠͺ
  • B𝑓(𝑠)=(27𝑠+8)βˆ’49
  • C𝑓(𝑠)=(18𝑠+8)βˆ’827
  • D𝑓(𝑠)=π‘ βˆ’49
  • E𝑓(𝑠)=4ο€»1+ο‡βˆ’99οŠͺ

EntΓ£o, forneΓ§a a parametrização do comprimento do arco π‘₯=𝑓(𝑠), 𝑦=𝑔(𝑠) da curva.

  • A𝑓(𝑠)=2ο€»1+ο‡βˆ’33οŠͺ, 𝑦=ο„‘ο„£ο„£ο„£ο„£ο„£ο„ βŽ›βŽœβŽœβŽ2ο€»1+ο‡βˆ’33⎞⎟⎟⎠οŠͺ
  • B𝑓(𝑠)=(18𝑠+8)βˆ’827, 𝑦=(18𝑠+8)βˆ’827
  • Cπ‘₯=(27𝑠+8)βˆ’49, 𝑦=(27𝑠+8)βˆ’49
  • D𝑓(𝑠)=4ο€»1+ο‡βˆ’99οŠͺ, 𝑦=ο„‘ο„£ο„£ο„£ο„£ο„£ο„ βŽ›βŽœβŽœβŽ4ο€»1+ο‡βˆ’99⎞⎟⎟⎠οŠͺ
  • Eπ‘₯=π‘ βˆ’49, 𝑦=ο„‘ο„£ο„£ο„£ο„ οπ‘ βˆ’49

O comprimento do arco entre cada um dos pontos 𝐴,𝐡,𝐢, e 𝐷 Γ© uma unidade. DΓͺ as coordenadas de 𝐢 para 3 casas decimais.

  • A(1,310,1,500)
  • B(1,295,1,500)
  • C(1,296,1,476)
  • D(1,295,1,474)

Q9:

O comprimento exato da curva 𝑦=𝑒 entre π‘₯=1 e π‘₯=2 Γ© 4,785154 para 6 casas decimais. Estime isso usando a regra do trapΓ©zio com 𝑛=10 para sua integral. DΓͺ sua resposta a 6 casas decimais.

Q10:

Calcule o seguinte.

Encontre a derivada de βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—.

  • A2βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—
  • B𝑒𝑒+1οŠ¨ο—οŠ¨ο—
  • C1βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—
  • Dπ‘’βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—οŠ¨ο—
  • E2π‘’βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—οŠ¨ο—

Encontre a derivada de tanhοŠ±οŠ§οŠ¨ο—ο€»βˆšπ‘’+1.

  • Aβˆ’1βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—
  • Bπ‘’βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—οŠ¨ο—
  • Cβˆ’π‘’βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—οŠ¨ο—
  • D1βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—
  • Eβˆ’π‘’βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—οŠ¨ο—

EntΓ£o, encontre ο„Έβˆšπ‘’+1οŠ¨ο—.

  • Aβˆšπ‘’+1+ο€»βˆšπ‘’+1+πΆοŠ¨ο—οŠ±οŠ§οŠ¨ο—tanh
  • B2βˆšπ‘’+1βˆ’ο€»βˆšπ‘’+1+πΆοŠ¨ο—οŠ±οŠ§οŠ¨ο—tanh
  • Cβˆšπ‘’+1βˆ’ο€»βˆšπ‘’+1+πΆοŠ¨ο—οŠ±οŠ§οŠ¨ο—tanh
  • D2βˆšπ‘’+1+ο€»βˆšπ‘’+1+πΆοŠ¨ο—οŠ±οŠ§οŠ¨ο—tanh

Use seus resultados acima para calcular, com 5 casas decimais, o comprimento do arco da curva 𝑦=𝑒 entre π‘₯=1 e π‘₯=3.

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