Atividade: Comprimento da Arco por Integração

Nesta atividade, nós vamos praticar a configurar a integral que fornece o comprimento de arco da curva suave definida como y = f (x) entre dois pontos.

Q1:

Escreva a integral necessΓ‘ria para calcular o comprimento da curva senoidal entre π‘₯=0 e π‘₯=πœ‹. NΓ£o calcule isso.

  • A ο„Έ √ 1 + π‘₯ π‘₯ οŽ„   s e n d
  • B ο„Έ √ 1 βˆ’ π‘₯ π‘₯ οŽ„   c o s d
  • C ο„Έ √ 1 + π‘₯ π‘₯ οŽ„  c o s d
  • D ο„Έ √ 1 βˆ’ π‘₯ π‘₯ οŽ„   s e n d
  • E ο„Έ √ 1 + π‘₯ π‘₯ οŽ„   c o s d

Q2:

Calcule o comprimento do arco da curva 𝑦=√4βˆ’π‘₯ entre π‘₯=0 e π‘₯=2, dando sua resposta para 5 casas decimais.

  • A3,14159
  • B5,46410
  • C1,57080
  • D3,46410
  • E1,46410

Q3:

Encontre a função 𝑠(π‘₯) que dΓ‘ o comprimento do arco 𝑦=√π‘₯ de (0,0) para ο€»π‘₯,√π‘₯ο‡οŠ©.

  • A 𝑠 ( π‘₯ ) = ( 9 π‘₯ + 4 ) 2 7  
  • B 𝑠 ( π‘₯ ) = ( 1 8 π‘₯ + 8 ) βˆ’ 8 2 7  
  • C 𝑠 ( π‘₯ ) = 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9   οŠͺ  
  • D 𝑠 ( π‘₯ ) = 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3   οŠͺ  
  • E 𝑠 ( π‘₯ ) = ( 9 π‘₯ + 4 ) βˆ’ 8 2 7  

Q4:

Seja 𝐹(π‘₯)=ο€»π‘₯,√9βˆ’π‘₯ο‡οŠ¨ no intervalo [0,3]. Configurando a função comprimento do arco 𝑠(𝑑) para ser o comprimento do arco entre 𝐹(0) e 𝐹(𝑑), encontre as coordenadas do ponto 𝑃 nesta curva tal que o comprimento do arco de 𝐹(0) para 𝑃 Γ© 1. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A ( 0 , 3 2 7 2 , 2 , 9 8 2 1 )
  • B ( 0 , 9 8 1 6 , 8 , 0 3 6 5 )
  • C ( 1 , 2 , 8 2 8 4 )
  • D ( 0 , 9 8 1 6 , 2 , 8 3 4 9 )
  • E ( 0 , 0 1 7 5 , 2 , 9 9 9 )

Q5:

A figura mostra uma parte da curva 𝐹(π‘₯)=√π‘₯, com pontos marcados 𝐴(0,0), 𝐡, 𝐢, e 𝐷.

Dado que o comprimento do arco de (0,0) a (π‘₯,𝐹(π‘₯)) Γ© dado por 𝑠(π‘₯)=(9π‘₯+4)βˆ’827, a primeira coisa que precisamos para uma parametrização do comprimento do arco Γ© a inversa 𝑠(π‘₯). Determine 𝑓 de modo que π‘₯=𝑓(𝑠).

  • A 𝑓 ( 𝑠 ) = 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3   οŠͺ  
  • B 𝑓 ( 𝑠 ) = ( 2 7 𝑠 + 8 ) βˆ’ 4 9  
  • C 𝑓 ( 𝑠 ) = ( 1 8 𝑠 + 8 ) βˆ’ 8 2 7  
  • D 𝑓 ( 𝑠 ) = 𝑠 βˆ’ 4 9  
  • E 𝑓 ( 𝑠 ) = 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9   οŠͺ  

EntΓ£o, forneΓ§a a parametrização do comprimento do arco π‘₯=𝑓(𝑠), 𝑦=𝑔(𝑠) da curva.

  • A 𝑓 ( 𝑠 ) = 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3   οŠͺ   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„  βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ 2 ο€» 1 +  βˆ’ 3 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠   οŠͺ   
  • B 𝑓 ( 𝑠 ) = ( 1 8 𝑠 + 8 ) βˆ’ 8 2 7   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„   ( 1 8 𝑠 + 8 ) βˆ’ 8 2 7    
  • C π‘₯ = ( 2 7 𝑠 + 8 ) βˆ’ 4 9   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„   ( 2 7 𝑠 + 8 ) βˆ’ 4 9    
  • D 𝑓 ( 𝑠 ) = 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9   οŠͺ   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„£ ο„  βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ 4 ο€» 1 +  βˆ’ 9 9 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠   οŠͺ   
  • E π‘₯ = 𝑠 βˆ’ 4 9   , 𝑦 = ο„‘ ο„£ ο„£ ο„£ ο„   𝑠 βˆ’ 4 9    

O comprimento do arco entre cada um dos pontos 𝐴,𝐡,𝐢, e 𝐷 Γ© uma unidade. DΓͺ as coordenadas de 𝐢 para 3 casas decimais.

  • A ( 1 , 3 1 0 , 1 , 5 0 0 )
  • B ( 1 , 2 9 5 , 1 , 5 0 0 )
  • C ( 1 , 2 9 6 , 1 , 4 7 6 )
  • D ( 1 , 2 9 5 , 1 , 4 7 4 )

Q6:

O comprimento exato da curva 𝑦=𝑒 entre π‘₯=1 e π‘₯=2 Γ© 4,785154 para 6 casas decimais. Estime isso usando a regra do trapΓ©zio com 𝑛=10 para sua integral. DΓͺ sua resposta a 6 casas decimais.

Q7:

Calcule o seguinte.

Encontre a derivada de βˆšπ‘’+1οŠ¨ο—.

  • A 2 √ 𝑒 + 1  
  • B 𝑒 𝑒 + 1    
  • C 1 √ 𝑒 + 1  
  • D 𝑒 √ 𝑒 + 1    
  • E 2 𝑒 √ 𝑒 + 1    

Encontre a derivada de tanhοŠ±οŠ§οŠ¨ο—ο€»βˆšπ‘’+1.

  • A βˆ’ 1 √ 𝑒 + 1  
  • B 𝑒 √ 𝑒 + 1    
  • C βˆ’ 𝑒 √ 𝑒 + 1    
  • D 1 √ 𝑒 + 1  
  • E βˆ’ 𝑒 √ 𝑒 + 1    

EntΓ£o, encontre ο„Έβˆšπ‘’+1οŠ¨ο—.

  • A √ 𝑒 + 1 + ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h
  • B 2 √ 𝑒 + 1 βˆ’ ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h
  • C √ 𝑒 + 1 βˆ’ ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h
  • D 2 √ 𝑒 + 1 + ο€» √ 𝑒 + 1  + 𝐢       t a n h

Use seus resultados acima para calcular, com 5 casas decimais, o comprimento do arco da curva 𝑦=𝑒 entre π‘₯=1 e π‘₯=3.

Q8:

Calcule o comprimento do arco 𝑦=π‘₯+3232π‘₯ entre π‘₯=1 e π‘₯=3. DΓͺ sua resposta como uma fração.

  • A3,389
  • B 3 1 9
  • C 6 1 1 8
  • D 6 1 1 7
  • E 2 2 4 9

Q9:

Calcular o comprimento do arco da curva 𝑦=π‘₯32+1π‘₯οŠͺ entre π‘₯=1 e π‘₯=2, dando sua resposta como uma fração.

  • A 9 3 2
  • B 5 1 3 2
  • C 3 9 3 2
  • D 1 1 1 1 6 0
  • E 2 3 3 2

Q10:

Escreva, mas nΓ£o calcule, uma integral para o comprimento do arco da curva 𝑦=ο€Ή2π‘₯+7ln entre π‘₯=1 e π‘₯=4.

  • A ο„Έ ο„ž 1 + 2 5 4 π‘₯ π‘₯ οŠͺ   d
  • B ο„Έ ο„ž 1 + 2 5 π‘₯ π‘₯ οŠͺ  d
  • C ο„Έ ο„Ÿ 1 + ο€Ό 2 5 π‘₯ + 7 π‘₯  π‘₯ οŠͺ   d
  • D ο„Έ ο„ž 1 + 2 5 π‘₯ π‘₯ οŠͺ   d
  • E ο„Έ ο„ž 1 βˆ’ 2 5 4 π‘₯ π‘₯ οŠͺ   d

Q11:

Escreva, mas nΓ£o calcule, uma integral para o comprimento do arco da curva π‘₯=3𝑦2tg entre 𝑦=0 e 𝑦=πœ‹2.

  • A ο„Έ ο„ž 1 + 9 4 ο€» 𝑦 2  𝑦 ο‘½    s e c d
  • B ο„Έ ο„ž 1 + 9 4 ο€» 𝑦 2  𝑦 ο‘½   οŠͺ s e c d
  • C ο„Έ ο„ž 1 + 9 4 ο€» 𝑦 4  𝑦 ο‘½    t g d
  • D ο„Έ ο„ž 1 + 3 2 ο€» 𝑦 4  𝑦 ο‘½    s e c d
  • E ο„Έ ο„ž 1 + 3 2 ο€» π‘₯ 2  π‘₯ ο‘½   οŠͺ s e c d

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