Atividade: Demonstrando a Divisibilidade por Indução Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilização do método de indução matemática para provar a divisibilidade determinando um contra-exemplo que refuta uma dada proposição matemática.

Q1:

A Joana pretende provar, recorrendo à indução, que 𝑓 ( 𝑛 ) = 2 3 é divisível por 5 para todos os inteiros 𝑛 1 .

Primeiro, ela precisa de verificar o caso base, quando 𝑛 = 1 . Substitua 𝑛 = 1 na expressão e determine o resultado quando é dividido por 5.

Em seguida, a Joana assume que 𝑓 ( 𝑘 ) = 2 3 é divisível por 5. Ela precisa agora de provar que 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) = 2 3 ( ) é divisível por 5. Para o fazer, ela considera a diferença 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) . Escreva esta diferença na forma 𝑎 2 𝑏 3 .

  • A 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 7 2 2 3
  • B 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 9 2 4 3
  • C 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 9 2 2 3
  • D 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 7 2 4 3
  • E 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 4 2 4 3

Nesta fase, não é claro se 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) é divisível por 5. A Joana observa que poderá substituir 𝑓 ( 𝑘 ) na expressão. Escrevendo 7 2 como 5 2 + 2 2 , reescreva a expressão de 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) para incorporar 𝑓 ( 𝑘 ) .

  • A 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 5 2 + 𝑓 ( 𝑘 )
  • B 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 2 + 2 𝑓 ( 𝑘 )
  • C 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 5 2 + 2 𝑓 ( 𝑘 )
  • D 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 5 2 + 𝑓 ( 𝑘 )
  • E 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) 𝑓 ( 𝑘 ) = 5 2 + 2 𝑓 ( 𝑘 )

A Joana reorganiza a equação 𝑓 ( 𝑘 + 1 ) = 5 2 + 3 𝑓 ( 𝑘 ) . Depois, ela chega à seguinte conclusão: se a hipótese estiver correta que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛 = 𝑘 , então provámos que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛 = 𝑘 + 1 . Uma vez que provámos que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛 = 1 , provámos por indução matemática que a expressão é divisível por 5 para todos os inteiros 𝑛 1 .

A conclusão da Joana está correta?

  • ANão
  • BSim

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