Atividade: Aproximação Linear

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilização da aproximação linear para encontrar a equação de uma reta que é a estimativa mais próxima de uma função para um dado valor de x.

Q1:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥+3 para 𝑥=2.

  • A 6 𝑥 + 3
  • B 1 6 𝑥 + 3 2
  • C 1 6 𝑥 9
  • D 𝑥 8
  • E 1 6 𝑥 + 2 3

Q2:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥 para 𝑥=4.

  • A 1 4 𝑥 1
  • B 1 4 𝑥 + 2
  • C 𝑥 2
  • D 1 2 𝑥
  • E 1 4 𝑥 + 1

Q3:

Qual é a aproximação linear 𝐿(𝑥) de 1𝑥 próximo de 𝑥=0?

  • A 1 + 𝑥 2
  • B 1 𝑥 2
  • C 1 + 𝑥 2
  • D 1 𝑥 2
  • E 1 𝑥 2

Q4:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥 para 𝑥=8.

  • A 2 𝑥 1 9 1 1 2
  • B 1 1 2 𝑥 + 2 3
  • C 1 1 2 𝑥 4 3
  • D 1 1 2 𝑥 2
  • E 1 4 𝑥 4

Q5:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥+1 para 𝑥=1.

  • A 1 4 𝑥 + 1 2
  • B 1 2 𝑥 1 4
  • C 1 4 𝑥 1 4
  • D 1 4 𝑥 + 1 4
  • E 1 2 𝑥

Q6:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥sen para 𝑥=𝜋6.

  • A 3 2 𝑥 3 𝜋 1 2 + 1 2
  • B 3 2 𝑥 + 1 2
  • C 𝑥 𝜋 6 + 1 2
  • D 3 2 𝑥 3 𝜋 1 2
  • E 3 2 𝑥 + 3 𝜋 1 2 + 1 2

Q7:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥sen para 𝑥=2𝜋.

  • A 𝑥 2 𝜋
  • B 2 𝜋 𝑥
  • C 2 𝜋 𝑥 4 𝜋
  • D 2 𝜋 𝑥 + 4 𝜋
  • E 2 𝜋 𝑥 + 4 𝜋

Q8:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥sen para 𝑥=0.

Q9:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥tg para 𝑥=𝜋.

  • A 𝑥 𝜋
  • B 𝜋 𝑥
  • C0
  • D 𝑥
  • E 𝑥 + 𝜋

Q10:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=2 para 𝑥=0.

  • A 𝑥 + 1
  • B 𝑥 2 + 1 l n
  • C 𝑥 + 2 l n
  • D 𝑥 2 l n
  • E 𝑥 2 + 1 l n

Q11:

Determine a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=(1+𝑥) para 𝑥=0.

  • A 𝑘 𝑥
  • B 𝑥 + 1
  • C 1 𝑘 𝑥
  • D 𝑘 𝑥 + 1
  • E 𝑥 + 𝑘

Q12:

Determine a aproximação da função 𝑓(𝑥)=𝑥sen para 𝑥=0.

  • A 𝑥 + 𝜋
  • B 𝑥
  • C 𝑥 + 2 𝜋
  • D 𝑥
  • E 𝑥 + 𝜋 2

Q13:

Encontrando a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥 a um valor adequado de 𝑥, estime o valor de (1,999).

  • A15,992
  • B15,968
  • C15,984
  • D16,016
  • E16,032

Q14:

Encontrando a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥 a um valor adequado de 𝑥, estime o valor de 100,5.

Q15:

Encontrando a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑒 a um valor adequado de 𝑥, estime o valor de 𝑒.

Q16:

Encontrando a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥 a um valor adequado de 𝑥, estime o valor de 1001.

  • A 2 9 9 3 0
  • B 2 9 9 9 3 0 0
  • C 3 0 0 1 3 0 0
  • D 3 0 1 3 0
  • E 1 0 0 1 1 0 0

Q17:

Exploraremos porque chamamos aproximação da reta tangente a "melhor" aproximação local.

Qual é a aproximação da reta tangente em 𝑥=𝜋 para a função 𝑓(𝑥)=3,8(𝑥)sen?

  • A 𝐿 ( 𝑥 ) = 3 , 8 ( 𝑥 𝜋 )
  • B 𝐿 ( 𝑥 ) = 3 , 8 ( 𝑥 + 𝜋 )
  • C 𝐿 ( 𝑥 ) = 3 , 8 ( 𝑥 𝜋 )
  • D 𝐿 ( 𝑥 ) = 𝑥 𝜋
  • E 𝐿 ( 𝑥 ) = 3 , 8

Suponha que 𝐿(𝑥)=𝑘(𝑥𝜋) é utilizada como uma linearização local em 𝑥=𝜋 de 𝑓(𝑥)=3,8(𝑥)sen. Escreva a expressão do erro 𝐸(𝑥).

  • A 𝐸 ( 𝑥 ) = 𝑘 ( 𝑥 𝜋 )
  • B 𝐸 ( 𝑥 ) = 3 , 8 ( 𝑥 ) 𝑘 ( 𝑥 𝜋 ) s e n
  • C 𝐸 ( 𝑥 ) = 𝑘 ( 𝑥 𝜋 ) 3 , 8 ( 𝑥 ) s e n
  • D 𝐸 ( 𝑥 ) = 3 , 8 ( 𝑥 𝜋 ) 𝑘 ( 𝑥 𝜋 ) s e n
  • E 𝐸 ( 𝑥 ) = 3 , 8 ( 𝑥 𝜋 ) + 𝑘 ( 𝑥 𝜋 ) s e n

Determine o valor de 𝑘 para o qual lim𝐸(𝑥)𝑥𝜋=0.

  • A 1
  • B3,8
  • C0
  • D 3 , 8
  • E1

Suponha que 𝑓 é uma função que é derivável em 𝑥=𝑎. Utilizando a linearização local em 𝑥=𝑎 dado 𝑓(𝑥)𝑓(𝑎)+𝑘(𝑥𝑎), determine lim𝐸(𝑥)𝑥𝑎.

  • A 𝑘
  • B 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑘
  • C 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑘
  • D 𝑓 ( 𝑎 ) + 𝑘
  • E 𝑓 ( 𝑎 )

Q18:

Ao encontrar a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥cos a um valor adequado de 𝑥, estime o valor de cos29.

  • A2
  • B 1 2 + 3 𝜋 3 6 0
  • C 3 2 + 𝜋 3 6 0
  • D 1 2 3 𝜋 3 6 0
  • E 3 2 𝜋 3 6 0

Q19:

Através da determinação de uma aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=𝑥sen num valor adequado de 𝑥, faça uma estimativa do valor de sen(3,14).

  • A 3 , 1 4 𝜋
  • B0
  • C 𝜋 3 , 1 4
  • D 1
  • E 𝜋 + 3 , 1 4

Q20:

Use uma linearização local próxima a𝜋2 para estimar 𝑓2 para 3 casas decimais, onde 𝑓(𝑥)=2𝑥sen.

  • A0,308
  • B0,313
  • C 0 , 3 0 8
  • D0,311
  • E 0 , 3 1 3

Q21:

Determinando a aproximação linear da função 𝑓(𝑥)=1𝑥 num valor adequado de 𝑥, faça uma estimativa do valor de 14,002.

Q22:

Encontre a linearização local de 11+𝑥 próximo a 𝑥=0.

  • A 1 𝑥 2
  • B 1 𝑥
  • C 1 + 𝑥 2
  • D 1 + 𝑥
  • E 1 + 𝑥 2

Q23:

A primeira condição para uma função linear 𝐿(𝑥) ser uma aproximação para 𝑓(𝑥) próximo a 𝑥=𝑎 é que 𝐿(𝑎)=𝑓(𝑎). Então 𝐿(𝑥)=𝑓(𝑎)+𝑚(𝑥𝑎) para alguma constante 𝑚. O erro no uso de 𝐿 ao invés de 𝑓 em um ponto 𝑥 é a função 𝐸(𝑥)=𝑓(𝑥)𝐿(𝑥).

A aproximação da reta tangente para 𝑓 próxima a 𝑥=𝑎 é a aproximação linear 𝐿(𝑥)=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑎)(𝑥𝑎). Qual é a aproximação da reta tangente para 𝑓(𝑥)=𝑒 próximo a 𝑥=0?

  • A 𝐿 ( 𝑥 ) = 𝑘 𝑥
  • B 𝐿 ( 𝑥 ) = 1 + 𝑥
  • C 𝐿 ( 𝑥 ) = 𝑘 + 𝑥
  • D 𝐿 ( 𝑥 ) = 1
  • E 𝐿 ( 𝑥 ) = 1 + 𝑘 𝑥

Qual é o erro em usar a aproximação da reta tangente para 𝑓(𝑥)=𝑒 próximo a 𝑥=0 no ponto 0,1? Dê sua resposta para 5 casas decimais.

  • A0,56831
  • B0,70574
  • C0,11831

Qual é o erro em usar a aproximação da reta tangente para 𝑓(𝑥)=𝑒 próximo a 𝑥=0 no ponto 0,01? Dê sua resposta para 5 casas decimais.

  • A0,04602
  • B0,00103
  • C0,04707

Qual é o erro em usar a aproximação da reta tangente para 𝑓(𝑥)=𝑒 próximo a 𝑥=0 no ponto 0,001? Dê sua resposta para 5 casas decimais.

  • A0,00451
  • B0,00001
  • C0,00452

Q24:

A curva 𝐶 de equação 𝑦=𝑒 tem concavidade voltada para cima. A reta 𝑦=0,12𝑥+1,03 está acima de 𝐶 quando 𝑥=0 mas, em seguida, interseta rapidamente 𝐶 nalgum 𝛿>0 próximo de 0.

Qual é a equação que pode ser utilizada para determinar 𝛿?

  • A 𝑒 = 𝛿
  • B 𝑒 = 1 , 0 3
  • C 𝑒 = 0 , 1 2 𝛿 + 1 , 0 3
  • D 𝑒 = 0 , 1 2 𝛿
  • E 𝑒 = 0 , 1 2 𝛿 1 , 0 3

Determine uma estimativa para 𝛿 utilizando a aproximação da reta tangente de 𝑓(𝑥)=𝑒 a 𝑥=0 na equação em cima. Apresente a resposta com 3 casas decimais.

  • A1,130
  • B0,015
  • C0,033
  • D0,120
  • E0,034

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