Atividade: Equações Paramétricas de Curvas Planas

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar as equações paramétricas de uma curva plana.

Q1:

A primeira figura mostra os gráficos de c o s 2 𝜋 𝑡 e s e n 2 𝜋 𝑡 , que parametriza o círculo unitário para 0 𝑡 1 . O que as duas funções representadas na segunda figura parametrizam?

  • Ao círculo unitário
  • B o quadrado em ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( 0 , 1 )
  • C o quadrado em ( 0 , 5 , 0 , 5 ) , ( 0 , 5 , 0 , 5 ) , ( 0 , 5 , 0 , 5 ) , ( 0 , 5 , 0 , 5 )
  • D o quadrado em ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )

Q2:

Considere os pontos 𝐴 = ( 1 , 1 ) e 𝐵 = ( 5 , 4 ) .

Qual é o comprimento de [ 𝐴 𝐵 ] ?

Determine a parametrização do segmento [ 𝐴 𝐵 ] em 0 𝑡 1 .

  • A 𝑥 = 4 𝑡 + 1 , 𝑦 = 3 𝑡 + 1
  • B 𝑥 = 3 𝑡 + 1 , 𝑦 = 4 𝑡 + 1
  • C 𝑥 = 𝑡 + 4 , 𝑦 = 𝑡 + 3
  • D 𝑥 = 4 ( 𝑡 + 1 ) , 𝑦 = 3 ( 𝑡 + 1 )
  • E 𝑥 = 3 ( 𝑡 + 1 ) , 𝑦 = 4 ( 𝑡 + 1 )

Determine 𝑓 e 𝑔 tal que 𝑥 = 𝑓 ( 𝑡 ) , 𝑦 = 𝑔 ( 𝑡 ) parametrizem [ 𝐴 𝐵 ] em 0 𝑡 5 .

  • A 𝑓 ( 𝑡 ) = 𝑡 + 4 , 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑡 + 3
  • B 𝑓 ( 𝑡 ) = 4 𝑡 + 1 , 𝑔 ( 𝑡 ) = 3 𝑡 + 1
  • C 𝑓 ( 𝑡 ) = 4 5 𝑡 + 1 , 𝑔 ( 𝑡 ) = 3 5 𝑡 + 1
  • D 𝑓 ( 𝑡 ) = 𝑡 + 4 5 , 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑡 + 3 5
  • E 𝑓 ( 𝑡 ) = 3 𝑡 + 1 , 𝑔 ( 𝑡 ) = 4 𝑡 + 1

Utilizando as funções em cima para 0 𝑠 5 , qual é a distância entre o ponto ( 1 , 1 ) e o ponto ( 𝑓 ( 𝑠 ) , 𝑔 ( 𝑠 ) ) ?

  • A 𝑠
  • B 𝑠 2
  • C 𝑠 + 2
  • D 𝑠 + 1
  • E 𝑠 1

A parametrização de [ 𝐴 𝐵 ] em cima é um exemplo de uma {parametrização do comprimento de arco} de uma curva plana. Determine a parametrização do comprimento de arco 𝑥 = 𝑓 ( 𝑡 ) , 𝑦 = 𝑔 ( 𝑡 ) de [ 𝐴 𝐶 ] , em que 𝐶 = ( 1 3 , 6 ) e o parâmetro começa em 𝑡 = 0 . Apresente o intervalo utilizado.

  • A 𝑥 = 1 2 1 3 𝑡 + 1 , 𝑦 = 5 1 3 𝑡 + 1 em 5 𝑡 1 3
  • B 𝑥 = 5 1 3 𝑡 + 1 , 𝑦 = 1 2 1 3 𝑡 + 1 em 0 𝑡 1 3
  • C 𝑥 = 𝑡 + 1 2 1 3 , 𝑦 = 5 1 3 𝑡 em 0 𝑡 1 3
  • D 𝑥 = 1 2 1 3 𝑡 + 1 , 𝑦 = 5 1 3 𝑡 + 1 em 0 𝑡 1 3
  • E 𝑥 = 5 1 3 𝑡 + 1 , 𝑦 = 1 2 1 3 𝑡 + 1 em 5 𝑡 1 3

Q3:

Uma partícula se move ao longo da curva dada pelas equações paramétricas 𝑥 = 2 𝑡 + 1 , 𝑦 = 3 𝑡 + 2 com 1 2 𝑡 1 .

Em que ponto a partícula está localizada quando 𝑡 = 1 2 ? Dê sua resposta para uma casa decimal, se necessário.

  • A ( 0 , 5 , 2 )
  • B ( 1 , 2 )
  • C ( 2 , 1 )
  • D ( 2 , 0 , 5 )
  • E ( 1 , 5 , 0 , 5 )

Em quais pontos a partícula está localizada quando 𝑡 = 0 e 𝑡 = 1 ? Dê suas respostas para uma casa decimal, se necessário.

  • A ( 1 , 2 ) e ( 3 , 1 )
  • B ( 2 , 3 ) e ( 1 , 3 )
  • C ( 1 , 2 ) e ( 3 , 1 )
  • D ( 2 , 1 ) e ( 1 , 3 )
  • E ( 1 , 2 ) e ( 3 , 5 )

Encontre uma equação para a reta que a partícula se move na forma 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑐 .

  • A 3 𝑥 2 𝑦 = 1
  • B 3 𝑥 2 𝑦 = 7
  • C 3 𝑥 + 2 𝑦 = 7
  • D 2 𝑥 + 3 𝑦 = 7
  • E 3 𝑥 + 2 𝑦 = 1 3

Qual é o menor valor de 𝑥 durante o movimento da partícula? Quando é atingido?

  • A 𝑥 = 1 , em 𝑡 = 0
  • B 𝑥 = 1 , em 𝑡 = 1 2
  • C 𝑥 = 0 , 5 , em 𝑡 = 0
  • D 𝑥 = 0 , 5 , em 𝑡 = 1 2
  • E 𝑥 = 1 , em 𝑡 = 1

Descreva o movimento de 𝑡 = 1 2 para 𝑡 = 1 em termos de posição na reta.

  • AA partícula começa em ( 0 , 5 , 2 ) , vai para a esquerda e para cima ( 2 , 1 ) , e depois volta para a direita e para baixo para ( 1 , 3 ) .
  • BA partícula começa em ( 2 , 0 , 5 ) , vai para a direita e para baixo ( 1 , 2 ) , e depois volta para a esquerda e para cima ( 3 , 1 ) .
  • CA partícula começa em ( 1 , 2 ) , vai para a esquerda e para cima ( 2 , 1 ) , e depois volta para a direita e para baixo para ( 3 , 1 ) .
  • DA partícula começa em ( 2 , 0 , 5 ) , vai para a esquerda e para cima ( 1 , 2 ) , e depois volta para a direita e para baixo para ( 3 , 1 ) .
  • EA partícula começa em ( 0 , 5 , 2 ) , vai para a direita e para baixo ( 2 , 1 ) , e depois volta para a esquerda e para cima ( 1 , 3 ) .

Dê os parâmetros 𝑥 = 𝑓 ( 𝑡 ) , 𝑦 = 𝑔 ( 𝑡 ) que descrevem o mesmo movimento, mas em um intervalo a partir de 𝑡 = 0 ao invés de 1 2 . Em qual intervalo 𝑡 se encontra?

  • A 𝑥 = 𝑡 1 2 + 1 , 𝑦 = 𝑡 1 2 + 1 , no intervalo 0 𝑡 2 + 1 2
  • B 𝑥 = 2 𝑡 + 1 2 1 , 𝑦 = 3 𝑡 + 1 2 1 , no intervalo 0 𝑡 2 + 1 2
  • C 𝑥 = 2 𝑡 + 1 2 + 1 , 𝑦 = 3 𝑡 + 1 2 + 1 , no intervalo 0 𝑡 2 + 1 2
  • D 𝑥 = 2 𝑡 1 2 + 1 , 𝑦 = 3 𝑡 1 2 + 2 , no intervalo 0 𝑡 2 + 1 2
  • E 𝑥 = 𝑡 + 1 2 + 1 , 𝑦 = 𝑡 + 1 2 + 1 , no intervalo 0 𝑡 2 + 1 2

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.