Atividade: Equações Paramétricas de Curvas Planas

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar as equações paramétricas de uma curva plana.

Q1:

Use o fato de que coshsenh𝑥𝑥=1 para encontrar uma parametrização da parte da hipérbole 𝑥25𝑦81=1 que contém o ponto (5;0).

  • A𝑥=5𝑡;𝑦=9𝑡coshsenh
  • B𝑥=5𝑡;𝑦=9𝑡coshsenh
  • C𝑥=25𝑡;𝑦=81𝑡coshsenh
  • D𝑥=5𝑡;𝑦=9𝑡coshsenh
  • E𝑥=5𝑡;𝑦=9𝑡coshsenh

Q2:

A primeira figura mostra os gráficos de cos2𝜋𝑡 e sen2𝜋𝑡, que parametriza o círculo unitário para 0𝑡1. O que as duas funções representadas na segunda figura parametrizam?

  • Ao círculo unitário
  • Bo quadrado em (0,5,0,5), (0,5,0,5), (0,5,0,5), (0,5,0,5)
  • Co quadrado em (0,0), (0,1), (1,1), (0,1)
  • Do quadrado em (1,0), (0,1), (1,0), (0,1)

Q3:

Considere os pontos 𝐴=(1;1) e 𝐵=(5;4).

Qual é o comprimento de 𝐴𝐵?

Determine a parametrização do segmento 𝐴𝐵 em 0𝑡1.

  • A𝑥=4(𝑡+1);𝑦=3(𝑡+1)
  • B𝑥=𝑡+4;𝑦=𝑡+3
  • C𝑥=4𝑡+1;𝑦=3𝑡+1
  • D𝑥=3𝑡+1;𝑦=4𝑡+1
  • E𝑥=3(𝑡+1);𝑦=4(𝑡+1)

Determine 𝑓 e 𝑔 tal que 𝑥=𝑓(𝑡), 𝑦=𝑔(𝑡) parametrizem 𝐴𝐵 em 0𝑡5.

  • A𝑓(𝑡)=4𝑡+1;𝑔(𝑡)=3𝑡+1
  • B𝑓(𝑡)=𝑡+4;𝑔(𝑡)=𝑡+3
  • C𝑓(𝑡)=3𝑡+1;𝑔(𝑡)=4𝑡+1
  • D𝑓(𝑡)=𝑡+45;𝑔(𝑡)=𝑡+35
  • E𝑓(𝑡)=45𝑡+1;𝑔(𝑡)=35𝑡+1

Utilizando as funções em cima para 0𝑠5, qual é a distância entre o ponto (1;1) e o ponto (𝑓(𝑠);𝑔(𝑠))?

  • A𝑠1
  • B𝑠+1
  • C𝑠
  • D𝑠+2
  • E𝑠2

A parametrização de 𝐴𝐵 em cima é um exemplo de uma {parametrização do comprimento de arco} de uma curva plana. Determine a parametrização do comprimento de arco 𝑥=𝑓(𝑡), 𝑦=𝑔(𝑡) de 𝐴𝐶, em que 𝐶=(13;6) e o parâmetro começa em 𝑡=0. Apresente o intervalo utilizado.

  • A𝑥=1213𝑡+1;𝑦=513𝑡+1 em 5𝑡13
  • B𝑥=1213𝑡+1;𝑦=513𝑡+1 em 0𝑡13
  • C𝑥=513𝑡+1;𝑦=1213𝑡+1 em 0𝑡13
  • D𝑥=𝑡+1213;𝑦=513𝑡 em 0𝑡13
  • E𝑥=513𝑡+1;𝑦=1213𝑡+1 em 5𝑡13

Q4:

Uma partícula se move ao longo da curva dada pelas equações paramétricas 𝑥=2𝑡+1, 𝑦=3𝑡+2 com 12𝑡1.

Em que ponto a partícula está localizada quando 𝑡=12? Dê sua resposta para uma casa decimal, se necessário.

  • A(2,1)
  • B(2,0,5)
  • C(1,2)
  • D(0,5,2)
  • E(1,5,0,5)

Em quais pontos a partícula está localizada quando 𝑡=0 e 𝑡=1? Dê suas respostas para uma casa decimal, se necessário.

  • A(1,2) e (3,5)
  • B(1,2) e (3,1)
  • C(2,1) e (1,3)
  • D(1,2) e (3,1)
  • E(2,3) e (1,3)

Encontre uma equação para a reta que a partícula se move na forma 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐.

  • A3𝑥+2𝑦=13
  • B3𝑥2𝑦=1
  • C3𝑥2𝑦=7
  • D2𝑥+3𝑦=7
  • E3𝑥+2𝑦=7

Qual é o menor valor de 𝑥 durante o movimento da partícula? Quando é atingido?

  • A𝑥=1, em 𝑡=12
  • B𝑥=1, em 𝑡=0
  • C𝑥=1, em 𝑡=1
  • D𝑥=0,5, em 𝑡=12
  • E𝑥=0,5, em 𝑡=0

Descreva o movimento de 𝑡=12 para 𝑡=1 em termos de posição na reta.

  • AA partícula começa em (0,5,2), vai para a esquerda e para cima (2,1), e depois volta para a direita e para baixo para (1,3).
  • BA partícula começa em (0,5,2), vai para a direita e para baixo (2,1), e depois volta para a esquerda e para cima (1,3).
  • CA partícula começa em (2,0,5), vai para a direita e para baixo (1,2), e depois volta para a esquerda e para cima (3,1).
  • DA partícula começa em (1,2), vai para a esquerda e para cima (2,1), e depois volta para a direita e para baixo para (3,1).
  • EA partícula começa em (2,0,5), vai para a esquerda e para cima (1,2), e depois volta para a direita e para baixo para (3,1).

Dê os parâmetros 𝑥=𝑓(𝑡), 𝑦=𝑔(𝑡) que descrevem o mesmo movimento, mas em um intervalo a partir de 𝑡=0 ao invés de 12. Em qual intervalo 𝑡 se encontra?

  • A𝑥=𝑡+12+1, 𝑦=𝑡+12+1, no intervalo 0𝑡2+12
  • B𝑥=𝑡12+1, 𝑦=𝑡12+1, no intervalo 0𝑡2+12
  • C𝑥=2𝑡+121, 𝑦=3𝑡+121, no intervalo 0𝑡2+12
  • D𝑥=2𝑡+12+1, 𝑦=3𝑡+12+1, no intervalo 0𝑡2+12
  • E𝑥=2𝑡12+1, 𝑦=3𝑡12+2, no intervalo 0𝑡2+12

Q5:

Converta as equações paramétricas 𝑥=3𝑡cos e 𝑦=3𝑡sen para forma retangular.

  • A𝑥𝑦=9
  • B𝑦=3𝑥sen
  • C𝑥+𝑦=3
  • D𝑥+𝑦=9
  • E𝑥=3𝑦cos

Q6:

Converta a equação retangular 𝑥+𝑦=25 para forma paramétrica.

  • A𝑥=5𝑡,𝑦=5𝑡cossen
  • B𝑥=𝑡,𝑦=25𝑡sencos
  • C𝑥=𝑡,𝑦=𝑡sencos
  • D𝑥=25𝑡,𝑦=25𝑡sencos
  • E𝑥=5𝑡,𝑦=5𝑡cossen

Q7:

Converta as equações paramétricas 𝑥=𝑡+2 e 𝑦=3𝑡1 para forma retangular.

  • A𝑥=𝑦+13
  • B𝑥=𝑦+13+2
  • C𝑥=𝑦+13+2
  • D𝑥=3𝑦1
  • E𝑥=𝑦+2

Q8:

Converta a equação retangular 𝑥𝑦=9 para forma paramétrica.

  • A𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡sinhcosh
  • B𝑥=9𝑡,𝑦=9𝑡coshsinh
  • C𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡coshsinh
  • D𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡cossen
  • E𝑥=9𝑡,𝑦=9𝑡sencos

Q9:

Considere os pontos 𝐴=(1,1) e 𝐵=(4,2). Parametrize o segmento 𝐴𝐵, onde 0𝑡1.

  • A𝑥=1𝑡,𝑦=5𝑡1
  • B𝑥=𝑡+1,𝑦=5𝑡1
  • C𝑥=5𝑡+1,𝑦=1𝑡
  • D𝑥=5𝑡+1,𝑦=1+𝑡
  • E𝑥=5𝑡1,𝑦=𝑡+1

Q10:

Converta as equações paramétricas 𝑥=2𝑡+1 e 𝑦=𝑡4 para a forma retangular.

  • A𝑦=𝑥92
  • B𝑦=2𝑥+1
  • C𝑦=𝑥+92
  • D𝑦=𝑥4
  • E𝑦=𝑥12

Q11:

Converta a equação retangular (𝑥+3)+(𝑦+5)=9 para a forma paramétrica.

  • A𝑥=3(𝑡)+3𝑦=3(𝑡)+5cosesen
  • B𝑥=3(𝑡)3𝑦=3(𝑡)5cosesen
  • C𝑥=3(𝑡)𝑦=3(𝑡)cosesen
  • D𝑥=9(𝑡)+3𝑦=9(𝑡)+5cosesen
  • E𝑥=9(𝑡)3𝑦=9(𝑡)5cosesen

Q12:

Converta as equações paramétricas 𝑥=12𝑡ln e 𝑦=3𝑡 para a forma retangular.

  • A𝑦=12𝑒
  • B𝑦=12𝑒
  • C𝑦=38𝑒
  • D𝑦=6𝑒
  • E𝑦=3𝑒

Q13:

Converta as equações paramétricas 𝑥=𝑡 e 𝑦=5𝑡+4𝑡 para a forma retangular.

  • A𝑦=5𝑥+4𝑥
  • B𝑦=5𝑥+5𝑥
  • C𝑦=5𝑥+4𝑥
  • D𝑦=5𝑥4𝑥
  • E𝑦=5𝑥+4𝑥

Q14:

Converta as equações paramétricas 𝑥=(𝑡)cos e 𝑦=(𝑡)sen para a forma retangular.

  • A𝑦=(𝑥)sen
  • B𝑥+𝑦=1
  • C𝑥=(𝑦)cos
  • D𝑥+𝑦=1
  • E𝑥𝑦=1

Q15:

Converta a equação retangular (𝑥+2)(𝑦+5)=16 para a forma paramétrica.

  • A𝑥=4(𝑡)2𝑦=4(𝑡)5coshesenh
  • B𝑥=4(𝑡)𝑦=4(𝑡)coshesenh
  • C𝑥=16(𝑡)2𝑦=16(𝑡)5coshesenh
  • D𝑥=4(𝑡)2𝑦=4(𝑡)5cosesen
  • E𝑥=4(𝑡)+2𝑦=4(𝑡)+5cosesen

Q16:

Determine a equação cartesiana da curva definida pelas equações paramétricas 𝑥=2+𝑡cos e 𝑦=42𝑡cos.

  • A𝑦=8𝑥32𝑥+28
  • B𝑦=8𝑥32𝑥28
  • C𝑦=4𝑥+16𝑥+12
  • D𝑦=4𝑥16𝑥+12
  • E𝑦=8𝑥+32𝑥+36

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