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Atividade: Determinando a Matriz de uma Transformação Linear de Reflexão de Vetores por um Dado Eixo

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a matriz da transformação linear de reflexão de vetores por um dado eixo.

Q1:

Quais das seguintes alternativas são condições necessárias e suficientes em 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , e 𝑑 para a matriz 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 representar uma reflexão?

  • A 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = − 𝑎 , 𝑎 − 𝑐 = 1 2 2
  • B 𝑏 = − 𝑐 , 𝑑 = − 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1 2 2
  • C 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1 2 2
  • D 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = − 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1 2 2
  • E 𝑏 = − 𝑐 , 𝑑 = − 𝑎 , 𝑎 − 𝑐 = 1 2 2

Q2:

Seja 𝑇 a transformação linear que reflete todos os vetores em ℝ no eixo O 𝑥 . Represente 𝑇 como uma matriz e determine os seus valores próprios e vetores próprios.

  • A 𝑇 = 1 − 1 1 2 − 5 . Os seus valores próprios − 2 com o correspondente vetor próprio − 1 1 e 2 com o correspondente vetor próprio − 1 1 .
  • B 𝑇 = 0 4 2 − 1 . Os seus valores próprios são 2 com o correspondente vetor próprio 2 1 e 4 com o correspondente vetor próprio 1 1 .
  • C 𝑇 = 1 0 0 − 1 . Os seus valores próprios são − 1 com o correspondente vetor próprio 0 1 e 1 com o correspondente vetor próprio 1 − 1 .
  • D 𝑇 = 1 0 0 − 1 . Os seus valores próprios são − 1 com o correspondente vetor próprio 0 1 e 1 com o correspondente vetor próprio 1 0 .
  • E 𝑇 = 0 4 2 − 1 . Os seus valores próprios são 2 com o correspondente vetor próprio 2 3 e 4 com o correspondente vetor próprio 1 1 .

Q3:

Um vetor em ℝ roda em sentido anti-horário em torno da origem um ângulo de 2 𝜋 3 , e o resultado é refletido pelo eixo O 𝑥 . Determine, em relação a uma base canónica, a matriz desta transformação combinada.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 1 2 − √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q4:

Uma reflexão em uma reta através da origem envia o vetor 3 4 para 4 3 . Encontre a representação da matriz dessa reflexão.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 5 3 5 − 3 5 4 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 4 2 5 7 2 5 − 7 2 5 2 4 2 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 − 2 4 2 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D 0 1 1 0
  • E 1 1 0 1

Q5:

Considere a transformação linear que transforma um ponto na sua reflexão no eixo O 𝑥 .

Determine a matriz 𝐴 que representa esta transformação.

  • A 𝐴 = 1 0 0 1
  • B 𝐴 = 1 0 − 1 1
  • C 𝐴 = − 1 0 1 − 1
  • D 𝐴 = 1 0 0 − 1
  • E 𝐴 = 1 1 0 1

Para onde é que esta transformação manda o ponto ( 2 , − 3 ) ?

  • A ( 2 , 3 )
  • B ( − 2 , 3 )
  • C ( − 2 , − 3 )
  • D ( − 2 , 3 )
  • E ( 2 , − 3 )

Q6:

Suponha 𝐴 e 𝐵 matrizes 2 × 2 , com 𝐴 a representar uma rotação em sentido horário de 3 0 ∘ em torno da origem e 𝐵 a representar uma reflexão em O 𝑥 . O que representa a matriz 𝐴 𝐵 ?

  • Auma reflexão na reta que passa na origem com 7 5 ∘ de inclinação
  • Buma reflexão na reta que passa na origem com − 1 5 ∘ de inclinação
  • Cuma reflexão na reta que passa na origem com − 7 5 ∘ de inclinação
  • Duma reflexão na reta que passa na origem com 1 5 ∘ de inclinação
  • Euma reflexão na reta que passa na origem com − 4 5 ∘ de inclinação

Q7:

Uma reflexão em uma reta através da origem envia o vetor 3 4 para 4 − 3 . Encontre a representação da matriz dessa reflexão.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 5 3 5 − 3 5 4 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 4 2 5 7 2 5 − 7 2 5 2 4 2 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C 0 1 1 0
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 − 2 4 2 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 5 3 5 3 5 − 4 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q8:

Considere a reflexão na reta 𝑦 = 1 2 𝑥 .

Encontre a matriz que representa essa transformação.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 5 4 5 4 5 3 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 5 3 5 3 5 − 4 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 5 4 5 4 5 − 3 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Qual é a imagem do ponto ( 1 2 , 5 ) sob esta reflexão?

  • A 5 6 5 , 3 3 5
  • B 1 7 2 , 7 2
  • C 5 6 5 , 6 3 5
  • D 6 3 5 , 1 6 5
  • E 7 2 , 1 7 2

Q9:

Suponha que 𝐴 e 𝐵 são matrizes 2 × 2 , com 𝐴 a representar uma rotação em sentido horário de 3 0 ∘ em torno da origem e 𝐵 a representar uma reflexão em O 𝑥 . O que é que a matriz 𝐵 𝐴 representa?

  • Auma reflexão na reta que passa pela origem com 7 5 ∘ de inclinação
  • Buma reflexão na reta que passa na origem com 1 5 ∘ de inclinação
  • Cuma reflexão na reta que passa pela origem com − 7 5 ∘ de inclinação
  • Duma reflexão na reta que passa pela origem com − 1 5 ∘ de inclinação
  • Euma reflexão na reta que passa pela origem com − 4 5 ∘ de inclinação

Q10:

Seja 𝑇 a transformação linear que reflete todos os vetores em ℝ 3 no plano 𝑥 𝑦 . Represente 𝑇 como uma matriz e encontre seus autovalores e autovetores.

  • A 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Seu único autovalor é 1, com autovetores correspondentes 0 1 0 e 1 1 1 .
  • B 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Seu único autovalor é 1, com autovetores correspondentes 0 1 0 e 1 0 0 .
  • C 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 . Seus autovalores são − 1 , com o autovetor correspondente 0 0 1 , e 1, com autovetores correspondentes 0 1 1 e 1 0 0 .
  • D 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 . Seus autovalores são − 1 com o autovetor correspondente 0 0 1 , e 1, com autovetores correspondentes 0 1 0 e 1 0 0 .
  • E 𝑇 = 1 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 . Seus autovalores são − 1 , com o autovetor correspondente 0 0 1 , e 1, com autovetores correspondentes 0 1 0 e 1 0 0 .

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