Lição de casa da aula: Transformações Lineares em Planos: Reflexão Matemática

Praticar

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a matriz de transformação linear de reflexão ao longo do eixo x ou y ou a reta de uma dada equação e a imagem de um vetor sob a reflexão.

Questão 1

Uma reflexão em uma reta através da origem envia o vetor 34 para 43. Encontre a representação da matriz dessa reflexão.

  • A⎡⎢⎢⎣2425725−7252425⎤⎥⎥⎦
  • B1101
  • C0110
  • D⎡⎢⎢⎣4535−3545⎤⎥⎥⎦
  • E⎡⎢⎢⎣2425725725−2425⎤⎥⎥⎦

Questão 2

Uma reflexão em uma reta através da origem envia o vetor 34 para 4−3. Encontre a representação da matriz dessa reflexão.

  • A⎡⎢⎢⎣2425725−7252425⎤⎥⎥⎦
  • B⎡⎢⎢⎣453535−45⎤⎥⎥⎦
  • C⎡⎢⎢⎣4535−3545⎤⎥⎥⎦
  • D0110
  • E⎡⎢⎢⎣2425725725−2425⎤⎥⎥⎦

Questão 3

Considere a figura dada.

Os pontos 𝑂(0;0), 𝐴(1;0), 𝐵(1;1), e 𝐶(0;1) são vértices do quadrado unitário. Este quadrado é refletido na reta 𝑂𝐷 com equação 𝑦=12𝑥 para formar a imagem 𝑂𝐴𝐵𝐶∗∗∗.

Como 𝐴∗ é a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷, 𝑚(̂𝐴𝑂𝐴)=2𝑚(̂𝐷𝑂𝐴)∗. Use este fato e a identidade tgtgtg2𝜃=2𝜃1−𝜃 para encontrar o gradiente e, portanto, a equação de ⃖⃗𝑂𝐴∗ a partir do gradiente de ⃖⃗𝑂𝐷.

  • A𝑦=43𝑥
  • B𝑦=−23𝑥
  • C𝑦=34𝑥
  • D𝑦=−43𝑥
  • E𝑦=23𝑥

Usando o fato de que ⃖⃗𝑂𝐶∗ é perpendicular ao ⃖⃗𝑂𝐴∗, encontre a equação de ⃖⃗𝑂𝐶∗.

  • A𝑦=−43𝑥
  • B𝑦=−32𝑥
  • C𝑦=43𝑥
  • D𝑦=34𝑥
  • E𝑦=−34𝑥

Usando o fato de que 𝑂𝐶=𝑂𝐴=1∗∗, encontre as coordenadas de 𝐶∗ e 𝐴∗.

  • A𝐶=1625;−925∗, 𝐴=925;1625∗
  • B𝐶=−35;−45∗, 𝐴=45;35∗
  • C𝐶=45;−35∗, 𝐴=35;45∗
  • D𝐶=47;−37∗, 𝐴=37;47∗
  • E𝐶=−37;47∗, 𝐴=47;37∗

Usando o fato de que uma reflexão em uma reta através da origem é uma transformação linear, encontre a matriz que representa a reflexão na reta 𝑦=12𝑥.

  • A⎡⎢⎢⎣453535−45⎤⎥⎥⎦
  • B⎡⎢⎢⎣473737−47⎤⎥⎥⎦
  • C⎡⎢⎢⎣92516251625−925⎤⎥⎥⎦
  • D⎡⎢⎢⎣354545−35⎤⎥⎥⎦
  • E⎡⎢⎢⎣374747−37⎤⎥⎥⎦

Questão 4

Considere a matriz 𝑀=𝛼𝛼𝛼−𝛼 em que 𝛼=√22.

Determine 𝑀.

  • A100−1
  • B1001
  • C−1001
  • D1111
  • E⎡⎢⎢⎣12121212⎤⎥⎥⎦

Determine det(𝑀).

  • A2
  • B1
  • C12
  • D0
  • E−1

Esboçando a imagem do quadrado unitário sob a transformação, identifique a transformação geométrica a que esta matriz corresponde.

  • Auma projeção na reta 𝑦=𝑥
  • Buma rotação de 45∘ em sentido horário em torno do ponto (1,0)
  • Cuma reflexão na reta 𝑦=(22,5)𝑥tg∘
  • Duma rotação de 45∘ em sentido horário em torno da origem
  • Euma reflexão na reta 𝑦=𝑥

Questão 5

Considere a figura apresentada.

Os pontos 𝑂(0,0), 𝐴(1,0), 𝐵(1,1) e 𝐶(0,1) são vértices do quadrado unitário. Este quadrado é refletido pela reta 𝑂𝐷 com equação 𝑦=𝑘𝑥 para formar a imagem 𝑂𝐴𝐵𝐶∗∗∗.

Como 𝐴∗ é a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷, 𝑚(̂𝐴𝑂𝐴)=2𝑚(̂𝐷𝑂𝐴)∗. Utilize este facto e a identidade tgtgtg2𝜃=2𝜃1−𝜃 para determinar o declive e em seguida a equação de ⃖⃗𝑂𝐴∗ a partir do declive de ⃖⃗𝑂𝐷.

  • A𝑦=2𝑘1−𝑘𝑥
  • B𝑦=2𝑘1+𝑘𝑥
  • C𝑦=2𝑘𝑘−1𝑥
  • D𝑦=𝑘𝑘−1𝑥
  • E𝑦=𝑘1−𝑘𝑥

Recorrendo ao facto de ⃖⃗𝑂𝐶∗ ser perpendicular a ⃖⃗𝑂𝐴∗, determine a equação de ⃖⃗𝑂𝐶∗.

  • A𝑦=𝑘−12𝑘𝑥
  • B𝑦=1−𝑘2𝑘𝑥
  • C𝑦=2𝑘1−𝑘𝑥
  • D𝑦=𝑘−12𝑘𝑥
  • E𝑦=2𝑘𝑘−1𝑥

Utilizando o facto de 𝑂𝐶=𝑂𝐴=1∗∗, determine as coordenadas de 𝐶∗ e 𝐴∗.

  • A𝐶=2𝑘1+𝑘,𝑘−11+𝑘∗, 𝐴=1−𝑘1+𝑘,2𝑘1+𝑘∗
  • B𝐶=𝑘−11+𝑘,2𝑘1+𝑘∗, 𝐴=2𝑘1+𝑘,1−𝑘1+𝑘∗
  • C𝐶=𝑘1+𝑘,𝑘−11+𝑘∗, 𝐴=1−𝑘1+𝑘,𝑘1+𝑘∗
  • D𝐶=2𝑘1+𝑘,𝑘−11+𝑘∗, 𝐴=1−𝑘1+𝑘,2𝑘1+𝑘∗
  • E𝐶=𝑘−11+𝑘,2𝑘1+𝑘∗, 𝐴=2𝑘1+𝑘,1−𝑘1+𝑘∗

Recorrendo ao facto de uma reflexão numa reta que passa a origem ser uma transformação linear, determine a matriz que representa a reflexão na reta 𝑦=𝑘𝑥.

  • A⎡⎢⎢⎢⎣1−𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘𝑘−11+𝑘⎤⎥⎥⎥⎦
  • B⎡⎢⎢⎢⎣1−𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘𝑘−11+𝑘⎤⎥⎥⎥⎦
  • C⎡⎢⎢⎢⎣1−𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘1−𝑘1+𝑘⎤⎥⎥⎥⎦
  • D⎡⎢⎢⎢⎣1+𝑘1−𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘𝑘−1⎤⎥⎥⎥⎦
  • E⎡⎢⎢⎢⎣1−𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘−2𝑘1+𝑘1−𝑘1+𝑘⎤⎥⎥⎥⎦

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