Lição de casa da aula: Transformações Lineares em Planos: Reflexão Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a matriz de transformação linear de reflexão ao longo do eixo x ou y ou a reta de uma dada equação e a imagem de um vetor sob a reflexão.

Questão 1

Uma reflexão em uma reta através da origem envia o vetor 34 para 43. Encontre a representação da matriz dessa reflexão.

  • A24257257252425
  • B1101
  • C0110
  • D45353545
  • E24257257252425

Questão 2

Uma reflexão em uma reta através da origem envia o vetor 34 para 43. Encontre a representação da matriz dessa reflexão.

  • A24257257252425
  • B45353545
  • C45353545
  • D0110
  • E24257257252425

Questão 3

Considere a figura dada.

Os pontos 𝑂(0;0), 𝐴(1;0), 𝐵(1;1), e 𝐶(0;1) são vértices do quadrado unitário. Este quadrado é refletido na reta 𝑂𝐷 com equação 𝑦=12𝑥 para formar a imagem 𝑂𝐴𝐵𝐶.

Como 𝐴 é a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷, 𝑚(̂𝐴𝑂𝐴)=2𝑚(̂𝐷𝑂𝐴). Use este fato e a identidade tgtgtg2𝜃=2𝜃1𝜃 para encontrar o gradiente e, portanto, a equação de 𝑂𝐴 a partir do gradiente de 𝑂𝐷.

  • A𝑦=43𝑥
  • B𝑦=23𝑥
  • C𝑦=34𝑥
  • D𝑦=43𝑥
  • E𝑦=23𝑥

Usando o fato de que 𝑂𝐶 é perpendicular ao 𝑂𝐴, encontre a equação de 𝑂𝐶.

  • A𝑦=43𝑥
  • B𝑦=32𝑥
  • C𝑦=43𝑥
  • D𝑦=34𝑥
  • E𝑦=34𝑥

Usando o fato de que 𝑂𝐶=𝑂𝐴=1, encontre as coordenadas de 𝐶 e 𝐴.

  • A𝐶=1625;925, 𝐴=925;1625
  • B𝐶=35;45, 𝐴=45;35
  • C𝐶=45;35, 𝐴=35;45
  • D𝐶=47;37, 𝐴=37;47
  • E𝐶=37;47, 𝐴=47;37

Usando o fato de que uma reflexão em uma reta através da origem é uma transformação linear, encontre a matriz que representa a reflexão na reta 𝑦=12𝑥.

  • A45353545
  • B47373747
  • C92516251625925
  • D35454535
  • E37474737

Questão 4

Considere a matriz 𝑀=𝛼𝛼𝛼𝛼 em que 𝛼=22.

Determine 𝑀.

  • A1001
  • B1001
  • C1001
  • D1111
  • E12121212

Determine det(𝑀).

  • A2
  • B1
  • C12
  • D0
  • E1

Esboçando a imagem do quadrado unitário sob a transformação, identifique a transformação geométrica a que esta matriz corresponde.

  • Auma projeção na reta 𝑦=𝑥
  • Buma rotação de 45 em sentido horário em torno do ponto (1,0)
  • Cuma reflexão na reta 𝑦=(22,5)𝑥tg
  • Duma rotação de 45 em sentido horário em torno da origem
  • Euma reflexão na reta 𝑦=𝑥

Questão 5

Considere a figura apresentada.

Os pontos 𝑂(0,0), 𝐴(1,0), 𝐵(1,1) e 𝐶(0,1) são vértices do quadrado unitário. Este quadrado é refletido pela reta 𝑂𝐷 com equação 𝑦=𝑘𝑥 para formar a imagem 𝑂𝐴𝐵𝐶.

Como 𝐴 é a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷, 𝑚(̂𝐴𝑂𝐴)=2𝑚(̂𝐷𝑂𝐴). Utilize este facto e a identidade tgtgtg2𝜃=2𝜃1𝜃 para determinar o declive e em seguida a equação de 𝑂𝐴 a partir do declive de 𝑂𝐷.

  • A𝑦=2𝑘1𝑘𝑥
  • B𝑦=2𝑘1+𝑘𝑥
  • C𝑦=2𝑘𝑘1𝑥
  • D𝑦=𝑘𝑘1𝑥
  • E𝑦=𝑘1𝑘𝑥

Recorrendo ao facto de 𝑂𝐶 ser perpendicular a 𝑂𝐴, determine a equação de 𝑂𝐶.

  • A𝑦=𝑘12𝑘𝑥
  • B𝑦=1𝑘2𝑘𝑥
  • C𝑦=2𝑘1𝑘𝑥
  • D𝑦=𝑘12𝑘𝑥
  • E𝑦=2𝑘𝑘1𝑥

Utilizando o facto de 𝑂𝐶=𝑂𝐴=1, determine as coordenadas de 𝐶 e 𝐴.

  • A𝐶=2𝑘1+𝑘,𝑘11+𝑘, 𝐴=1𝑘1+𝑘,2𝑘1+𝑘
  • B𝐶=𝑘11+𝑘,2𝑘1+𝑘, 𝐴=2𝑘1+𝑘,1𝑘1+𝑘
  • C𝐶=𝑘1+𝑘,𝑘11+𝑘, 𝐴=1𝑘1+𝑘,𝑘1+𝑘
  • D𝐶=2𝑘1+𝑘,𝑘11+𝑘, 𝐴=1𝑘1+𝑘,2𝑘1+𝑘
  • E𝐶=𝑘11+𝑘,2𝑘1+𝑘, 𝐴=2𝑘1+𝑘,1𝑘1+𝑘

Recorrendo ao facto de uma reflexão numa reta que passa a origem ser uma transformação linear, determine a matriz que representa a reflexão na reta 𝑦=𝑘𝑥.

  • A1𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘𝑘11+𝑘
  • B1𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘𝑘11+𝑘
  • C1𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘1𝑘1+𝑘
  • D1+𝑘1𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘𝑘1
  • E1𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘2𝑘1+𝑘1𝑘1+𝑘

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