Lição de casa da aula: Transformações Lineares em Planos: Reflexão Mathematics

Começar a praticar

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a matriz de transformação linear de reflexão ao longo do eixo x ou y ou a reta de uma dada equação e a imagem de um vetor sob a reflexão.

Q1:

Quais das seguintes alternativas sΓ£o condiçáes necessΓ‘rias e suficientes em π‘Ž, 𝑏, 𝑐, e 𝑑 para a matriz ο”π‘Žπ‘π‘π‘‘ο  representar uma reflexΓ£o?

  • A𝑏=𝑐, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Žβˆ’π‘=1
  • B𝑏=βˆ’π‘, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Žβˆ’π‘=1
  • C𝑏=βˆ’π‘, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Ž+𝑐=1
  • D𝑏=𝑐, 𝑑=π‘Ž, π‘Ž+𝑐=1
  • E𝑏=𝑐, 𝑑=βˆ’π‘Ž, π‘Ž+𝑐=1

Q2:

Uma reflexΓ£o em uma reta atravΓ©s da origem envia o vetor 34 para 43. Encontre a representação da matriz dessa reflexΓ£o.

  • A⎑⎒⎒⎣2425725βˆ’7252425⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • B1101
  • C0110
  • D⎑⎒⎒⎣4535βˆ’3545⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • E⎑⎒⎒⎣2425725725βˆ’2425⎀βŽ₯βŽ₯⎦

Q3:

Uma reflexΓ£o em uma reta atravΓ©s da origem envia o vetor 34 para 4βˆ’3. Encontre a representação da matriz dessa reflexΓ£o.

  • A⎑⎒⎒⎣2425725βˆ’7252425⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • B⎑⎒⎒⎣453535βˆ’45⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • C⎑⎒⎒⎣4535βˆ’3545⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • D0110
  • E⎑⎒⎒⎣2425725725βˆ’2425⎀βŽ₯βŽ₯⎦

Q4:

Considere a reflexΓ£o na reta 𝑦=12π‘₯.

Encontre a matriz que representa essa transformação.

  • A⎑⎒⎒⎣453535βˆ’45⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • B⎑⎒⎒⎣35454535⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • C⎑⎒⎒⎣121212βˆ’12⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • D⎑⎒⎒⎣12βˆ’121212⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • E⎑⎒⎒⎣354545βˆ’35⎀βŽ₯βŽ₯⎦

Qual Γ© a imagem do ponto (12,5) sob esta reflexΓ£o?

  • Aο€Ό565,335
  • Bο€Ό72,172
  • Cο€Ό565,635
  • Dο€Ό635,165
  • Eο€Ό172,72

Q5:

Considere a transformação linear que transforma um ponto na sua reflexΓ£o no eixo Oπ‘₯.

Determine a matriz 𝐴 que representa esta transformação.

  • A𝐴=10βˆ’11
  • B𝐴=1001
  • C𝐴=1101
  • D𝐴=ο”βˆ’101βˆ’1
  • E𝐴=100βˆ’1

Para onde Γ© que esta transformação manda o ponto (2,βˆ’3)?

  • A(βˆ’2,3)
  • B(βˆ’2,βˆ’3)
  • C(βˆ’2,3)
  • D(2,3)
  • E(2,βˆ’3)

Q6:

Considere a figura dada.

Os pontos 𝑂(0;0), 𝐴(1;0), 𝐡(1;1), e 𝐢(0;1) sΓ£o vΓ©rtices do quadrado unitΓ‘rio. Este quadrado Γ© refletido na reta 𝑂𝐷 com equação 𝑦=12π‘₯ para formar a imagem π‘‚π΄π΅πΆβˆ—βˆ—βˆ—.

Como π΄βˆ— Γ© a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷, π‘š(̂𝐴𝑂𝐴)=2π‘š(̂𝐷𝑂𝐴)βˆ—. Use este fato e a identidade tgtgtg2πœƒ=2πœƒ1βˆ’πœƒοŠ¨ para encontrar o gradiente e, portanto, a equação de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ— a partir do gradiente de ⃖⃗𝑂𝐷.

  • A𝑦=43π‘₯
  • B𝑦=βˆ’23π‘₯
  • C𝑦=34π‘₯
  • D𝑦=βˆ’43π‘₯
  • E𝑦=23π‘₯

Usando o fato de que βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ— Γ© perpendicular ao βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ—, encontre a equação de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ—.

  • A𝑦=βˆ’43π‘₯
  • B𝑦=βˆ’32π‘₯
  • C𝑦=43π‘₯
  • D𝑦=34π‘₯
  • E𝑦=βˆ’34π‘₯

Usando o fato de que 𝑂𝐢=𝑂𝐴=1βˆ—βˆ—, encontre as coordenadas de πΆβˆ— e π΄βˆ—.

  • A𝐢=ο€Ό1625;βˆ’925οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό925;1625οˆβˆ—
  • B𝐢=ο€Όβˆ’35;βˆ’45οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό45;35οˆβˆ—
  • C𝐢=ο€Ό45;βˆ’35οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό35;45οˆβˆ—
  • D𝐢=ο€Ό47;βˆ’37οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό37;47οˆβˆ—
  • E𝐢=ο€Όβˆ’37;47οˆβˆ—, 𝐴=ο€Ό47;37οˆβˆ—

Usando o fato de que uma reflexΓ£o em uma reta atravΓ©s da origem Γ© uma transformação linear, encontre a matriz que representa a reflexΓ£o na reta 𝑦=12π‘₯.

  • A⎑⎒⎒⎣453535βˆ’45⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • B⎑⎒⎒⎣473737βˆ’47⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • C⎑⎒⎒⎣92516251625βˆ’925⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • D⎑⎒⎒⎣354545βˆ’35⎀βŽ₯βŽ₯⎦
  • E⎑⎒⎒⎣374747βˆ’37⎀βŽ₯βŽ₯⎦

Q7:

Considere a matriz 𝑀=ο“π›Όπ›Όπ›Όβˆ’π›ΌοŸ em que 𝛼=√22.

Determine π‘€οŠ¨.

  • A100βˆ’1
  • B1001
  • Cο”βˆ’1001
  • D1111
  • E⎑⎒⎒⎣12121212⎀βŽ₯βŽ₯⎦

Determine det(𝑀).

  • A2
  • B1
  • C12
  • D0
  • Eβˆ’1

Esboçando a imagem do quadrado unitÑrio sob a transformação, identifique a transformação geométrica a que esta matriz corresponde.

  • Auma projeção na reta 𝑦=π‘₯
  • Buma rotação de 45∘ em sentido horΓ‘rio em torno do ponto (1,0)
  • Cuma reflexΓ£o na reta 𝑦=(22,5)π‘₯tg∘
  • Duma rotação de 45∘ em sentido horΓ‘rio em torno da origem
  • Euma reflexΓ£o na reta 𝑦=π‘₯

Q8:

Considere a figura apresentada.

Os pontos 𝑂(0,0), 𝐴(1,0), 𝐡(1,1) e 𝐢(0,1) sΓ£o vΓ©rtices do quadrado unitΓ‘rio. Este quadrado Γ© refletido pela reta 𝑂𝐷 com equação 𝑦=π‘˜π‘₯ para formar a imagem π‘‚π΄π΅πΆβˆ—βˆ—βˆ—.

Como π΄βˆ— Γ© a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷, π‘š(̂𝐴𝑂𝐴)=2π‘š(̂𝐷𝑂𝐴)βˆ—. Utilize este facto e a identidade tgtgtg2πœƒ=2πœƒ1βˆ’πœƒοŠ¨ para determinar o declive e em seguida a equação de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ— a partir do declive de ⃖⃗𝑂𝐷.

  • A𝑦=2π‘˜1βˆ’π‘˜π‘₯
  • B𝑦=2π‘˜1+π‘˜π‘₯
  • C𝑦=2π‘˜π‘˜βˆ’1π‘₯
  • D𝑦=π‘˜π‘˜βˆ’1π‘₯
  • E𝑦=π‘˜1βˆ’π‘˜π‘₯

Recorrendo ao facto de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ— ser perpendicular a βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚π΄βˆ—, determine a equação de βƒ–οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©οƒ©βƒ—π‘‚πΆβˆ—.

  • A𝑦=π‘˜βˆ’12π‘˜π‘₯
  • B𝑦=1βˆ’π‘˜2π‘˜π‘₯
  • C𝑦=2π‘˜1βˆ’π‘˜π‘₯
  • D𝑦=π‘˜βˆ’12π‘˜π‘₯
  • E𝑦=2π‘˜π‘˜βˆ’1π‘₯

Utilizando o facto de 𝑂𝐢=𝑂𝐴=1βˆ—βˆ—, determine as coordenadas de πΆβˆ— e π΄βˆ—.

  • A𝐢=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,π‘˜βˆ’11+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ1βˆ’π‘˜1+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨
  • B𝐢=ο€Ύπ‘˜βˆ’11+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,1βˆ’π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • C𝐢=ο€Ύπ‘˜1+π‘˜,π‘˜βˆ’11+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ1βˆ’π‘˜1+π‘˜,π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • D𝐢=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,π‘˜βˆ’11+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ1βˆ’π‘˜1+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • E𝐢=ο€Ύπ‘˜βˆ’11+π‘˜,2π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨, 𝐴=ο€Ύ2π‘˜1+π‘˜,1βˆ’π‘˜1+π‘˜οŠβˆ—οŠ¨

Recorrendo ao facto de uma reflexΓ£o numa reta que passa a origem ser uma transformação linear, determine a matriz que representa a reflexΓ£o na reta 𝑦=π‘˜π‘₯.

  • A⎑⎒⎒⎒⎣1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜π‘˜βˆ’11+π‘˜βŽ€βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦
  • B⎑⎒⎒⎒⎣1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜π‘˜βˆ’11+π‘˜βŽ€βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦
  • C⎑⎒⎒⎒⎣1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜1βˆ’π‘˜1+π‘˜βŽ€βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦
  • D⎑⎒⎒⎒⎣1+π‘˜1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜π‘˜βˆ’1⎀βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦
  • E⎑⎒⎒⎒⎣1βˆ’π‘˜1+π‘˜2π‘˜1+π‘˜βˆ’2π‘˜1+π‘˜1βˆ’π‘˜1+π‘˜βŽ€βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦

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