Atividade: A Regra dos Trapézios

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar integração numérica e estimando e aproximando integrais definidas utilizando a regra do trapézio.

Q1:

A tabela a seguir mostra como o ponto médio e a regra trapezoidal são executados em estimar 1 1 + 𝑥 𝑥 d . O erro é a diferença do valor real da integral 𝜋 4 .

Intervalos Médio E r r o × 1 0 Trap E r r o × 1 0
2 0,790588 5 1 8 9 8 3 , 6 6 0 3 0,775 1‎ ‎039‎ ‎816,34
8 0,7857236 3 2 5 4 3 , 6 6 0 2 6 0,7847471 65‎ ‎106,33974
32 0,785418 1 9 8 3 , 6 6 0 2 5 5 0,785357 4‎ ‎116,339745
128 0,785399 8 3 , 6 6 0 2 5 5 1 7 0,785396 216,3397448
512 0,785398 16,33974482 0,785398 16,33974482

O que parece ser verdade sobre a razão de erros sucessivos E r r o E r r o ( 𝑛 ) ( 4 𝑛 ) para a regra do ponto médio?

  • AO erro é 16 vezes maior para 4 𝑛 intervalos como para 4 𝑛 intervalos.
  • BO erro é 16 vezes maior para 4 𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.
  • CO erro é 4 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4 𝑛 intervalos.
  • DO erro é 16 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4 𝑛 intervalos.
  • EO erro é 4 vezes maior para 4 𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.

O que parece ser verdade sobre a razão de erros sucessivos E r r o E r r o ( 𝑛 ) ( 4 𝑛 ) para a regra trapezoidal?

  • AO erro é 16 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4 𝑛 intervalos.
  • BO erro é 4 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4 𝑛 intervalos.
  • CO erro é 16 vezes maior para 4 𝑛 intervalos como para 4 𝑛 intervalos.
  • DO erro é 16 vezes maior para 4 𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.
  • EO erro é 4 vezes maior para 4 𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.

A regra do ponto médio subestima a integral e a regra trapezoidal a superestima. Qual propriedade geométrica do gráfico de 𝑓 ( 𝑥 ) = 1 1 + 𝑥 explica isso?

  • AO gráfico é côncavo para baixo.
  • BO gráfico é côncavo para cima.

Para um número fixo de intervalos 𝑛 , qual parece ser a relação entre a regra do ponto médio e os erros da regra trapezoidal?

  • AO erro trapezoidal é 2 vezes o erro do ponto médio.
  • BO erro trapezoidal é 4 vezes o erro do ponto médio.
  • CO erro trapezoidal é 1 2 vezes o erro do ponto médio.
  • DO erro trapezoidal é 1 2 vezes o erro do ponto médio.
  • EO erro trapezoidal é 2 vezes o erro do ponto médio.

A regra de Simpson pode ser expressa como a média ponderada 2 + 3 M é d i o T r a p . Usando a tabela acima com 𝑛 = 8 , temos um erro de Simpson de 0 , 0 3 × 1 0 . Usando tecnologia, encontre o erro atual aproximado em 3 casas decimais.

  • A 0 , 5 9 × 1 0
  • B × 1 0
  • C0,059
  • D 0 , 0 5 9 × 1 0
  • E0,59

Q2:

Para uma função fixa em um determinado intervalo, seja T r a p ( 𝑛 ) a integral estimada usando a regra do trapézio com 𝑛 subintervalos. Use o diagrama a seguir para relacionar a concavidade de 𝑓 com como T r a p ( 𝑛 ) estima bem 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 d .

  • A T r a p d ( 𝑛 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 se 𝑓 é côncava para baixo em [ 𝑎 , 𝑏 ] .
  • B T r a p d ( 𝑛 ) 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 se 𝑓 é côncava para baixo em [ 𝑎 , 𝑏 ] .
  • CNão há conclusão sobre a comparação entre a estimativa e os valores reais.
  • D T r a p d ( 𝑛 ) 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 se 𝑓 é côncava para baixo em [ 𝑎 , 𝑏 ] .

Q3:

Considere uma função cujo gráfico 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) é côncavo para cima no intervalo [ 𝐹 𝐸 ] .

A reta 𝐴 𝐵 que determina os pontos 𝐴 e 𝐵 é a tangente a reta para 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) sobre o ponto médio 𝑀 do segmento 𝐹 𝐸 .

Qual quadrilátero tem a área dada por T r a p ( 1 ) , a estimativa da regra do trapézio da integral 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 d ?

  • A 𝐴 𝐵 𝐸 𝐹
  • B 𝐴 𝐵 𝐸 𝐹
  • C 𝐶 𝐹 𝐸 𝐵
  • D 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
  • E 𝐶 𝐹 𝐸 𝐵

Qual quadrilátero tem a área dada por M i d ( 1 ) , a estimativa da regra do ponto médio da integral 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 d ?

  • A 𝐴 𝐵 𝐸 𝐹
  • B 𝐶 𝐹 𝐸 𝐵
  • C 𝐴 𝐵 𝐸 𝐹
  • D 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
  • E 𝐶 𝐹 𝐸 𝐵

Por que a Área ( 𝐴 𝐵 𝐸 𝐹 ) = Área ( 𝐴 𝐵 𝐸 𝐹 ) ?

  • Aporque os triângulos 𝑋 𝐴 𝐴 e 𝑋 𝐵 𝐵 são congruentes
  • Bporque 𝑋 𝐴 𝐴 e 𝑋 𝐷 𝐵 são iguais
  • C porque os quadriláteros têm a base comum 𝐸 𝐹
  • Dporque 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵

Que relação você pode deduzir sobre os números M i d ( 1 ) , T r a p ( 1 ) , e 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 d no caso em que o gráfico é côncavo para cima?

  • A M i d d T r a p ( 1 ) < 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 < ( 1 )
  • B M i d d T r a p ( 1 ) > 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 < ( 1 )
  • C M i d d T r a p ( 1 ) > 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 > ( 1 )
  • D M i d d T r a p ( 1 ) < 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 > ( 1 )

Q4:

Calcular a estimativa da regra trapezoidal de 𝑥 + 2 𝑥 d com subintervalos 𝑛 = 2 . O resultado é superestimar ou subestimar o valor real?

  • A48, superestimar
  • B28, subestimar
  • C16, subestimar
  • D32, superestimar
  • E28, superestimar

Q5:

Para uma função fixada num dado intervalo, seja T r a p ( 𝑛 ) o integral estimado utilizando a regra do trapézio com 𝑛 subintervalos. Utilize o seguinte diagrama para relacionar a concavidade de 𝑓 com a qualidade com que T r a p ( 𝑛 ) estima 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 d .

  • A T r a p d ( 𝑛 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 se 𝑓 tem concavidade para cima em [ 𝑎 , 𝑏 ] .
  • B T r a p d ( 𝑛 ) 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 se 𝑓 tem concavidade para cima em [ 𝑎 , 𝑏 ] .
  • CNão existe uma conclusão em relação à comparação entre a estimativa e os valores reais.
  • D T r a p d ( 𝑛 ) 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 se 𝑓 tem concavidade para cima em [ 𝑎 , 𝑏 ] .

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