Atividade: A Regra dos Trapézios

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar integração numérica e estimando e aproximando integrais definidas utilizando a regra do trapézio.

Q1:

A tabela a seguir mostra como o ponto médio e a regra trapezoidal são executados em estimar 11+𝑥𝑥d. O erro é a diferença do valor real da integral 𝜋4.

IntervalosMédioErro×10TrapErro×10
20,790588518983,66030,7751‎ ‎039‎ ‎816,34
80,785723632543,660260,784747165‎ ‎106,33974
320,7854181983,6602550,7853574‎ ‎116,339745
1280,78539983,660255170,785396216,3397448
5120,78539816,339744820,78539816,33974482

O que parece ser verdade sobre a razão de erros sucessivos ErroErro(𝑛)(4𝑛) para a regra do ponto médio?

  • AO erro é 16 vezes maior para 4𝑛 intervalos como para 4𝑛 intervalos.
  • BO erro é 4 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4𝑛 intervalos.
  • CO erro é 4 vezes maior para 4𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.
  • DO erro é 16 vezes maior para 4𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.
  • EO erro é 16 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4𝑛 intervalos.

O que parece ser verdade sobre a razão de erros sucessivos ErroErro(𝑛)(4𝑛) para a regra trapezoidal?

  • AO erro é 16 vezes maior para 4𝑛 intervalos como para 4𝑛 intervalos.
  • BO erro é 16 vezes maior para 4𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.
  • CO erro é 4 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4𝑛 intervalos.
  • DO erro é 4 vezes maior para 4𝑛 intervalos como para 𝑛 intervalos.
  • EO erro é 16 vezes maior para 𝑛 intervalos como para 4𝑛 intervalos.

A regra do ponto médio subestima a integral e a regra trapezoidal a superestima. Qual propriedade geométrica do gráfico de 𝑓(𝑥)=11+𝑥 explica isso?

  • AO gráfico é côncavo para cima.
  • BO gráfico é côncavo para baixo.

Para um número fixo de intervalos 𝑛, qual parece ser a relação entre a regra do ponto médio e os erros da regra trapezoidal?

  • AO erro trapezoidal é 2 vezes o erro do ponto médio.
  • BO erro trapezoidal é 2 vezes o erro do ponto médio.
  • CO erro trapezoidal é 12 vezes o erro do ponto médio.
  • DO erro trapezoidal é 12 vezes o erro do ponto médio.
  • EO erro trapezoidal é 4 vezes o erro do ponto médio.

A regra de Simpson pode ser expressa como a média ponderada 2+3MédioTrap. Usando a tabela acima com 𝑛=8, temos um erro de Simpson de 0,03×10. Usando tecnologia, encontre o erro atual aproximado em 3 casas decimais.

  • A0,059
  • B×10
  • C0,59
  • D0,59×10
  • E0,059×10

Q2:

Para uma função fixa em um determinado intervalo, seja Trap(𝑛) a integral estimada usando a regra do trapézio com 𝑛 subintervalos. Use o diagrama a seguir para relacionar a concavidade de 𝑓 com como Trap(𝑛) estima bem 𝑓(𝑥)𝑥d .

  • ATrapd(𝑛)𝑓(𝑥)𝑥 se 𝑓 é côncava para baixo em [𝑎,𝑏] .
  • BNão há conclusão sobre a comparação entre a estimativa e os valores reais.
  • CTrapd(𝑛)𝑓(𝑥)𝑥 se 𝑓 é côncava para baixo em [𝑎,𝑏] .
  • DTrapd(𝑛)=𝑓(𝑥)𝑥 se 𝑓 é côncava para baixo em [𝑎,𝑏] .

Q3:

Considere uma função cujo gráfico 𝑦=𝑓(𝑥) é côncavo para cima no intervalo 𝐹𝐸.

A reta 𝐴𝐵 que determina os pontos 𝐴 e 𝐵 é a tangente a reta para 𝑦=𝑓(𝑥) sobre o ponto médio 𝑀 do segmento 𝐹𝐸.

Qual quadrilátero tem a área dada por Trap(1), a estimativa da regra do trapézio da integral 𝑓(𝑥)𝑥d?

  • A𝐶𝐹𝐸𝐵
  • B𝐴𝐵𝐸𝐹
  • C𝐶𝐹𝐸𝐵
  • D𝐶𝐷𝐸𝐹
  • E𝐴𝐵𝐸𝐹

Qual quadrilátero tem a área dada por Mid(1), a estimativa da regra do ponto médio da integral 𝑓(𝑥)𝑥d?

  • A𝐶𝐷𝐸𝐹
  • B𝐶𝐹𝐸𝐵
  • C𝐶𝐹𝐸𝐵
  • D𝐴𝐵𝐸𝐹
  • E𝐴𝐵𝐸𝐹

Por que a Área (𝐴𝐵𝐸𝐹)= Área (𝐴𝐵𝐸𝐹)?

  • Aporque os quadriláteros têm a base comum 𝐸𝐹
  • Bporque 𝑋𝐴𝐴 e 𝑋𝐷𝐵 são iguais
  • Cporque 𝐴𝐵=𝐴𝐵
  • Dporque os triângulos 𝑋𝐴𝐴 e 𝑋𝐵𝐵 são congruentes

Que relação você pode deduzir sobre os números Mid(1), Trap(1), e 𝑓(𝑥)𝑥d no caso em que o gráfico é côncavo para cima?

  • AMiddTrap(1)>𝑓(𝑥)𝑥<(1)
  • BMiddTrap(1)<𝑓(𝑥)𝑥>(1)
  • CMiddTrap(1)<𝑓(𝑥)𝑥<(1)
  • DMiddTrap(1)>𝑓(𝑥)𝑥>(1)

Q4:

Calcular a estimativa da regra trapezoidal de 𝑥+2𝑥d com subintervalos 𝑛=2. O resultado é superestimar ou subestimar o valor real?

  • A28, superestimar
  • B48, superestimar
  • C16, subestimar
  • D28, subestimar
  • E32, superestimar

Q5:

Para uma função fixada num dado intervalo, seja Trap(𝑛) o integral estimado utilizando a regra do trapézio com 𝑛 subintervalos. Utilize o seguinte diagrama para relacionar a concavidade de 𝑓 com a qualidade com que Trap(𝑛) estima 𝑓(𝑥)𝑥d.

  • ATrapd(𝑛)=𝑓(𝑥)𝑥 se 𝑓 tem concavidade para cima em [𝑎,𝑏].
  • BNão existe uma conclusão em relação à comparação entre a estimativa e os valores reais.
  • CTrapd(𝑛)𝑓(𝑥)𝑥 se 𝑓 tem concavidade para cima em [𝑎,𝑏].
  • DTrapd(𝑛)𝑓(𝑥)𝑥 se 𝑓 tem concavidade para cima em [𝑎,𝑏].

Q6:

Use a regra trapezoidal para estimar 𝑥+1𝑥d usando cinco subintervalos. Arredonde sua resposta para três casas decimais.

Q7:

Estime 𝑒𝑥𝑥d usando a regra trapezoidal com quatro subintervalos. Aproxime sua resposta para duas casas decimais.

Q8:

Use a regra trapezoidal para estimar 𝑥𝑥d usando quatro subintervalos.

  • A258
  • B174
  • C98
  • D172
  • E94

Q9:

Estime 𝑥+2𝑥4𝑥d usando a regra trapezoidal com quatro subintervalos. Aproxime sua resposta para duas casas decimais.

Q10:

Use a regra trapezoidal para estimar 𝑥+1𝑥d usando quatro subintervalos. Arredonde sua resposta para três casas decimais.

Q11:

Estime 2𝑒𝑥d usando a regra trapezoidal com cinco subintervalos. Arredonde sua resposta para uma casa decimal.

Q12:

Estime 3(4𝑥)𝑥lnd usando a regra trapezoidal com três subintervalos. Arredonde sua resposta para uma casa decimal.

Q13:

Estime 23𝑥cos usando a regra trapezoidal com três subintervalos. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

Q14:

Estime 23𝑥𝑥d usando a regra trapezoidal com quatro subintervalos. Arredonde sua resposta para uma casa decimal.

Q15:

Estime 2𝑒𝑥d usando a regra trapezoidal com quatro subintervalos. Arredonde sua resposta para uma casa decimal.

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