Atividade: Sistemas de Equações Lineares Homogéneas

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Nesta atividade, nós vamos praticar a verificar o número de soluções para um dado sistema homogêneo de equações lineares.

Q1:

Determine o número de soluções do sistema de equações −6𝑥−2𝑦+9𝑧=−4,−24𝑥−8𝑦+36𝑧=−22,−12𝑥−4𝑦+18𝑧=−10.

  • ANão existem soluções.
  • BExiste uma infinidade de soluções.
  • CExiste uma infinidade de soluções, sem incluir 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • DA única solução é 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.

Q2:

Determine o número de soluções para o sistema a seguir.4−80130110−1417𝑥𝑦𝑧=000

  • AExistem infinitas soluções.
  • BA única solução é 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • CExistem finitamente muitas soluções, não incluindo 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • DNão há soluções.

Q3:

Determine o número de soluções do sistema de equações 4𝑥−4𝑦=0,−8𝑥−2𝑧=0,5𝑦−7𝑧=0.

  • AA única solução é 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • BNão existem soluções.
  • CExiste uma infinidade de soluções, sem incluir 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • DExiste uma infinidade de soluções.

Q4:

Determine o número de soluções do sistema de equações −2𝑥+2𝑦=0,3𝑥−3𝑧=0,7𝑦+4𝑧=0.

  • AExiste uma infinidade de soluções, sem incluir 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • BExiste uma infinidade de soluções.
  • CA única solução é 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • DNão existem soluções.

Q5:

Determine o número de soluções do sistema de equações 9𝑥−3𝑦+8𝑧=4,45𝑥−15𝑦+40𝑧=20,18𝑥−6𝑦+16𝑧=8.

  • AA única solução é 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • BNão existem soluções.
  • CExiste uma infinidade de soluções, sem incluir 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • DExiste uma infinidade de soluções.

Q6:

Determine o número de soluções para o sistema a seguir.−14−13070−210320𝑥𝑦𝑧=000

  • AExistem finitamente muitas soluções, não incluindo 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • BExistem infinitas soluções.
  • CNão há soluções.
  • DA única solução é 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.

Q7:

Determine o número de soluções para o sistema a seguir.−5023−15069−10046𝑥𝑦𝑧=123619

  • ANão há soluções.
  • BExistem infinitas soluções.
  • CA única solução é 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.
  • DExistem finitamente muitas soluções, não incluindo 𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0.

Q8:

Se houver uma solução única para um sistema de equações lineares, qual das seguintes opções deve ser verdadeira para as colunas na matriz aumentada?

  • AO último deve ser um pivô, e os da esquerda devem ser colunas pivotantes.
  • BO último não deve ser um pivô, e os da esquerda não devem ser colunas pivotantes.
  • CO último não deve ser um pivô, e os da esquerda devem ser colunas pivotantes.
  • DO último deve ser um pivô, e os da esquerda não devem ser colunas pivotantes.

Q9:

Na matriz aumentada dada, * denota um número arbitrário e ■ denota um número arbitrário diferente de zero. Determine se a matriz aumentada é consistente e, se for consistente, se a solução é única. ⎡⎢⎢⎢⎢⎣■∗∗∗∗∗0■∗∗0∗00■∗∗∗0000■∗⎤⎥⎥⎥⎥⎦

  • AA matriz é inconsistente.
  • BA matriz é consistente e sua solução é única.
  • CA matriz é consistente e sua solução não é única.

Q10:

Na matriz ampliada ⎡⎢⎢⎣■∗∗∗0■∗∗00■∗⎤⎥⎥⎦,∗ denota um número arbitrário e ■ denota um número não nulo. Determine se a matriz aumentada dada é possível. Se for possível, a solução é única?

  • AA matriz é possível e existe uma única solução.
  • BA matriz é possível e não tem uma única solução.
  • CA matriz é impossível.

Q11:

Na matriz aumentada ⎡⎢⎢⎢⎢⎣■∗∗∗∗∗0■∗∗0∗0000■00000∗■⎤⎥⎥⎥⎥⎦,∗ denota um número arbitrário e ■ denota um número arbitrário diferente de zero. Determine se a matriz aumentada é consistente e, se for consistente, se a solução é única.

  • AA matriz é consistente e sua solução não é única.
  • BA matriz é inconsistente.
  • CA matriz é consistente e sua solução é única.

Q12:

Suponha que o coeficiente da matriz de um sistema, de 𝑛 equações com 𝑛 variáveis, tem a propriedade que cada coluna é uma coluna pivotante. O sistema de equações tem uma solução? Em caso afirmativo, a solução deve ser única?

  • ANão, não há solução.
  • B sim, sim
  • C sim, não

Q13:

Existe um valor de ℎ que faz 1143ℎ12 uma matriz aumentada de uma matriz consistente? Se sim, encontre o valor de ℎ.

  • Asim, ℎ∈@𝑅
  • Bnão

Q14:

Encontre condições em ℎ e 𝑘 para a seguinte matriz aumentada não ter solução, ter uma solução única e ter infinitas soluções: 1222ℎ𝑘.

  • ASe ℎ≠4, então há exatamente uma solução. E se ℎ=4 e 𝑘≠4, então não há soluções. E se ℎ=4 e 𝑘=4, então existem infinitas soluções.
  • BSe ℎ=4, então há exatamente uma solução. E se ℎ≠4 e 𝑘≠4, então não há soluções. E se ℎ=4 e 𝑘=4, então existem infinitas soluções.
  • CSe ℎ=2, então há exatamente uma solução. E se ℎ≠2 e 𝑘≠2, então não há soluções. E se ℎ=2 e 𝑘=2, então existem infinitas soluções.
  • DSe ℎ=1, então há exatamente uma solução. E se ℎ≠1 e 𝑘≠1, então não há soluções. E se ℎ=1 e 𝑘=1, então existem infinitas soluções.
  • ESe ℎ≠4, existem infinitas soluções. E se ℎ=4 e 𝑘≠4, não há soluções. E se ℎ=4 e 𝑘=4, haverá uma solução única.

Q15:

Determine o valor de ℎ para o qual a matriz ampliada 2ℎ4367 é impossível.

Q16:

Suponha que um sistema de equações lineares tenha uma matriz 2×4 aumentada e a última coluna é uma coluna pivotante. O sistema de equações lineares poderia ser consistente?

  • Asim
  • Bnão

Q17:

Encontre condições em ℎ e 𝑘 para a matriz aumentada dada para não ter solução, uma solução única e infinitas soluções.1ℎ224𝑘

  • ASe ℎ≠2 haverá uma solução única para qualquer 𝑘. Se ℎ=2 e 𝑘≠4, não há soluções. E se ℎ=2 e 𝑘=4, então existem infinitas soluções.
  • BSe ℎ≠4 existem infinitas soluções. E se ℎ=4 e 𝑘≠2, não há soluções. E se ℎ=4 e 𝑘=2, haverá uma solução única.
  • CSe ℎ≠2 existem infinitas soluções. E se ℎ=2 e 𝑘≠4, não há soluções. E se ℎ=2 e 𝑘=4, haverá uma solução única.
  • DSe ℎ≠4 haverá uma solução única. E se ℎ=4 e 𝑘≠2, não há soluções. E se ℎ=4 e 𝑘=2, então existem infinitas soluções.
  • ESe ℎ≠1 existem infinitas soluções. E se ℎ=1 e 𝑘≠2, não há soluções. E se ℎ=1 e 𝑘=2, haverá uma solução única.

Q18:

Verdadeira ou Falsa: se 𝐴 é um matriz e 𝑏 não é o vetor nulo, então 𝐴𝑥=𝑏 tem uma solução se e só se 𝑏 pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de 𝐴.

  • AVerdadeira
  • BFalsa

Q19:

Encontre a solução para o sistema de equação 𝑥+2𝑦+𝑧−𝑤=2,𝑥−𝑦+𝑧+𝑤=0,2𝑥+𝑦−𝑧=1,4𝑥+2𝑦+𝑧=3.

Se não houver solução, informe o motivo.

  • AO sistema de equações é consistente e sua solução não é única.
  • BO sistema de equações não é consistente.
  • CO sistema de equações é consistente e sua solução é única.

Q20:

Determine o valor de 𝑘 que faz o sistema de equações 7𝑥+5𝑦=7,35𝑥+25𝑦=𝑘 ter infinitas soluções.

Q21:

Suponha que 𝐴 é uma matriz em ℝ× e ⃗𝑣 é um vetor em ℝ e considere esta afirmação: existe uma solução ⃗𝑥 para a equação 𝐴⃗𝑥=⃗𝑣. Qual das seguintes alternativas é verdadeira?

  • ASe 𝐴 é não singular, então a afirmação é falsa.
  • BA afirmação é sempre verdadeira.
  • CSe a afirmação é verdadeira, então 𝐴 é não singular.
  • DA afirmação é verdadeira se e somente se 𝐴 é não singular.
  • ESe 𝐴 é não singular, então a afirmação é verdadeira.

Q22:

Se 𝑏≠0 e 𝐴 é uma matriz invertível 𝑛×𝑛, pode o conjunto de soluções de ⃑𝐴𝑥=⃑𝑏 ser um plano através da origem?

  • Asim
  • Bnão

Q23:

Encontre o conjunto de valores de 𝑘 para o qual as equações simultâneas 9𝑥−9𝑦−5𝑧=6,2𝑥+3𝑦+7𝑧=4,3𝑥−4𝑦+𝑘𝑧=7, tem pelo menos uma solução.

  • A − 1 4 8 4 5
  • B ℝ ⧵ − 2 2 4 5
  • C − 2 2 4 5
  • D ℝ ⧵ − 4 3 6 4 5
  • E ℝ ⧵ − 1 4 8 4 5

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