Lição de casa da aula: Teorema de De Moivre Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar potências e raízes de números complexos e como utilizar o teorema de De Moivre para simplificar cálculos de potências e raízes.

Q1:

Quanto Γ© (1+𝑖)?

  • A1+𝑖
  • B2+2𝑖
  • C10𝑖
  • D32𝑖
  • E2

Q2:

Considere a equação 𝑧=2√3+2π‘–οŠ©.

Expresse 2√3+2𝑖 na forma polar usando a forma geral do argumento.

  • A2√3+2𝑖=4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜3+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜3cossen para π‘˜βˆˆβ„€
  • B2√3+2𝑖=4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6cossen para π‘˜βˆˆβ„€
  • C2√3+2𝑖=4ο€»ο€»πœ‹6+πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹6+πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossen para π‘˜βˆˆβ„€
  • D2√3+2𝑖=4ο€»ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossen para π‘˜βˆˆβ„€
  • E2√3+2𝑖=4ο€»ο€»πœ‹3+πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹3+πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossen para π‘˜βˆˆβ„€

Ao aplicar o teorema de Moivre no lado esquerdo, reescreva a equação na forma polar.

  • Aπ‘Ÿ(3πœƒ+𝑖3πœƒ)=4ο€»ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡ο‡οŠ©cossencossen
  • Bπ‘Ÿ(3πœƒ+𝑖3πœƒ)=4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6ο‰ο‰οŠ©cossencossen
  • Cπ‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)=4ο€»3ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡+𝑖3ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossencossen
  • Dπ‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)=√4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜18+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜18cossencossen
  • Eπ‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)=√4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜2+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜2cossencossen

Ao equacionar os mΓ³dulos e argumentos e considerando diferentes valores do argumento geral, encontre as 3 raΓ­zes cΓΊbicas de 2√3+2𝑖, expressando-as na forma exponencial.

  • A𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ οŽ§οƒ, οŽ’οŽ οŽ’ο‘½οŽ οŽ§βˆš4𝑒, οŽ’οŽ οŽ ο‘½οŽ οŽ§βˆš4π‘’οŠ±οƒ
  • B𝑧=√4π‘’οŽ’οŽ‘ο‘½οŽ¨οƒ, οŽ’οŽ§ο‘½οŽ¨βˆš4𝑒, οŽ’οŽ£ο‘½οŽ¨βˆš4π‘’οŠ±οƒ
  • C𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ¨οƒ, οŽ’οŽ¦ο‘½οŽ¨βˆš4𝑒, οŽ’οŽ€ο‘½οŽ¨βˆš4π‘’οŠ±οƒ
  • D𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ οŽ§οƒ, οŽ’οŽ’ο‘½οŽ οŽ§βˆš4𝑒, οŽ₯ο‘½οŽ οŽ§βˆš4𝑒
  • E𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ‘οƒ, √4π‘’οƒοŽ„, οŽ’ο‘½οŽ‘βˆš4π‘’οŠ±οƒ

Q3:

Dada a equação π‘₯+𝑦𝑖=ο€Ό1βˆ’1π‘–οˆοŠ¬, em que π‘₯ e 𝑦 sΓ£o nΓΊmeros reais, determine o valor de π‘₯ e o valor de 𝑦.

  • Aπ‘₯=0, 𝑦=βˆ’8
  • Bπ‘₯=0, 𝑦=8
  • Cπ‘₯=0, 𝑦=βˆ’2
  • Dπ‘₯=0, 𝑦=2

Q4:

Simplifique 18(βˆ’π‘–+1)(𝑖+1)οŠͺ.

Q5:

Considere o nΓΊmero complexo 𝑧=3βˆ’π‘–.

Encontre o mΓ³dulo de 𝑧.

  • A√2
  • B√8
  • C1
  • D3
  • E√10

Portanto, encontre o mΓ³dulo de π‘§οŠ«.

  • A10
  • B100√10
  • C243
  • D√10
  • E10√10

Q6:

Determine, na forma trigonomΓ©trica, as raΓ­zes quadradas de ο€½βˆ’5βˆ’5π‘–βˆ’5+5π‘–ο‰οŠ―.

  • Aο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4cossen, ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4cossen
  • Bο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossen, ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4cossen
  • Cο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4cossen, ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossen
  • Dο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4cossen, ο€Όο€Όβˆ’3πœ‹4+π‘–ο€Όβˆ’3πœ‹4cossen

Q7:

Considere o nΓΊmero complexo 𝑧=1+√3𝑖.

Determine o mΓ³dulo de 𝑧.

Determine o argumento de 𝑧.

  • A2
  • Bπœ‹6
  • Cπœ‹3
  • D√10
  • E2πœ‹3

Em seguida, utilize as propriedade da multiplicação de complexos na forma trigonomΓ©trica para determinar o mΓ³dulo e o argumento de π‘§οŠ©.

  • AmΓ³dulo = 8, argumento = πœ‹
  • BmΓ³dulo = √10, argumento = πœ‹
  • CmΓ³dulo = 8, argumento = πœ‹2
  • DmΓ³dulo = √3, argumento = πœ‹
  • EmΓ³dulo = √10, argumento = πœ‹2

Agora, determine o valor de π‘§οŠ©.

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