Atividade: Séries Geométricas

Nesta atividade, nós vamos praticar a dedução da fórmula para calcular a soma de qualquer série geométrica e como utilizá-la para resolver problemas contextualizados na realidade.

Q1:

A soma dos termos de uma sucessão é designada por série.

Uma série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica; uma soma parcial geométrica com 𝑛 termos pode ser escrita como 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟,() em que 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão (o número pelo qual se multiplica um termo para se obter o seguinte da sequência, 𝑟1).

Determine a soma dos primeiros 6 termos de uma série geométrica com 𝑎=24 e 𝑟=12.

  • A 1 1 5 8
  • B 8 1 2
  • C 4 7 1 4
  • D204
  • E 2 3 1 4

Q2:

Uma progressão geométrica tem como primeiro termo 3 e como razão 5. Determine a soma dos primeiros 6 termos.

Q3:

Encontre, com duas casas decimais, a soma das seguintes séries geométricas: 20+20(1,01)+20(1,01)++20(1,01).

Q4:

Podemos deduzir uma fórmula para a soma de uma progressão geométrica. Considere a progressão 𝑆 tal que 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Multiplique a expressão de 𝑆 por 𝑟, a razão.

  • A 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • B 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • C 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • D 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • E 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟

Donde temos 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟 e 𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Os segundos membros de ambas as equações são muito semelhantes. Identifique os termos que NÃO aparecem nos segundos membros de cada equação.

  • A 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • B 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • C 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • D 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟
  • E 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟

Agora, considere a subtração 𝑆𝑟𝑆 tal que: 𝑆𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Recorra à resposta da parte anterior para simplificar a subtração 𝑆𝑟𝑆.

  • A 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • B 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • C 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • D 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • E 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟

Fatorize os dois membros da equação.

  • A 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 )
  • B 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟
  • C 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 𝑟
  • D 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 ( 1 𝑟 )
  • E 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟

Manipule a equação em ordem a 𝑆.

  • A 𝑆 = 𝑎 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • B 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟
  • C 𝑆 = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • D 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑟 1 𝑟
  • E 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟

Q5:

Existem duas séries geométricas uma com o primeiro termo 3 e outra cujos primeiros 3 termos têm uma soma de 21.

Quais são as suas razões comuns?

  • A2, 3
  • B 2 , 3
  • C3, 7
  • D 2 , 3
  • E 3 , 7

Escreva uma expressão para a soma dos primeiros 𝑛 termos da seqüência com primeiro termo 3 e razão comum 2.

  • A 3 2
  • B 2 3 1
  • C 2 ( 1 3 )
  • D 3 2 1
  • E 2 3

Q6:

Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 𝑎 e a razão é 𝑟.

Determine a soma dos primeiros 3 termos de uma progressão geométrica com 𝑎=328 e 𝑟=14.

  • A 5 3 3 2
  • B410
  • C 8 6 1 2
  • D 3 6 9 2

Q7:

Encontre a progressão geométrica dado que seu primeiro termo é 324, o último termo é 4, e a soma de todos seus termos é 484.

  • A 3 2 4 ; 9 7 2 ; 2 9 1 6 ; ; 4
  • B 3 2 4 ; 9 7 2 ; 2 9 1 6 ; ; 4
  • C 3 2 4 , 1 0 8 , 3 6 , , 4
  • D 3 2 4 , 1 0 8 , 3 6 , , 4

Q8:

Encontre o quarto termo da progressão geométrica dada por 𝑆=10242 onde 𝑆 é a soma dos primeiros 𝑛 termos.

Q9:

Encontre os três primeiros termos positivos de uma progressão geométrica, dada que a soma deles é 14 e a soma de seus inversos multiplicativos é 6332.

  • A 3 2 , 3 8 , e 332
  • B 2 3 , 1 6 , e 124
  • C 3 2 , 6, e 24
  • D 2 3 , 8 3 , e 323

Q10:

Encontre, em termos de 𝑙 e 𝑚, a razão comum da progressão geométrica dada a soma dos primeiros dez termos é 24𝑙 e a soma dos próximos dez termos é 91𝑚.

  • A 9 1 𝑚 2 4 𝑙
  • B 9 1 𝑚 2 4 𝑙
  • C 2 4 𝑙 9 1 𝑚
  • D 2 4 𝑙 9 1 𝑚
  • E 2 4 𝑚 9 1 𝑙

Q11:

Encontre a progressão geométrica e a soma dos primeiros seis termos dado que o segundo termo é quatro vezes o quarto , a soma do quarto e sétimo termos é 2 e todos os termos são positivos.

  • A 𝑢 = 2 5 6 9 , 1 2 8 9 , 6 4 9 , , 𝑆 = 5 6
  • B 𝑢 = 1 2 8 9 , 6 4 9 , 3 2 9 , , 𝑆 = 2 4 8 9
  • C 𝑢 = 1 3 6 , 1 1 8 , 1 9 , , 𝑆 = 7 4
  • D 𝑢 = 1 2 8 9 , 6 4 9 , 3 2 9 , , 𝑆 = 2 8
  • E 𝑢 = 1 3 6 , 1 1 8 , 1 9 , , 𝑆 = 3 1 3 6

Q12:

Determine a soma dos primeiros 20 termos da progressão geométrica 1,1,07,1,07,1,07,, apresentando a resposta com duas casas decimais.

Q13:

Determine a soma da série geométrica 322122+16611782.

  • A 2 4 9 1 1
  • B 6 1 5 9 4
  • C 9 1 8 9 1
  • D 8 7 2 2

Q14:

Determine a soma da progressão geométrica 176+88+44++11.

Q15:

Encontre a progressão geométrica e a soma dos primeiros six termos, dado que a soma do second e fourth termos é 68 e a soma do third e fifth termos é 272.

  • A 𝑢 = ( 2 5 6 , 6 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 1 3 6 5 4
  • B 𝑢 = ( 2 5 6 , 6 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 3 4 1
  • C 𝑢 = 1 4 , 1 , 4 , , 𝑆 = 1 3 6 5 4
  • D 𝑢 = ( 1 , 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 1 3 6 5
  • E 𝑢 = ( 1 , 4 , 1 6 , ) , 𝑆 = 3 4 1

Q16:

Encontre a soma dos primeiros 7 termos de uma progressão geométrica dados 𝑢=8𝑢 e 𝑢+𝑢=64.

  • A 1 3 7 6 5
  • B 1 7 2 5
  • C 1 3 4 4 5
  • D 1 6 8 5
  • E 3 4 4 5

Q17:

Encontre o número de termos da progressão geométrica 𝑢=96×2 para o qual a soma é igual a 93.

Q18:

Determine o menor número de termos da progressão geométrica sabendo que o primeiro termo é 1 e o quarto termo é 125; em que a soma dos termos é 7‎ ‎143.

Q19:

Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é 𝑎, a razão comum é 𝑟, e o último termo é 𝑙.

Encontre a soma da progressão geométrica com 𝑎=1408, 𝑟=12, e 𝑙=88.

Q20:

Determine a progressão geométrica e a soma dos primeiros sete termos sabendo que 15𝑢6𝑢=9𝑢, 𝑢=9 e todos os termos são positivos.

  • A 𝑢 = 1 2 7 , 1 9 , 1 3 , , 𝑆 = 3 6 4 2 7
  • B 𝑢 = ( 2 8 8 , 1 4 4 , 7 2 , ) , 𝑆 = 5 6 7
  • C 𝑢 = 1 8 1 , 1 2 7 , 1 9 , , 𝑆 = 1 0 9 3 8 1
  • D 𝑢 = ( 2 8 8 , 1 4 4 , 7 2 , ) , 𝑆 = 1 1 4 3 2
  • E 𝑢 = 1 2 7 , 1 9 , 1 3 , , 𝑆 = 1 0 9 3 2 7

Q21:

Encontre a soma dos primeiros 6 termos da série geométrica 12+14+18+116+.

  • A 1 5 1 2
  • B 3 1 3 2
  • C 6 3 6 4
  • D 3 1 1 2

Q22:

Determine a progressão geométrica e a soma dos primeiros cinco termos dado a soma dos primeiros três termos ser 1 e a soma dos três termos seguintes ser 27.

  • A 𝑢 = 9 1 3 , 3 1 3 , 1 1 3 , , 𝑆 = 4 0 3 9
  • B 𝑢 = 1 1 3 , 3 1 3 , 9 1 3 , , 𝑆 = 4 0 1 3
  • C 𝑢 = 2 7 1 3 , 8 1 1 3 , 2 4 3 1 3 , , 𝑆 = 3 2 6 7 1 3
  • D 𝑢 = 9 1 3 , 3 1 3 , 1 1 3 , , 𝑆 = 1 2 1 1 1 7
  • E 𝑢 = 1 1 3 , 3 1 3 , 9 1 3 , , 𝑆 = 1 2 1 1 3

Q23:

Determine o número de termos da progressão geométrica (23,69,207,) para a qual a soma é igual a 2‎ ‎783.

Q24:

Encontre a soma dos primeiros 6 termos da progressão geométrica (405,135,45,).

  • A 1 8 2 0 3
  • B 1 8 2 5 6
  • C 1 6 0 3
  • D605

Q25:

Determine a soma da progressão geométrica (16,32,64,,256).

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