Atividade: Séries Geométricas

Nesta atividade, nós vamos praticar a dedução da fórmula para calcular a soma de qualquer série geométrica e como utilizá-la para resolver problemas contextualizados na realidade.

Q1:

A soma dos termos de uma sucessão é designada por série.

Uma série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica; uma soma parcial geométrica com 𝑛 termos pode ser escrita como 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟;() em que 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão (o número pelo qual se multiplica um termo para se obter o seguinte da sequência, 𝑟1).

Determine a soma dos primeiros 6 termos de uma série geométrica com 𝑎=24 e 𝑟=12.

  • A812
  • B4714
  • C2314
  • D204
  • E1158

Q2:

Uma progressão geométrica tem como primeiro termo 3 e como razão 5. Determine a soma dos primeiros 6 termos.

Q3:

Encontre, com duas casas decimais, a soma das seguintes séries geométricas: 20+20(1,01)+20(1,01)++20(1,01).

Q4:

Podemos encontrar uma fórmula para a soma de uma série geométrica. Considere a série 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Multiplique a expressão de 𝑆 por 𝑟, a razão comum.

  • A𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • B𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • C𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • D𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • E𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟

Então nós temos 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟 e 𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Os lados direito das equações são muito semelhantes. Identifique os termos que não aparecem no lado direito de ambas as equações.

  • A𝑎𝑟;𝑎𝑟
  • B𝑎;𝑎𝑟
  • C𝑎;𝑎𝑟
  • D𝑎;𝑎𝑟
  • E𝑎𝑟;𝑎𝑟

Agora, considere a subtração 𝑆𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Use a resposta da parte anterior para simplificar a subtração 𝑆𝑟𝑆.

  • A𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • B𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • C𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • D𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • E𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟

Fatore os dois lados da equação.

  • A𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟(1𝑟)
  • B𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • C𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟𝑟
  • D𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • E𝑆(1𝑟)=𝑎(1𝑟)

Reorganize a equação para deixar 𝑆 em evidência na fórmula.

  • A𝑆=𝑎𝑟(1𝑟)1𝑟
  • B𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • C𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • D𝑆=𝑎𝑟𝑟1𝑟
  • E𝑆=𝑎(1𝑟)1𝑟

Q5:

Existem duas séries geométricas uma com o primeiro termo 3 e outra cujos primeiros 3 termos têm uma soma de 21.

Quais são as suas razões comuns?

  • A3, 7
  • B2, 3
  • C2, 3
  • D2, 3
  • E3, 7

Escreva uma expressão para a soma dos primeiros 𝑛 termos da seqüência com primeiro termo 3 e razão comum 2.

  • A321
  • B32
  • C2(13)
  • D23
  • E231

Q6:

Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 𝑎 e a razão é 𝑟.

Determine a soma dos primeiros 3 termos de uma progressão geométrica com 𝑎=328 e 𝑟=14.

  • A5332
  • B410
  • C8612
  • D3692

Q7:

Encontre a progressão geométrica dado que seu primeiro termo é 324, o último termo é 4, e a soma de todos seus termos é 484.

  • A324;972;2916;;4
  • B324;972;2916;;4
  • C324,108,36,,4
  • D324,108,36,,4

Q8:

Encontre o quarto termo da progressão geométrica dada por 𝑆=10242 onde 𝑆 é a soma dos primeiros 𝑛 termos.

Q9:

Encontre os três primeiros termos positivos de uma progressão geométrica, dada que a soma deles é 14 e a soma de seus inversos multiplicativos é 6332.

  • A32, 38, e 332
  • B23, 16, e 124
  • C32, 6, e 24
  • D23, 83, e 323

Q10:

Encontre, em termos de 𝑙 e 𝑚, a razão comum da progressão geométrica dada a soma dos primeiros dez termos é 24𝑙 e a soma dos próximos dez termos é 91𝑚.

  • A91𝑚24𝑙
  • B91𝑚24𝑙
  • C24𝑙91𝑚
  • D24𝑙91𝑚
  • E24𝑚91𝑙

Q11:

Encontre a progressão geométrica e a soma dos primeiros seis termos dado que o segundo termo é quatro vezes o quarto , a soma do quarto e sétimo termos é 2 e todos os termos são positivos.

  • A𝑎=1289;649;329;, 𝑆=28
  • B𝑎=136;118;19;, 𝑆=3136
  • C𝑎=2569;1289;649;, 𝑆=56
  • D𝑎=136;118;19;, 𝑆=74
  • E𝑎=1289;649;329;, 𝑆=2489

Q12:

Determine a soma dos primeiros 20 termos da progressão geométrica 1;1,07;1,07;1,07;, apresentando a resposta com duas casas decimais.

Q13:

Determine a soma da série geométrica 322122+16611782.

  • A24911
  • B61594
  • C91891
  • D8722

Q14:

Determine a soma da progressão geométrica 176+88+44++11.

Q15:

Encontre a progressão geométrica e a soma dos primeiros seis termos, dado que a soma do segundo e quarto termos é 68 e a soma do terceiro e quinto termos é 272.

  • A𝑎=(256,64,16,), 𝑆=341
  • B𝑎=14,1,4,, 𝑆=13654
  • C𝑎=(1,4,16,), 𝑆=341
  • D𝑎=(1,4,16,), 𝑆=1365
  • E𝑎=(256,64,16,), 𝑆=13654

Q16:

Encontre a soma dos primeiros 7 termos de uma progressão geométrica dados 𝑎=8𝑎 e 𝑎+𝑎=64.

  • A13765
  • B1685
  • C3445
  • D13445
  • E1725

Q17:

Encontre o número de termos da progressão geométrica 𝑎=96×2 para o qual a soma é igual a 93.

Q18:

Determine o menor número de termos da progressão geométrica sabendo que o primeiro termo é 1 e o quarto termo é 125, em que a soma dos termos é 7‎ ‎143.

Q19:

Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é 𝑎, a razão comum é 𝑟, e o último termo é 𝑙.

Encontre a soma da progressão geométrica com 𝑎=1408, 𝑟=12, e 𝑙=88.

Q20:

Determine a progressão geométrica e a soma dos primeiros sete termos sabendo que 15𝑢6𝑢=9𝑢, 𝑢=9 e todos os termos são positivos.

  • A𝑢=127,19,13,, 𝑆=36427
  • B𝑢=(288,144,72,), 𝑆=567
  • C𝑢=181,127,19,, 𝑆=109381
  • D𝑢=(288,144,72,), 𝑆=11432
  • E𝑢=127,19,13,, 𝑆=109327

Q21:

Encontre a soma dos primeiros 6 termos da série geométrica 12+14+18+116+.

  • A1512
  • B3132
  • C6364
  • D3112

Q22:

Determine a progressão geométrica e a soma dos primeiros cinco termos dado a soma dos primeiros três termos ser 1 e a soma dos três termos seguintes ser 27.

  • A𝑢=913,313,113,, 𝑆=4039
  • B𝑢=113,313,913,, 𝑆=4013
  • C𝑢=2713,8113,24313,, 𝑆=326713
  • D𝑢=913,313,113,, 𝑆=121117
  • E𝑢=113,313,913,, 𝑆=12113

Q23:

Determine o número de termos da progressão geométrica (23;69;207;) para a qual a soma é igual a 2‎ ‎783.

Q24:

Encontre a soma dos primeiros 6 termos da progressão geométrica (405,135,45,).

  • A18203
  • B18256
  • C1603
  • D605

Q25:

Determine a soma da progressão geométrica (16,32,64,,256).

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