Lição de casa da aula: Soma de uma Progressão Geométrica Finita Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a calcular a soma dos termos em uma progressão geométrica com um número finito de termos.

Questão 1

A soma dos termos de uma sucessão é designada por série.

Uma série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica; uma soma parcial geométrica com 𝑛 termos pode ser escrita como 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟;() em que 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão (o número pelo qual se multiplica um termo para se obter o seguinte da sequência, 𝑟1).

Determine a soma dos primeiros 6 termos de uma série geométrica com 𝑎=24 e 𝑟=12.

  • A812
  • B4714
  • C2314
  • D204
  • E1158

Questão 2

Uma progressão geométrica tem como primeiro termo 3 e como razão 5. Determine a soma dos primeiros 6 termos.

Questão 3

Encontre, com duas casas decimais, a soma das seguintes séries geométricas: 20+20(1,01)+20(1,01)++20(1,01).

Questão 4

Podemos encontrar uma fórmula para a soma de uma série geométrica. Considere a série 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Multiplique a expressão de 𝑆 por 𝑟, a razão comum.

  • A𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • B𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • C𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • D𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • E𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟

Então nós temos 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟 e 𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Os lados direito das equações são muito semelhantes. Identifique os termos que não aparecem no lado direito de ambas as equações.

  • A𝑎𝑟;𝑎𝑟
  • B𝑎;𝑎𝑟
  • C𝑎;𝑎𝑟
  • D𝑎;𝑎𝑟
  • E𝑎𝑟;𝑎𝑟

Agora, considere a subtração 𝑆𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Use a resposta da parte anterior para simplificar a subtração 𝑆𝑟𝑆.

  • A𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • B𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • C𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • D𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • E𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟

Fatore os dois lados da equação.

  • A𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟(1𝑟)
  • B𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • C𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟𝑟
  • D𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • E𝑆(1𝑟)=𝑎(1𝑟)

Reorganize a equação para deixar 𝑆 em evidência na fórmula.

  • A𝑆=𝑎𝑟(1𝑟)1𝑟
  • B𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • C𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • D𝑆=𝑎𝑟𝑟1𝑟
  • E𝑆=𝑎(1𝑟)1𝑟

Questão 5

Existem duas séries geométricas uma com o primeiro termo 3 e outra cujos primeiros 3 termos têm uma soma de 21.

Quais são as suas razões comuns?

  • A3, 7
  • B2, 3
  • C2, 3
  • D2, 3
  • E3, 7

Escreva uma expressão para a soma dos primeiros 𝑛 termos da seqüência com primeiro termo 3 e razão comum 2.

  • A321
  • B32
  • C2(13)
  • D23
  • E231

Questão 6

Encontre o quarto termo da progressão geométrica dada por 𝑆=10242 onde 𝑆 é a soma dos primeiros 𝑛 termos.

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