Atividade: Séries Geométricas

Nesta atividade, nós vamos praticar a dedução da fórmula para calcular a soma de qualquer série geométrica e como utilizá-la para resolver problemas contextualizados na realidade.

Q1:

A soma dos termos de uma sucessão é designada por série.

Uma série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica; uma soma parcial geométrica com 𝑛 termos pode ser escrita como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 , ( ) em que 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão (o número pelo qual se multiplica um termo para se obter o seguinte da sequência, 𝑟 1 ).

Determine a soma dos primeiros 6 termos de uma série geométrica com 𝑎 = 2 4 e 𝑟 = 1 2 .

  • A204
  • B 2 3 1 4
  • C 8 1 2
  • D 4 7 1 4
  • E 1 1 5 8

Q2:

Uma progressão geométrica tem como primeiro termo 3 e como razão 5. Determine a soma dos primeiros 6 termos.

Q3:

Encontre, com duas casas decimais, a soma das seguintes séries geométricas: 2 0 + 2 0 ( 1 , 0 1 ) + 2 0 ( 1 , 0 1 ) + + 2 0 ( 1 , 0 1 ) .

Q4:

No primeiro dia havia 810 bactérias numa placa de Petri. Determine, apresentando a resposta arredondada às unidades, o número de bactérias após seis dias, dado que elas se duplicam diariamente.

  • A 102 870 bactérias
  • B 25 110 bactérias
  • C 52 650 bactérias
  • D 51 030 bactérias
  • E 1 595 bactérias

Q5:

A Ana Paula está a treinar no ginásio. Na passadeira, ela corre 250 m no primeiro minuto e a distância que corre diminui 1 0 % a cada minuto subsequente.

Qual a distância que corre ao fim de 10 minutos? Apresente a resposta arredondada às unidades do metro.

Q6:

Uma série geométrica é uma sucessão de termos que podem ser escritos na forma 𝑎 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , , em que 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão (o número pelo qual se multiplica um termo para se obter o seguinte da sucessão, 𝑟 1 ).

Identifique 𝑎 e 𝑟 na seguinte sucessão: 2 5 0 , 5 0 , 1 0 , 2 , .

  • A 𝑎 = 2 5 0 , 𝑟 = 5
  • B 𝑎 = 5 0 , 𝑟 = 5
  • C 𝑎 = 5 0 , 𝑟 = 1 0
  • D 𝑎 = 2 5 0 , 𝑟 = 1 5
  • E 𝑎 = 2 0 0 , 𝑟 = 4 5

Q7:

Uma série geométrica é uma sucessão de termos que podem ser escritos na forma 𝑎 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , , em que 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão (o número pelo qual se multiplica um termo para se obter o seguinte na sucessão, 𝑟 1 ).

Identifique 𝑎 e 𝑟 na seguinte sucessão: 4 , 1 2 , 3 6 , 1 0 8 , .

  • A 𝑎 = 3 , 𝑟 = 4
  • B 𝑎 = 4 , 𝑟 = 8
  • C 𝑎 = 8 , 𝑟 = 4
  • D 𝑎 = 4 , 𝑟 = 3
  • E 𝑎 = 2 , 𝑟 = 3

Q8:

Podemos deduzir uma fórmula para a soma de uma progressão geométrica. Considere a progressão 𝑆 tal que 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

Multiplique a expressão de 𝑆 por 𝑟 , a razão.

  • A 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • B 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • C 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • D 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • E 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟

Donde temos 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 e 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

Os segundos membros de ambas as equações são muito semelhantes. Identifique os termos que NÃO aparecem nos segundos membros de cada equação.

  • A 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • B 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • C 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟
  • D 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • E 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟

Agora, considere a subtração 𝑆 𝑟 𝑆 tal que: 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

Recorra à resposta da parte anterior para simplificar a subtração 𝑆 𝑟 𝑆 .

  • A 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • B 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • C 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • D 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • E 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟

Fatorize os dois membros da equação.

  • A 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 ( 1 𝑟 )
  • B 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 𝑟
  • C 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟
  • D 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟
  • E 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 )

Manipule a equação em ordem a 𝑆 .

  • A 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟
  • B 𝑆 = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • C 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟
  • D 𝑆 = 𝑎 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • E 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑟 1 𝑟

Q9:

Existem duas séries geométricas uma com o primeiro termo 3 e outra cujos primeiros 3 termos têm uma soma de 21.

Quais são as suas razões comuns?

  • A3, 7
  • B 2 , 3
  • C 2 , 3
  • D2, 3
  • E 3 , 7

Escreva uma expressão para a soma dos primeiros 𝑛 termos da seqüência com primeiro termo 3 e razão comum 2.

  • A 3 2
  • B 3 2 1
  • C 2 ( 1 3 )
  • D 2 3
  • E 2 3 1

Q10:

Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 𝑎 e a razão é 𝑟 .

Determine a soma dos primeiros 3 termos de uma progressão geométrica com 𝑎 = 3 2 8 e 𝑟 = 1 4 .

  • A 3 6 9 2
  • B 5 3 3 2
  • C410
  • D 8 6 1 2

Q11:

Encontre a progressão geométrica dado que seu primeiro termo é 324, o último termo é 4, e a soma de todos seus termos é 484.

  • A 3 2 4 ; 1 0 8 ; 3 6 , , 4
  • B 3 2 4 ; 9 7 2 ; 2 9 1 6 , , 4
  • C 3 2 4 ; 9 7 2 ; 2 9 1 6 , , 4
  • D 3 2 4 ; 1 0 8 ; 3 6 , , 4

Q12:

A Mariana ingressou numa empresa com um salário inicial de $ 2 8 0 0 0 . Ela recebe 2 , 5 % de aumento salarial após cada ano que completa na empresa.

O total ganho pela Mariana ao fim de 𝑛 anos é uma progressão geométrica. Qual é a razão?

Escreva uma fórmula para 𝑆 𝑛 , a quantia total em dólares que a Mariana recebe em 𝑛 anos na empresa.

  • A 𝑆 = 1 1 2 0 0 0 0 ( 1 , 0 2 5 1 ) 𝑛 𝑛
  • B 𝑆 = 2 8 0 0 0 ( 1 1 , 0 2 5 ) 𝑛 𝑛
  • C 𝑆 = 1 1 2 0 0 0 0 ( 1 0 , 9 7 5 ) 𝑛 𝑛
  • D 𝑆 = 1 8 6 6 7 ( 2 , 5 1 ) 𝑛 𝑛
  • E 𝑆 = 5 8 9 4 7 ( 1 , 4 7 5 1 ) 𝑛 𝑛

Após 20 anos com a empresa, a Mariana deixa-a. Utilize a fórmula para calcular a quantia total que recebeu nessa empresa.

Explique porque é que a verdadeira quantia que recebeu será diferente da quantia calculada utilizando a fórmula.

  • AQuando necessário, o novo salário será arredondado.
  • BA verdadeira quantia terá um valor inicial diferente comparado com a quantia calculada utilizando a fórmula.
  • CA verdadeira quantia terá uma percentagem diferente comparada à quantia calculada utilizando a fórmula.
  • DEla gastou parte do dinheiro nos 20 anos.
  • EO valor do dólar varia com o tempo.

Q13:

Quando Rodrigo se mudou para seu primeiro apartamento seu aluguel era de $ 1 3 2 0 0 por ano. Todos os anos, o proprietário aumentou o aluguel em 3 % . Rodrigo mora no apartamento há 17 anos. Considerando a renda total paga como uma série geométrica, calcule o valor total da renda que Rodrigo pagou ao longo dos 17 anos que viveu no apartamento. Dê sua resposta para o dólar mais próximo.

Q14:

Para calcular a quantia de dinheiro numa conta poupança estruturada, em que o proprietário deposita uma quantia regular num intervalo de tempo regular, consideramos cada depósito mensal separadamente.

Considere um proprietário que faz um depósito regular no último dia de cada mês numa conta em que o juro é calculado no último dia de cada mês.

Seja o depósito regular 𝐷 e seja a taxa de juro mensal 𝑖 (uma taxa de juro 𝑝 % daria um valor de 𝑖 de 𝑝 1 0 0 ).

No dia em que o depósito de ordem 𝑛 é efetuado, o primeiro depósito tem rendido juros por ( 𝑛 1 ) meses, portanto o seu valor é 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 𝑛 1 .

De forma semelhante, no dia em que o depósito de ordem 𝑛 é efetuado, o segundo depósito tem rendido juros por ( 𝑛 2 ) meses, portanto o seu valor é 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 𝑛 2 .

O padrão continua até considerarmos o depósito de ordem 𝑛 que não rendeu juros no dia em que foi depositado e, portanto, o seu valor é 𝐷 .

Para calcular a quantia total no fundo, 𝑇 , no dia em que o depósito de ordem 𝑛 é feito, precisamos de determinar a soma dos valores dos depósitos individuais.

Começando no depósito de ordem 𝑛 , obtemos

Que tipo de progressão observamos no segundo membro da equação?

  • AFibonacci
  • Baritmética
  • Charmónica
  • Dgeométrica

Utilizando a fórmula para a soma dos primeiros 𝑛 termos de uma progressão geométrica, escreva a fórmula para 𝑇 , o quantia total no fundo.

  • A 𝑇 = 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 1 𝑖 𝑛
  • B 𝑇 = 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 1 𝑖 𝑛 1
  • C 𝑇 = 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 1 𝑖 + 1 𝑛
  • D 𝑇 = 𝐷 1 𝑖 1 𝑖 𝑛
  • E 𝑇 = 𝐷 1 𝑖 1 𝑖 𝑛 1

Q15:

Milena guarda $ 5 0 todos os meses em um fundo de investimento de alto desempenho. O fundo tem a garantia de pagar 6 % de juros anuais, compostos mensalmente.

Quanto Milena está garantida de ter em seu fundo no final de 2 anos?

Q16:

Leandro guardou $ 2 0 todos os meses em uma conta que paga uma taxa de juros anual de 4 % composto mensalmente.

Quanto vai estar na conta de Leandro depois de 4 anos de poupança regular? Dê sua resposta para o centavo mais próximo.

Se os juros fossem compostos trimestralmente, quanto teria na conta após 4 anos?

Q17:

Lúcia quer substituir seu carro em 2 anos. Ela decide poupar dinheiro todo mês, e a melhor conta de poupança tem uma taxa de juros anual de 9 % composto mensalmente.

Quanto deve ser o pagamento regular mensal se Lúcia pretende guardar $ 5 0 0 0 para o depósito do carro? Dê sua resposta para o dólar mais próximo.

Q18:

Um casal quer comprar um apartamento por $ 2 5 0 0 0 0 . O pagamento mensal da hipoteca pode ser calculado usando a fórmula

onde 𝑃 é o pagamento mensal 𝐿 é o montante do empréstimo 𝑖 é a taxa de juros mensal e 𝑛 é o número de meses durante os quais a hipoteca será paga.

O banco oferece uma hipoteca de 20 anos com uma taxa de juros de 0 , 2 7 5 % por mês, e eles têm um pagamento inicial de $ 5 0 0 0 0 . Calcule o pagamento mensal para o centavo mais próximo.

Qual deve ser o pagamento inicial, para os 100 dólares mais próximos, se o casal puder pagar apenas $ 1 0 0 0 por mês?

Em vez de aumentar o pagamento, eles decidem aumentar o prazo da hipoteca. Assumindo a mesma taxa de juros, eles podem fazer os pagamentos mensais de uma hipoteca de 25 anos?

  • Anão
  • Bsim

Q19:

O valor do empréstimo e o pagamento mensal do empréstimo são relacionados pela fórmula 𝐿 = 𝑃 1 ( 1 + 𝑖 ) ) 𝑖 , onde 𝐿 é o montante do empréstimo, 𝑃 é o pagamento mensal, 𝑖 é a taxa de juros mensal, e 𝑛 é o número de meses durante os quais o empréstimo será pago.

Um vendedor de carro está oferecendo empréstimos de 4 anos com uma taxa de juros mensal de 0 , 5 % .

Use a fórmula para calcular o pagamento mensal de um carro que custa $ 2 5 0 0 0 , sem nenhum pagamento inicial.

Q20:

Um tanque de água tem 1 778 litros de água. O volume de água decresceu 14, 28 e 56 nos três dias que se seguiram, respetivamente. Quanto tempo demorará até o tanque esvaziar, sabendo que o volume de água decresce na mesma proporção?

Q21:

O empréstimo e a prestação mensal de pagamento do empréstimo estão relacionado pela fórmula 𝐿 = 𝑃 ( 1 ( 1 + 𝑖 ) ) 𝑖 , em que 𝐿 é a quantia do empréstimo, 𝑃 a prestação mensal, 𝑖 é a taxa de juro mensal e 𝑛 é o número de meses em que o empréstimo será pago.

Um negociante de cozinhas oferece 6 anos de empréstimo com uma taxa de juro mensal de 0 , 4 % .

Utilize a fórmula para calcular, arredondando aos centavos, a prestação mensal de uma cozinha que custa $ 2 0 0 0 0 , sem pagamento inicial.

Um cliente que pretende comprar a cozinha pode pagar $250 por mês. Calcule o pagamento inicial que deve fazer para que as prestações mensais lhe sejam acessíveis. Apresente a resposta com um grau de exatidão adequado.

Q22:

Um triângulo equilátero tem um comprimento lateral de 14 cm, onde outro triângulo é desenhado dentro dele, conectando os pontos médios de seus lados. Mais triângulos interiores devem ser repetidamente desenhados da mesma maneira como mostrado na figura. Encontre a soma dos perímetros dos primeiros 6 triângulos desenhados dando a resposta para o inteiro mais próximo.

Q23:

Um retângulo cujo comprimento é 64 cm e a largura é 48 cm tem seus lados divididos. Esses pontos são então conectados criando um losango. Os lados do losango são divididos e assim por diante formando a figura abaixo. Encontre a soma infinita dos perímetros da figura.

Q24:

Uma bola foi lançada num plano horizontal. Ela percorreu 145 cm no primeiro minuto e a distância diminui 2 5 % por cada minuto que se seguiu. Determine a distância total percorrida pela bola até parar completamente.

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