Atividade: Rotações no Plano Cartesiano

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Nesta atividade, nós vamos praticar a rotação de uma forma em 90, 180 e 270 graus sobre a origem e investigar o que acontece com as coordenadas como resultado.

Q1:

Determine as imagens dos vértices do triângulo 𝐴𝐵𝐶 após uma rotação no sentido horário de 90∘ sobre a origem.

  • A 𝐴 ( − 4 , 8 ) , 𝐵 ( 3 , − 3 ) , 𝐶 ( − 7 , 3 )
  • B 𝐴 ( 4 , − 8 ) , 𝐵 ( − 3 , 3 ) , 𝐶 ( − 7 , 3 )
  • C 𝐴 ( − 4 , 8 ) , 𝐵 ( − 3 , 3 ) , 𝐶 ( 7 , − 3 )
  • D 𝐴 ( 4 , − 8 ) , 𝐵 ( 3 , − 3 ) , 𝐶 ( 7 , − 3 )
  • E 𝐴 ( − 4 , 8 ) , 𝐵 ( − 3 , 3 ) , 𝐶 ( − 7 , 3 )

Q2:

Dados que 𝑋(4,−2), 𝑌(8,−3), e 𝑍(5,−8) forma um triângulo, determinar as imagens de seus vértices após uma rotação no sentido horário de 180∘ sobre a origem.

  • A 𝑋 ( 2 , − 4 ) , 𝑌 ( 3 , − 8 ) , 𝑍 ( 8 , − 5 )
  • B 𝑋 ( − 4 , 2 ) , 𝑌 ( 3 , − 8 ) , 𝑍 ( − 5 , 8 )
  • C 𝑋 ( − 4 , 2 ) , 𝑌 ( − 8 , 3 ) , 𝑍 ( 8 , − 5 )
  • D 𝑋 ( − 4 , 2 ) , 𝑌 ( − 8 , 3 ) , 𝑍 ( − 5 , 8 )
  • E 𝑋 ( 2 , − 4 ) , 𝑌 ( − 8 , 3 ) , 𝑍 ( − 5 , 8 )

Q3:

Qual é a imagem do ponto (−3,14) depois de uma rotação sobre a origem através de um ângulo de 90∘?

  • A ( 3 , 1 4 )
  • B ( − 1 4 , − 3 )
  • C ( − 1 4 , 3 )
  • D ( − 3 , − 1 4 )

Q4:

Qual é a imagem de 𝐴𝐵𝐶𝐷 sob a rotação (𝑥,𝑦)→(−𝑦,𝑥)?

  • A 𝐴 ′ ( − 4 , 3 ) , 𝐵 ′ ( − 5 , 3 ) , 𝐶 ′ ( − 5 , 4 ) , 𝐷 ′ ( − 4 , 5 )
  • B 𝐴 ′ ( − 3 , 4 ) , 𝐵 ′ ( − 3 , 5 ) , 𝐶 ′ ( − 4 , 5 ) , 𝐷 ′ ( − 5 , 4 )
  • C 𝐴 ′ ( 4 , 0 ) , 𝐵 ′ ( 5 , 0 ) , 𝐶 ′ ( 5 , 1 ) , 𝐷 ′ ( 4 , 2 )
  • D 𝐴 ′ ( 4 , − 3 ) , 𝐵 ′ ( 5 , − 3 ) , 𝐶 ′ ( 5 , − 4 ) , 𝐷 ′ ( 4 , − 5 )
  • E 𝐴 ′ ( 4 , 5 ) , 𝐵 ′ ( 5 , 5 ) , 𝐶 ′ ( 5 , 6 ) , 𝐷 ′ ( 4 , 7 )

Q5:

Um triângulo tem seus vértices nos pontos (2, 1), (3, 2) e (2, 4). O triângulo é rotacionado 90∘ no sentido anti-horário sobre a origem. Em qual das seguintes coordenadas a imagem terá seus vértices?

  • A ( − 2 , 1 ) , ( − 2 , 3 ) e (4,−2)
  • B ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) e (2,−4)
  • C ( − 1 , 2 ) , ( − 2 , 3 ) e (−4,2)
  • D ( − 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) e (2,−4)
  • E ( 2 , − 1 ) , ( 3 , − 2 ) e (2,−4)

Q6:

Rotacione o triângulo dado sobre a origem 90∘ no sentido horário. Qual dos seguintes conjuntos de coordenadas serão os vértices da imagem?

  • A ( − 2 , 1 ) , ( − 2 , 4 ) e (−5,2)
  • B ( 2 , − 1 ) , ( 4 , − 2 ) e (2,−5)
  • C ( 1 , − 2 ) , ( 4 , − 2 ) e (2,−5)
  • D ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) e (5,2)
  • E ( 2 , 1 ) , ( 4 , 2 ) e (2,5)

Q7:

Determine as coordenadas das imagens dos vértices do triângulo 𝐴𝐵𝐶 após uma rotação no sentido anti-horário de 180∘ em torno da origem.

  • A 𝐴 ( − 7 , 8 ) , 𝐵 ( 3 , − 7 ) , 𝐶 ( 4 , − 3 )
  • B 𝐴 ( 8 , − 7 ) , 𝐵 ( 3 , − 7 ) , 𝐶 ( − 3 , 4 )
  • C 𝐴 ( − 7 , 8 ) , 𝐵 ( − 7 , 3 ) , 𝐶 ( − 3 , 4 )
  • D 𝐴 ( 8 , − 7 ) , 𝐵 ( − 7 , 3 ) , 𝐶 ( 4 , − 3 )
  • E 𝐴 ( 8 , − 7 ) , 𝐵 ( 3 , − 7 ) , 𝐶 ( 4 , − 3 )

Q8:

Dado que 𝑋(4,−4), 𝑌(8,−5) e 𝑍(5,−6), formam um triângulo, determine as imagens de seus vértices depois de uma rotação no sentido horário de 90∘ sobre a origem.

  • A 𝑋 ( 4 , 4 ) , 𝑌 ( − 5 , − 8 ) , 𝑍 ( − 6 , − 5 )
  • B 𝑋 ( − 4 , − 4 ) , 𝑌 ( − 5 , − 8 ) , 𝑍 ( − 6 , − 5 )
  • C 𝑋 ( − 4 , − 4 ) , 𝑌 ( 5 , 8 ) , 𝑍 ( − 6 , − 5 )
  • D 𝑋 ( − 4 , − 4 ) , 𝑌 ( − 5 , − 8 ) , 𝑍 ( 6 , 5 )
  • E 𝑋 ( 4 , 4 ) , 𝑌 ( 5 , 8 ) , 𝑍 ( 6 , 5 )

Q9:

Determine as coordenadas da imagem dos vértices do triângulo 𝐴𝐵𝐶 após uma rotação no sentido anti-horário de 270∘ em torno da origem.

  • A 𝐴 ( − 3 , 7 ) , 𝐵 ( − 4 , 3 ) , 𝐶 ( 6 , − 5 )
  • B 𝐴 ( − 3 , 7 ) , 𝐵 ( 3 , − 4 ) , 𝐶 ( − 5 , 6 )
  • C 𝐴 ( 7 , − 3 ) , 𝐵 ( 3 , − 4 ) , 𝐶 ( 6 , − 5 )
  • D 𝐴 ( 7 , − 3 ) , 𝐵 ( − 4 , 3 ) , 𝐶 ( − 5 , 6 )
  • E 𝐴 ( − 3 , 7 ) , 𝐵 ( − 4 , 3 ) , 𝐶 ( − 5 , 6 )

Q10:

Um triângulo representado no plano de coordenadas tem um vértice em (6,0). Qual das seguintes rotações moveria o vértice para o ponto (0,6)?

  • A 9 0 ∘ sentido anti-horário em torno da origem
  • B 9 0 ∘ no sentido horário em torno da origem
  • C 1 8 0 ∘ no sentido horário ou sentido anti-horário em torno da origem

Q11:

O ponto 𝐴(3,0) é rotacionado sobre a origem por 𝜃 graus. Em qual das figuras dadas a imagem de 𝐴 se mantem nesse eixo de rotação?

  • A Uma circunferência com raio três e centro (1,1)
  • B Uma circunferência com raio três e centro (0,0)
  • C Uma circunferência com raio três e centro (3,0)
  • D Uma circunferência com raio três e centro (3,3)
  • EUma circunferência com raio dois e centro (0,0)

Q12:

Dois pontos 𝐴 e 𝐵 têm coordenadas (−5,1) e (−2,1), respetivamente. [𝐴𝐵] é rodado 270∘ em sentido anti-horário formando [𝐴′𝐵′].

Determine as coordenadas de 𝐴′ e 𝐵′.

  • A 𝐴 ′ = ( 5 , 1 ) , 𝐵 ′ = ( 2 , 1 )
  • B 𝐴 ′ = ( − 1 , − 5 ) , 𝐵 ′ = ( − 1 , − 2 )
  • C 𝐴 ′ = ( 1 , 5 ) , 𝐵 ′ = ( 1 , 2 )
  • D 𝐴 ′ = ( − 1 , 5 ) , 𝐵 ′ = ( − 1 , 2 )
  • E 𝐴 ′ = ( 1 , − 5 ) , 𝐵 ′ = ( 1 , − 2 )

O comprimento de [𝐴𝐵] é maior, menor ou igual ao comprimento de [𝐴′𝐵′]?

  • Amenor que
  • Bmaior que
  • Cigual a

Q13:

Descreva a transformação única que transformaria o triângulo 𝐴𝐵𝐶 no triângulo 𝐴′𝐵′𝐶′ na figura dada.

  • Aum rotação de 270∘ no sentido horário sobre 𝐸
  • Bum rotação de 90∘ no sentido horário sobre 𝐸
  • Cum rotação de 90∘ no sentido horário sobre 𝐷
  • Dum rotação de 90∘ no sentido anti-horário sobre 𝐷
  • Eum rotação de 270∘ no sentido anti-horário sobre 𝐷

Q14:

Um triângulo tem vértices nos pontos vistos na figura. Rotacione o triângulo 90∘ no sentido anti-horário sobre a origem e determine as coordenadas da imagem.

  • A ( − 2 , − 3 ) , ( − 4 , − 5 ) , ( − 1 , − 5 )
  • B ( − 3 , 2 ) , ( − 5 , 1 ) , ( − 5 , 4 )
  • C ( 3 , − 2 ) , ( 5 , − 1 ) , ( 5 , − 4 )
  • D ( 3 , 2 ) , ( 5 , 1 ) , ( 5 , 4 )
  • E ( − 3 , − 2 ) , ( − 5 , − 1 ) , ( − 5 , − 4 )

Q15:

Rotacione o triângulo 𝐴𝐵𝐶180∘ no sentido horário sobre a origem e informe as coordenadas da imagem.

  • A ( 2 , 0 ) , ( 1 , − 2 ) , ( 1 , 3 )
  • B ( − 2 , 0 ) , ( 1 , − 2 ) , ( 1 , − 3 )
  • C ( 0 , 2 ) , ( − 2 , − 1 ) , ( 3 , − 1 )
  • D ( − 2 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , − 3 )
  • E ( 2 , 0 ) , ( − 1 , − 2 ) , ( − 1 , 3 )

Q16:

Rotacione o triângulo 𝐴𝐵𝐶90∘ no sentido horário sobre a origem e informe as coordenadas da imagem.

  • A ( 2 , 5 ) , ( 4 , 3 ) , ( 0 , 2 )
  • B ( 2 , − 5 ) , ( 4 , − 3 ) , ( 0 , − 2 )
  • C ( − 2 , − 5 ) , ( − 4 , − 3 ) , ( − 2 , 0 )
  • D ( − 2 , 5 ) , ( − 4 , 3 ) , ( 0 , 2 )
  • E ( − 5 , 2 ) , ( − 3 , 4 ) , ( − 2 , 0 )

Q17:

𝐴 𝐵 e 𝐶𝐷 são paralelas. Ambas foram rotacionadas 90∘ no sentido horário sobre o ponto 𝐸 para ⃖⃗𝐴′𝐵′ e ⃖⃗𝐶′𝐷′ respectivamente. O que você percebe sobre ⃖⃗𝐴′𝐵′ e ⃖⃗𝐶′𝐷′?

  • AElas são paralelas.
  • BElas são concorrentes.
  • CElas são perpendiculares.

Q18:

Na figura apresentada, uma rotação de 90∘ em sentido anti-horário em torno do ponto 𝐵′ transformaria o triângulo 𝐴𝐵′𝐶 no triângulo 𝐴′𝐵′𝐶′. Pode-se afirmar que os dois triângulos são semelhantes?

  • A sim
  • B não

Q19:

Uma rotação sobre 𝑋 leva 𝑍 a 𝑍′ e 𝑌 a 𝑌′. Qual é o ângulo de rotação? Se 𝑋𝑍=45, quanto é 𝑋𝑍′?

  • A 1 2 7 ∘ , 45
  • B 3 7 ∘ , 45
  • C 9 0 ∘ , 90
  • D 5 3 ∘ , 45

Q20:

Na figura apresentada, se 𝑀 é o ponto médio de [𝐴𝐵], então 𝑏 pode ser rodado 180∘ em torno de 𝑀 para 𝑎. Assim, 𝑎 e 𝑏 devem ser congruentes. Esta afirmação é verdadeira ou falsa?

  • A falsa
  • B verdadeira

Q21:

Os vértices de △𝐴𝐵𝐶 são 𝐴(5,−9), 𝐵(8,−1), e 𝐶(−2,−3). Determine os vértices de △𝐴′𝐵′𝐶′, a imagem de △𝐴𝐵𝐶 depois de uma rotação de 180∘ sobre a origem.

  • A 𝐴 ′ ( 5 , 9 ) , 𝐵 ′ ( 8 , 1 ) , 𝐶 ′ ( − 2 , 3 )
  • B 𝐴 ′ ( − 5 , 9 ) , 𝐵 ′ ( − 8 , 1 ) , 𝐶 ′ ( 2 , 3 )
  • C 𝐴 ′ ( 9 , − 5 ) , 𝐵 ′ ( 1 , − 8 ) , 𝐶 ′ ( 3 , 2 )
  • D 𝐴 ′ ( − 5 , − 9 ) , 𝐵 ′ ( − 8 , − 1 ) , 𝐶 ′ ( 2 , − 3 )

Q22:

Júlia foi em uma caminhada na floresta. A flecha na bússola apontava para sudoeste. Quando Júlia deu uma volta na trilha, a bússola apontada para sudeste. Descreva a transformação da seta.

  • A rotação de 180∘ sentido horário
  • B rotação de 90∘ sentido anti-horário
  • C rotação de 45∘ sentido horário
  • D rotação de 45∘ sentido anti-horário
  • E rotação de 90∘ sentido horário

Q23:

O ponto (𝑎,𝑏) é a imagem do ponto (𝑥,𝑦) após uma rotação antihorária de 90∘ em torno da origem. Determine 𝑎+𝑦 e 𝑏+𝑥.

  • A 𝑎 + 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑏 + 𝑥 = 0
  • B 𝑎 + 𝑦 = 2 𝑦 , 𝑏 + 𝑥 = 0
  • C 𝑎 + 𝑦 = 0 , 𝑏 + 𝑥 = 0
  • D 𝑎 + 𝑦 = 0 , 𝑏 + 𝑥 = 2 𝑥

Q24:

Na figura, ⃖⃗𝐴𝐵 foi rotacionado sobre a origem em 180∘. A imagem é um ponto, um segmento de reta ou uma reta?

  • Auma reta
  • Bum ponto
  • Cum segmento de reta

Q25:

Os pontos 𝐴 e 𝐵 têm coordenadas (−2,5) e (3,5), respetivamente.

Qual é o comprimento de [𝐴𝐵]?

Uma rotação de 90∘ em sentido horário em torno da origem transforma os pontos 𝐴 e 𝐵 nos pontos 𝐴′ e 𝐵′, respetivamente. Quais são as coordenadas de 𝐴′ e 𝐵′?

  • A 𝐴 ′ = ( 2 , 5 ) , 𝐵 ′ = ( − 3 , 5 )
  • B 𝐴 ′ = ( 5 , − 2 ) , 𝐵 ′ = ( 5 , 3 )
  • C 𝐴 ′ = ( 5 , 2 ) , 𝐵 ′ = ( 5 , − 3 )
  • D 𝐴 ′ = ( − 5 , 2 ) , 𝐵 ′ = ( − 5 , − 3 )
  • E 𝐴 ′ = ( − 5 , − 2 ) , 𝐵 ′ = ( − 5 , 3 )

Qual é o comprimento de [𝐴′𝐵′]?

Por fim, o comprimento de [𝐴𝐵] diminui, aumenta ou permanece o mesmo como resultado desta rotação?

  • APermanece o mesmo.
  • BAumenta.
  • CDiminui.

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