Atividade: Equações Diferenciais Lineares Homogéneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

Nesta atividade, nós vamos praticar a resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Q1:

Considere a equação diferencial 𝑦′+𝑦=0. Suponha que um estudante tenha determinado a solução a ser 𝑦=𝑒. Com base nessas informaçáes, o aluno estΓ‘ correto?

  • ANΓ£o, o aluno deveria ter determinado a solução a ser 𝑦=π‘’οŠ±ο—.
  • BNΓ£o, o aluno deveria ter determinado a solução a ser 𝑦=βˆ’π‘’ο—.
  • CNΓ£o, o aluno deveria ter determinado que nΓ£o hΓ‘ solução.
  • DSim, o aluno nΓ£o cometeu nenhum erro.

Q2:

Determine a solução geral da seguinte equação diferencial de ordem superior: 𝑦′′′+9𝑦′′+27𝑦′+27𝑦=0.

  • A 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 π‘₯ 𝑒 + 𝑐 π‘₯ 𝑒             
  • B 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 π‘₯ 𝑒 + 𝑐 π‘₯ 𝑒            
  • C 𝑦 = 𝑐 π‘₯ 𝑒 + 𝑐 π‘₯ 𝑒 + 𝑐 π‘₯ 𝑒              
  • D 𝑦 = 𝑐 + 𝑐 π‘₯ 𝑒 + 𝑐 π‘₯ 𝑒         

Q3:

Aplique o princΓ­pio de superposição para encontrar a solução para π‘¦β€²β€²βˆ’π‘¦=0.

  • A 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒     
  • B 𝑦 = 𝑐 π‘₯ + 𝑐 π‘₯   s e n c o s
  • C 𝑦 = 𝑐 ( π‘₯ ) + 𝑐 π‘₯   l n c o s
  • D 𝑦 = 𝑐 π‘₯ + 𝑐 √ π‘₯  

Q4:

Suponha que existam funçáes diferenciΓ‘veis 𝐢 e 𝑆, definidas para todos os nΓΊmeros reais e satisfazendo 𝐢=π‘†οŽ˜ e 𝑆=𝐢.

Das derivadas, o que vocΓͺ pode deduzir sobre πΆβˆ’π‘†οŠ¨οŠ¨?

  • A 𝐢 βˆ’ 𝑆   Γ© uma função hiperbΓ³lica.
  • B 𝐢 βˆ’ 𝑆   Γ© uma função constante.
  • C 𝐢 βˆ’ 𝑆   Γ© sempre igual a 0.
  • D 𝐢 βˆ’ 𝑆   Γ© uma função exponencial.
  • E 𝐢 βˆ’ 𝑆   Γ© uma função trigonomΓ©trica.

Sabe-se que toda função que satisfaz 𝑦′′=𝑦 Γ© uma combinação π‘Žπ‘’+π‘π‘’ο—οŠ±ο— para algumas constantes π‘Ž e 𝑏. Encontre todas as funçáes 𝐢 satisfazendo 𝐢(0)=5 e πΆβˆ’π‘†=24, onde 𝑆=𝐢′.

  • A 𝐢 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 𝑒 + 3 𝑒    e 𝐢(π‘₯)=3π‘’βˆ’2π‘’ο—οŠ±ο—
  • B 𝐢 ( π‘₯ ) = 5 𝑒 + 5 𝑒    e 𝐢(π‘₯)=βˆ’5π‘’βˆ’5π‘’ο—οŠ±ο—
  • C 𝐢 ( π‘₯ ) = 2 𝑒 βˆ’ 3 𝑒    e 𝐢(π‘₯)=βˆ’3𝑒+2π‘’ο—οŠ±ο—
  • D 𝐢 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 𝑒 βˆ’ 3 𝑒    e 𝐢(π‘₯)=βˆ’3π‘’βˆ’2π‘’ο—οŠ±ο—
  • E 𝐢 ( π‘₯ ) = 2 𝑒 + 3 𝑒    e 𝐢(π‘₯)=3𝑒+2π‘’ο—οŠ±ο—

Desenhando grΓ‘ficos das funçáes acima sugere que 𝐢(π‘₯)=𝐴(π‘₯βˆ’π‘˜)cosh para algumas constantes 𝐴 e π‘˜. Encontre essas constantes, onde π‘˜>0.

  • A 𝐴 = 5 , π‘˜ = 3 2 l n
  • B 𝐴 = 2 √ 6 , π‘˜ = 3 2 l n
  • C 𝐴 = 5 , π‘˜ = 3 βˆ’ 2 2 l n l n
  • D 𝐴 = 2 √ 6 , π‘˜ = 3 βˆ’ 2 2 l n l n
  • E 𝐴 = 5 , π‘˜ = 2 2 l n

Q5:

Encontre a solução especΓ­fica para a seguinte equação diferencial homogΓͺnea: π‘¦βˆ’81𝑦=0(οŠͺ) onde 𝑦(0)=4, 𝑦′(0)=12, 𝑦′′(0)=βˆ’18 e 𝑦′′′(0)=βˆ’162.

  • A 𝑦 = 𝑒 + 3 ( 3 π‘₯ ) + 5 ( 3 π‘₯ )   c o s s e n
  • B 𝑦 = 𝑒 + 3 ( 3 π‘₯ ) + 5 ( 3 π‘₯ )    c o s s e n
  • C 𝑦 = 𝑒 + 5 ( 3 π‘₯ ) + 3 ( 3 π‘₯ )   c o s s e n
  • D 𝑦 = 𝑒 + 5 ( 3 π‘₯ ) + 3 ( 3 π‘₯ )    c o s s e n

Q6:

Encontre a solução para a seguinte equação diferencial ordinΓ‘ria de segunda ordem: 𝑦′′+4𝑦′+5𝑦=0, onde 𝑦(0)=1 e 𝑦′(0)=βˆ’1.

  • A 𝑦 = 𝑒 ( 2 π‘₯ ) + 𝑒 ( 2 π‘₯ )   c o s s e n
  • B 𝑦 = 𝑒 ( π‘₯ ) + 𝑒 ( π‘₯ )      c o s s e n
  • C 𝑦 = 𝑒 ( π‘₯ ) + 𝑒 ( π‘₯ )     c o s s e n
  • D 𝑦 = 𝑒 ( π‘₯ ) + 𝑒 ( π‘₯ )       c o s s e n

Q7:

Resolva a seguinte equação diferencial sob as condiçáes 𝑦(0)=1 e 𝑦(0)=0: 2𝑦π‘₯+2𝑦π‘₯+𝑦=0.dddd

  • A 𝑦 = 𝑒 ο€» π‘₯ 2  + 𝑒 ο€» π‘₯ 2        c o s s e n
  • B 𝑦 = 𝑒 ο€» π‘₯ 2  + 𝑒 ο€» π‘₯ 2      c o s s e n
  • C 𝑦 = 𝑒 ο€» π‘₯ 2  + 𝑒 ο€» π‘₯ 2      c o s s e n 
  • D 𝑦 = 𝑒 ο€» π‘₯ 2  + 𝑒 ο€» π‘₯ 2       c o s s e n

Q8:

Resolva a seguinte equação diferencial sob as condiçáes 𝑦(0)=1 e 𝑦′(0)=1: ddοŠ¨οŠ¨π‘¦π‘₯+4𝑦=0.

  • A 𝑦 = ( 2 π‘₯ ) + 1 2 ( 2 π‘₯ ) c o s s e n
  • B 𝑦 = ( π‘₯ ) + 1 2 ( π‘₯ ) s e n c o s
  • C 𝑦 = ( π‘₯ ) + 1 2 ( π‘₯ ) c o s s e n
  • D 𝑦 = ( 2 π‘₯ ) + 1 2 ( 2 π‘₯ ) s e n c o s

Q9:

Resolva a seguinte equação diferencial sob as condiçáes 𝑦(0)=4 e 𝑦′(0)=4: ddddοŠ¨οŠ¨π‘¦π‘₯+6𝑦π‘₯+9𝑦=0.

  • A 𝑦 = 1 6 π‘₯ 𝑒 + 4 𝑒     
  • B 𝑦 = 1 6 π‘₯ 4 𝑒 + 𝑒     
  • C 𝑦 = 1 6 π‘₯ 4 𝑒 + 4 𝑒      
  • D 𝑦 = 1 6 π‘₯ 𝑒 + 𝑒    

Q10:

As funçáes 𝑦=π‘’οŠ§ο—, 𝑦=π‘’οŠ¨οŠ±ο— e 𝑦=π‘’οŠ©οŠ±οŠ¨ο— sΓ£o trΓͺs soluçáes linearmente independentes da equação diferencial 𝑦+2π‘¦β€²β€²βˆ’π‘¦β€²βˆ’2𝑦=0(). Determine uma solução particular que satisfaz as condiçáes iniciais 𝑦(0)=1, 𝑦′(0)=2 e 𝑦′′(0)=0.

  • A 𝑦 = 𝑒 + 𝑒 βˆ’ 𝑒      
  • B 𝑦 = 4 3 𝑒 βˆ’ 1 3 𝑒    
  • C 𝑦 = 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒   
  • D 𝑦 = 4 3 𝑒 βˆ’ 1 3 𝑒   
  • E 𝑦 = 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒    

Q11:

As funçáes 𝑦=π‘’οŠ§ο—, 𝑦=π‘’οŠ¨οŠ¨ο— e 𝑦=π‘’οŠ©οŠ©ο— sΓ£o trΓͺs soluçáes linearmente independentes da equação diferencial π‘¦βˆ’6𝑦′′+11π‘¦β€²βˆ’6𝑦=0(). Determine uma solução particular que satisfaΓ§a as condiçáes iniciais 𝑦(0)=0, 𝑦′(0)=0 e 𝑦′′(0)=3.

  • A 𝑦 = βˆ’ 3 𝑒 + 3 𝑒   
  • B 𝑦 = βˆ’ 𝑒 + 𝑒   
  • C 𝑦 = 1 2 𝑒 βˆ’ 𝑒 + 1 2 𝑒     
  • D 𝑦 = 3 2 𝑒 βˆ’ 3 𝑒 + 3 2 𝑒     
  • E 𝑦 = βˆ’ 3 4 𝑒 + 3 2 𝑒 βˆ’ 3 4 𝑒     

Q12:

As funçáes 𝑦=π‘’οŠ§ο—, 𝑦=π‘₯π‘’οŠ¨ο— e 𝑦=π‘₯π‘’οŠ©οŠ¨ο— sΓ£o trΓͺs soluçáes linearmente independentes da equação diferencial π‘¦βˆ’3𝑦′′+3π‘¦β€²βˆ’π‘¦=0(). Determine uma solução particular que satisfaΓ§a as condiçáes iniciais 𝑦(0)=2, 𝑦′(0)=0 e 𝑦′′(0)=0.

  • A 𝑦 = 2 𝑒 βˆ’ 2 π‘₯ 𝑒 βˆ’ π‘₯ 𝑒    
  • B 𝑦 = 2 𝑒 + 2 π‘₯ 𝑒 βˆ’ π‘₯ 𝑒    
  • C 𝑦 = 2 𝑒 + 2 π‘₯ 𝑒 + π‘₯ 𝑒    
  • D 𝑦 = βˆ’ 2 𝑒 + 2 π‘₯ 𝑒 βˆ’ π‘₯ 𝑒    
  • E 𝑦 = 2 𝑒 βˆ’ 2 π‘₯ 𝑒 + π‘₯ 𝑒    

Q13:

As funçáes 𝑦=π‘’οŠ§ο—, 𝑦=π‘’οŠ¨οŠ¨ο— e 𝑦=π‘₯π‘’οŠ©οŠ¨ο— sΓ£o trΓͺs soluçáes linearmente independentes da equação diferencial π‘¦βˆ’5𝑦+8π‘¦βˆ’4𝑦=0(). Determine uma solução particular que satisfaz as condiçáes iniciais 𝑦(0)=1, 𝑦(0)=4 e 𝑦(0)=0.

  • A 𝑦 = 1 2 𝑒 + 1 3 𝑒 βˆ’ 1 0 π‘₯ 𝑒     
  • B 𝑦 = 1 2 𝑒 βˆ’ 1 3 𝑒 + 1 0 π‘₯ 𝑒     
  • C 𝑦 = βˆ’ 1 2 𝑒 + 1 3 𝑒 βˆ’ 1 0 π‘₯ 𝑒     
  • D 𝑦 = βˆ’ 1 2 𝑒 βˆ’ 1 3 𝑒 βˆ’ 1 0 π‘₯ 𝑒     
  • E 𝑦 = βˆ’ 1 2 𝑒 + 1 3 𝑒 + 1 0 π‘₯ 𝑒     

Q14:

As funçáes 𝑦=1, 𝑦=3π‘₯cos e 𝑦=3π‘₯sen sΓ£o trΓͺs soluçáes linearmente independentes da equação diferencial 𝑦+9𝑦′=0(). Determine uma solução particular que satisfaΓ§a as condiçáes iniciais 𝑦(0)=3, 𝑦′(0)=βˆ’1 e 𝑦′′(0)=2.

  • A 𝑦 = 2 9 9 + 1 3 3 π‘₯ βˆ’ 2 9 3 π‘₯ c o s s e n
  • B 𝑦 = 2 9 9 + 2 9 3 π‘₯ βˆ’ 1 3 3 π‘₯ c o s s e n
  • C 𝑦 = 2 9 9 + 2 9 3 π‘₯ + 1 3 3 π‘₯ c o s s e n
  • D 𝑦 = 2 9 9 βˆ’ 2 9 3 π‘₯ βˆ’ 1 3 3 π‘₯ c o s s e n
  • E 𝑦 = 2 9 9 βˆ’ 1 3 3 π‘₯ βˆ’ 2 9 3 π‘₯ c o s s e n

Q15:

As funçáes 𝑦=π‘’οŠ§ο—, 𝑦=𝑒π‘₯οŠ¨ο—cos e 𝑦=𝑒π‘₯οŠ©ο—sen sΓ£o trΓͺs soluçáes linearmente independentes da equação diferencial π‘¦βˆ’3𝑦+4π‘¦βˆ’2𝑦=0(). Determine uma solução particular que satisfaΓ§a as condiçáes iniciais 𝑦(0)=1, 𝑦(0)=0 e 𝑦(0)=0.

  • A 𝑦 = 𝑒 π‘₯ + 𝑒 π‘₯   c o s s e n
  • B 𝑦 = βˆ’ 2 𝑒 βˆ’ 𝑒 π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯    c o s s e n
  • C 𝑦 = 2 𝑒 + 𝑒 π‘₯ + 𝑒 π‘₯    c o s s e n
  • D 𝑦 = 2 𝑒 + 𝑒 π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯    c o s s e n
  • E 𝑦 = 2 𝑒 βˆ’ 𝑒 π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯    c o s s e n

A Nagwa usa cookies para garantir que vocΓͺ tenha a melhor experiΓͺncia em nosso site. Saiba mais sobre nossa PolΓ­tica de privacidade.