Atividade: Relação entre uma Reta e um Plano

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a relação entre uma reta e um plano.

Q1:

A equação de uma reta Γ© 𝐿 ∢ π‘₯ βˆ’ 1 2 = 𝑦 + 9 βˆ’ 7 = 𝑧 + 5 βˆ’ 5 e a equação de um plano Γ© 𝑃 ∢ 8 π‘₯ βˆ’ 2 8 𝑦 βˆ’ 2 0 𝑧 + 1 9 = 0 . Qual das seguintes opçáes descreve a relação entre 𝐿 e 𝑃 ?

  • A 𝐿 βŠ‚ 𝑃
  • B 𝐿 β«½ 𝑃
  • CEles se encontram em um ponto, mas nΓ£o sΓ£o perpendiculares.
  • D 𝐿 βŸ‚ 𝑃 e eles nΓ£o se cruzam.

Q2:

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção da linha reta βƒ— π‘Ÿ = ( 8 , 2 , βˆ’ 5 ) + 𝑑 ( βˆ’ 7 , βˆ’ 9 , 1 3 ) com o plano ( 9 , 4 , βˆ’ 5 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = βˆ’ 5 9 .

  • A ( βˆ’ 7 , βˆ’ 9 , 1 3 )
  • B ( βˆ’ 1 , 7 , βˆ’ 8 )
  • C ( βˆ’ 6 , βˆ’ 8 , 1 4 )
  • D ( 1 , βˆ’ 7 , 8 )
  • E ( 2 , βˆ’ 6 , 9 )

Q3:

Qual das seguintes opçáes faz a reta π‘₯ βˆ’ π‘₯ 𝑙 = 𝑦 βˆ’ 𝑦 π‘š = 𝑧 βˆ’ 𝑧 𝑛    encontrar-se no plano π‘Ž π‘₯ + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 ?

  • A π‘Ž 𝑙 + 𝑏 π‘š + 𝑐 𝑛 = 0
  • B π‘Ž π‘₯ + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 = 0   
  • C ( 𝑙 , π‘š , 𝑛 ) Γ— ( π‘Ž , 𝑏 , 𝑐 ) = 0
  • D π‘Ž 𝑙 + 𝑏 π‘š + 𝑐 𝑛 = 0 e π‘Ž π‘₯ + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 = 0   
  • E ( 𝑙 , π‘š , 𝑛 ) β‹… ( π‘Ž , 𝑏 , 𝑐 ) β‰  0

Q4:

Na figura, 𝐴 𝐡 pertence ao plano 𝑋 e 𝐴 𝐢 Γ© perpendicular a 𝑋 . Sabendo que 𝐴 𝐡 = 6 e 𝐴 𝐢 = 8 , determine o comprimento de 𝐡 𝐢 .

Q5:

𝐴 𝐡 𝐢 Γ© um triΓ’ngulo com π‘š ( ο‚— 𝐡 ) = 6 0 ∘ e 𝐡 𝐢 = 2 3 . 𝐢 𝐷 Γ© desenhado perpendicularmente ao plano de 𝐴 𝐡 𝐢 , e a perpendicular a 𝐴 𝐡 a partir de 𝐷 Γ© desenhada para encontrΓ‘-lo em 𝐸 . Se 𝐷 𝐸 = 2 3 , determine o comprimento de 𝐢 𝐷 e o Γ’ngulo entre 𝐡 𝐷 e o plano de 𝐢 𝐷 𝐸 .

  • A19,92, 4 0 5 3 β€² 3 6 , 2 2 β€² β€² ∘
  • B30,43, 3 0 ∘
  • C19,92, 6 3 2 6 β€² 5 , 8 2 β€² β€² ∘
  • D11,5, 2 6 3 3 β€² 5 4 , 1 8 β€² β€² ∘
  • E11,5, 6 3 2 6 β€² 5 , 8 2 β€² β€² ∘

Q6:

A reta βƒ–     βƒ— 𝐴 𝐡 Γ© paralela ao plano 𝑋 , e a partir de um ponto 𝑀 nem na reta nem no plano sΓ£o desenhados raios  𝑀 𝐴 ,  𝑀 𝐡 encontrando 𝑋 em 𝐷 e 𝐻 . Se 𝑀 𝐴 𝐴 𝐷 = 2 9 : : , qual Γ© a razΓ£o entre 𝐴 𝐡 e 𝐷 𝐻 ?

  • A 9 ∢ 2
  • B 2 ∢ 9
  • C 1 1 ∢ 2
  • D 2 ∢ 1 1

Q7:

Em qual dos seguintes casos a reta 𝐴 𝐡 Γ© paralela ao plano 𝑋 ?

  • A 𝐴 𝐡 ∩ 𝑋 = 𝐴 𝐡
  • B 𝐴 𝐡 ∩ 𝑋 = { 𝐡 }
  • C 𝐴 𝐡 ∩ 𝑋 = { 𝐴 }
  • D 𝐴 𝐡 ∩ 𝑋 = βˆ…
  • E 𝐴 𝐡 βŠ‚ 𝑋

Q8:

Encontre o ponto de intersecção da reta π‘₯ βˆ’ 6 4 = 𝑦 + 3 = 𝑧 com o plano π‘₯ + 3 𝑦 + 2 𝑧 βˆ’ 6 = 0 .

  • A ( βˆ’ 2 , 4 , 1 )
  • B ( 2 , βˆ’ 4 , βˆ’ 1 )
  • C ( 2 4 , βˆ’ 3 , 0 )
  • D ( 1 0 , βˆ’ 2 , 1 )
  • E ( 1 8 , 0 , 3 )

Q9:

Encontre, atΓ© o segundo mais prΓ³ximo, a medida do menor Γ’ngulo entre a reta π‘₯ βˆ’ 7 7 = 𝑦 βˆ’ 7 βˆ’ 5 = 𝑧 βˆ’ 4 1 e o plano 6 π‘₯ βˆ’ 8 𝑦 βˆ’ 5 𝑧 βˆ’ 1 7 = 0 .

  • A 1 2 7 1 9 β€² 1 5 β€² β€² ∘
  • B 3 7 1 9 β€² 1 5 β€² β€² ∘
  • C 1 6 3 2 β€² 5 3 β€² β€² ∘
  • D 5 2 4 0 β€² 4 5 β€² β€² ∘

Q10:

Qual dos seguintes cenΓ‘rios faria βƒ–     βƒ— 𝐴 𝐡 β«½ plano 𝑋 ?

  • AA distΓ’ncia de 𝐴 a 𝑋 nΓ£o Γ© a mesma que a distΓ’ncia de 𝐡 a 𝑋 .
  • B 𝐴 e 𝐡 encontrando-se em dois lados diferentes de 𝑋 .
  • C 𝐴 𝐡 ∩ 𝑋 = βˆ… .
  • D βƒ–     βƒ— 𝐴 𝐡 ∩ 𝑋 = βˆ… .

Q11:

A figura dada mostra uma pirΓ’mide colocada no plano 𝑋 . Encontre a interseção do plano atravΓ©s dos pontos 𝐻 𝐺 𝐷 e o plano 𝑋 ?

  • A βƒ–      βƒ— 𝐷 𝐻
  • B βƒ–      βƒ— 𝐺 𝐷
  • C βƒ–     βƒ— 𝐽 𝐻
  • D βƒ–      βƒ— 𝐻 𝐺
  • E βƒ–     βƒ— 𝐺 𝐹

Q12:

Determina se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: em todos os planos, quaisquer duas retas concorrentes são perpendiculares.

  • A falsa
  • B verdadeira

Q13:

Escreva a forma geral do plano que contΓ©m as retas π‘₯ = 7 + 3 𝑠 , 𝑦 = βˆ’ 4 βˆ’ 3 𝑠 , 𝑧 = βˆ’ 7 βˆ’ 5 𝑠 e π‘₯ = 1 + 6 𝑑 , 𝑦 = 2 + 𝑑 , 𝑧 = 3 βˆ’ 2 𝑑 .

  • A 1 1 π‘₯ βˆ’ 2 4 𝑦 + 2 1 𝑧 + 2 6 = 0
  • B 1 8 π‘₯ βˆ’ 3 𝑦 + 1 0 𝑧 βˆ’ 6 8 = 0
  • C 1 8 π‘₯ βˆ’ 3 𝑦 + 1 0 𝑧 + 6 8 = 0
  • D 1 1 π‘₯ βˆ’ 2 4 𝑦 + 2 1 𝑧 βˆ’ 2 6 = 0
  • E 9 π‘₯ βˆ’ 2 𝑦 βˆ’ 3 𝑧 βˆ’ 9 2 = 0

Q14:

Seja 𝑆 a superfΓ­cie que vocΓͺ comeΓ§a removendo o ponto ( 0 , 0 , 2 ) da esfera com o centro ( 0 , 0 , 1 ) e raio 1, e seja ( π‘Ž , 𝑏 , 𝑐 ) um ponto arbitrΓ‘rio em 𝑆 . A reta que passa por ( 0 , 0 , 2 ) e ( π‘Ž , 𝑏 , 𝑐 ) intercepta o plano π‘₯ 𝑦 em ( π‘₯ , 𝑦 , 0 ) , como dado na figura. Encontre as coordenadas deste ponto em termos de π‘Ž , 𝑏 , e 𝑐 .

  • A ο€½ 2 π‘Ž 1 βˆ’ 𝑐 , 2 𝑏 1 βˆ’ 𝑐 , 0 
  • B ο€½ π‘Ž 1 βˆ’ 𝑐 , 𝑏 1 βˆ’ 𝑐 , 0 
  • C ο€½ π‘Ž 2 βˆ’ 𝑐 , 𝑏 2 βˆ’ 𝑐 , 0 
  • D ο€½ 2 π‘Ž 2 βˆ’ 𝑐 , 2 𝑏 2 βˆ’ 𝑐 , 0 
  • E ο€½ 2 π‘Ž 𝑐 , 2 𝑏 𝑐 , 0 

Q15:

Determine o ponto de interseção da reta βˆ’ 3 π‘₯ = 4 𝑦 βˆ’ 2 = 𝑧 + 1 e do plano βˆ’ 3 π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 = 1 3 .

  • A ( 5 , 2 , βˆ’ 2 )
  • B ( 2 , βˆ’ 2 , 5 )
  • C ( βˆ’ 2 , 5 , 2 )
  • D ( βˆ’ 2 , 2 , 5 )

Q16:

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção da linha reta βƒ— π‘Ÿ = ( βˆ’ 3 , βˆ’ 4 , 7 ) + 𝑑 ( βˆ’ 3 , 1 , βˆ’ 9 ) com o plano ( βˆ’ 3 , βˆ’ 5 , 7 ) β‹… βƒ— π‘Ÿ = 1 9 .

  • A ( βˆ’ 3 , 1 , βˆ’ 9 )
  • B ( 6 , 3 , 2 )
  • C ( βˆ’ 2 , 2 , βˆ’ 8 )
  • D ( βˆ’ 6 , βˆ’ 3 , βˆ’ 2 )
  • E ( βˆ’ 5 , βˆ’ 2 , βˆ’ 1 )

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