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Lição de casa da aula: Séries de Taylor Mathematics • Ensino Superior

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a série de Taylor de uma função e encontrar o raio de convergência da série.

Q1:

A tabela a seguir mostra o valor da função 𝑓 e algumas de suas derivadas 𝑥=2.

𝑓(2)𝑓(2)𝑓(2)()𝑓(2)()𝑓(2)()
31586

Escreva os 5 primeiros termos da série de Taylor de 𝑓.

  • A3(𝑥+2)+52(𝑥+2)+43(𝑥+2)14(𝑥+2)
  • B3(𝑥2)+52(𝑥2)+43(𝑥2)14(𝑥2)
  • C3(𝑥+2)+5(𝑥+2)+8(𝑥+2)6(𝑥+2)
  • D3(𝑥+2)+52(𝑥+2)+83(𝑥+2)32(𝑥+2)
  • E3(𝑥2)+5(𝑥2)+8(𝑥2)6(𝑥+2)

Q2:

Considere a função 𝑓(𝑥)=(2+𝑥).

Encontre a representação da série de Taylor da função 𝑓(𝑥)=(2+𝑥) em 𝑥=1.

  • A1+(𝑥+1)+(𝑥+1)2+(𝑥+1)6+(𝑥+1)24+
  • B1+(𝑥+1)(𝑥+1)2+(𝑥+1)6(𝑥+1)24+
  • C1+12(2)(𝑥+1)+(12)(11)(2)(𝑥+1)2+(12)(11)(10)(2)(𝑥+1)6+(12)(11)(10)(9)(2)(𝑥+1)24+
  • D1+12(𝑥+1)+(12)(11)(𝑥+1)2+(12)(11)(10)(𝑥+1)6+(12)(11)(10)(9)(𝑥+1)24+
  • E1+12(𝑥+1)(12)(11)(𝑥+1)2+(12)(11)(10)(𝑥+1)6(12)(11)(10)(9)(𝑥+1)24+

Os termos da representação da série de Taylor para a função 𝑓 são finitos ou infinitos?

  • AInfinitos
  • BFinitos

Q3:

Consider a função 𝑓(𝑥)=(𝑥)cos.

Encontre a expansão da série de Taylor de 𝑓(𝑥)=(𝑥)cos em 𝑥=𝜋.

  • A1+(𝑥𝜋)2(𝑥𝜋)24+(𝑥𝜋)720
  • B(𝑥𝜋)(𝑥𝜋)6(𝑥𝜋)120
  • C1(𝑥𝜋)2(𝑥𝜋)24(𝑥𝜋)720
  • D1+(𝑥𝜋)(𝑥𝜋)2+(𝑥𝜋)6(𝑥𝜋)24+
  • E(𝑥𝜋)+(𝑥𝜋)6(𝑥𝜋)120+

Escreva a expansão da série de Taylor de 𝑓(𝑥) na notação sigma.

  • A(1)(𝑥𝜋)(2𝑚+1)!
  • B(1)(𝑥𝜋)𝑚!
  • C(1)(𝑥𝜋)(2𝑚)!
  • D(𝑥𝜋)(2𝑚)!
  • E(𝑥𝜋)(2𝑚+1)!

Q4:

Para uma função 𝑓: 𝑓(4)=6, 𝑓(4)=6 e 𝑓(4)=1𝑛𝑓(4)()() para 𝑛2. Encontre a expansão da série de Taylor de 𝑓 em 𝑥=4.

  • A(1)6(𝑛)(𝑛!)(𝑥+4)
  • B(1)6(𝑛!)(𝑥+4)
  • C(1)6(𝑛!)(𝑥+4)
  • D(1)6(𝑛!)(𝑥+4)
  • E(1)6(𝑛!)(𝑥+4)

Q5:

Para a função 𝑓: 𝑓(3)=2, 𝑓(3)=7 e 𝑓(3)=12𝑛𝑓(3)()() para 𝑛2.

Encontre os cinco primeiros termos da representação em série de Taylor de 𝑓 em 𝑥=3.

  • A2+7(𝑥3)7(𝑥3)+212(𝑥3)21(𝑥3)
  • B2+7(𝑥3)72(𝑥3)+74(𝑥3)78(𝑥3)
  • C2+7(𝑥3)74(𝑥3)+724(𝑥3)7192(𝑥3)
  • D2+7(𝑥3)12(𝑥3)14(𝑥3)112(𝑥3)
  • E2+7(𝑥3)72(𝑥3)+78(𝑥3)796(𝑥3)

Q6:

A representação em série de Taylor da função 𝑓 é dada por 𝑓(𝑥)=24(𝑥7)+3(𝑥7)(𝑥7)6+.

Encontre o valor da quarta derivada de 𝑓 em 𝑥=7.

  • A18
  • B3
  • C72
  • D0
  • E6

Encontre o valor da terceira derivada de 𝑓 em 𝑥=7.

Q7:

Qual é a condição necessária e suficiente para a função 𝑓 ter uma representação da série de Taylor sobre 𝑥=𝑎?

  • A𝑓(𝑎)() não é igual a 𝑓(𝑎) para qualquer número inteiro positivo 𝑛. (𝑓() é a 𝑛-ésima derivada de 𝑓.)
  • B𝑓(𝑎) existe.
  • C𝑓(𝑎) não é igual a 0.
  • D𝑓(𝑎)() não é igual a 0 para qualquer número inteiro positivo 𝑛. (𝑓() é a 𝑛-ésima derivada de 𝑓.)
  • E𝑓(𝑎)() existe para qualquer número inteiro positivo 𝑛. (𝑓() é a 𝑛-ésima derivada de 𝑓.)

Q8:

Quais são os quatro primeiros termos da série Taylor da função 𝑓(𝑥)=𝑥 sobre 𝑥=4?

  • A𝑓(𝑥)=2+12(𝑥4)18(𝑥4)+116(𝑥4)
  • B𝑓(𝑥)=2+14(𝑥4)164(𝑥4)+1512(𝑥4)
  • C𝑓(𝑥)=2+12(𝑥4)196(𝑥4)+1192(𝑥4)
  • D𝑓(𝑥)=2+12(𝑥4)116(𝑥4)+1192(𝑥4)
  • E𝑓(𝑥)=2+14(𝑥4)132(𝑥4)+3256(𝑥4)

Q9:

Considere a função 𝑓(𝑥)=(𝑥)ln.

Encontre a representação da série Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=1.

  • A(1)(𝑛1)(𝑥1)𝑛!
  • B(1)(𝑛1)(𝑥1)𝑛!
  • C(1)(𝑥1)𝑛
  • D(1)𝑛(𝑥1)𝑛!
  • E(1)(𝑥1)𝑛

Encontre o intervalo de convergência da representação de Taylor da série 𝑓 sobre 𝑥=1.

  • A]1,1]
  • B[1,1]
  • C]0,2]
  • D[0,2]
  • E],[

Qual é o raio de convergência da representação da série de Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=1?

  • A2
  • B0
  • C12
  • D1
  • E

Q10:

Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑒.

Encontre a representação da série Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=3.

  • A2𝑒(𝑥3)𝑛!
  • B𝑒(𝑥3)𝑛!
  • C𝑒(2𝑥3)𝑛!
  • D(2𝑥3)𝑛!
  • E2(𝑥)𝑛!

Encontre o intervalo de convergência da representação de Taylor da série 𝑓 sobre 𝑥=3.

  • A52,72
  • B52,72
  • C52,72
  • D],[
  • E52,72

Qual é o raio de convergência da representação da série Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=3?

  • A0
  • B2
  • C12
  • D
  • E1

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