Lição de casa da aula: Séries de Taylor Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a série de Taylor de uma função e encontrar o raio de convergência da série.

Q1:

A tabela a seguir mostra o valor da função 𝑓 e algumas de suas derivadas π‘₯=βˆ’2.

𝑓(βˆ’2)𝑓(βˆ’2)οŽ˜π‘“(βˆ’2)()𝑓(βˆ’2)()𝑓(βˆ’2)(οŠͺ)
3βˆ’158βˆ’6

Escreva os 5 primeiros termos da sΓ©rie de Taylor de 𝑓.

  • A3βˆ’(π‘₯+2)+52(π‘₯+2)+43(π‘₯+2)βˆ’14(π‘₯+2)οŠͺ
  • B3βˆ’(π‘₯βˆ’2)+52(π‘₯βˆ’2)+43(π‘₯βˆ’2)βˆ’14(π‘₯βˆ’2)οŠͺ
  • C3βˆ’(π‘₯+2)+5(π‘₯+2)+8(π‘₯+2)βˆ’6(π‘₯+2)οŠͺ
  • D3βˆ’(π‘₯+2)+52(π‘₯+2)+83(π‘₯+2)βˆ’32(π‘₯+2)οŠͺ
  • E3βˆ’(π‘₯βˆ’2)+5(π‘₯βˆ’2)+8(π‘₯βˆ’2)βˆ’6(π‘₯+2)οŠͺ

Q2:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=(2+π‘₯).

Encontre a representação da sΓ©rie de Taylor da função 𝑓(π‘₯)=(2+π‘₯) em π‘₯=βˆ’1.

  • A1+(π‘₯+1)+(π‘₯+1)2+(π‘₯+1)6+(π‘₯+1)24+β‹―οŠ¨οŠ©οŠͺ
  • Bβˆ’1+(π‘₯+1)βˆ’(π‘₯+1)2+(π‘₯+1)6βˆ’(π‘₯+1)24+β‹―οŠ¨οŠ©οŠͺ
  • C1+12(2)(π‘₯+1)+(12)(11)(2)(π‘₯+1)2+(12)(11)(10)(2)(π‘₯+1)6+(12)(11)(10)(9)(2)(π‘₯+1)24+β‹―οŠ¨οŠ¨οŠ©οŠ©οŠͺοŠͺ
  • D1+12(π‘₯+1)+(12)(11)(π‘₯+1)2+(12)(11)(10)(π‘₯+1)6+(12)(11)(10)(9)(π‘₯+1)24+β‹―οŠ¨οŠ©οŠͺ
  • Eβˆ’1+12(π‘₯+1)βˆ’(12)(11)(π‘₯+1)2+(12)(11)(10)(π‘₯+1)6βˆ’(12)(11)(10)(9)(π‘₯+1)24+β‹―οŠ¨οŠ©οŠͺ

Os termos da representação da sΓ©rie de Taylor para a função 𝑓 sΓ£o finitos ou infinitos?

  • AInfinitos
  • BFinitos

Q3:

Consider a função 𝑓(π‘₯)=(π‘₯)cos.

Encontre a expansΓ£o da sΓ©rie de Taylor de 𝑓(π‘₯)=(π‘₯)cos em π‘₯=πœ‹.

  • Aβˆ’1+(π‘₯βˆ’πœ‹)2βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)24+(π‘₯βˆ’πœ‹)720βˆ’β‹―οŠ¨οŠͺ
  • Bβˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)6βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)120βˆ’β‹―οŠ©οŠ«
  • Cβˆ’1βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)2βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)24βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)720βˆ’β‹―οŠ¨οŠͺ
  • Dβˆ’1+(π‘₯βˆ’πœ‹)βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)2+(π‘₯βˆ’πœ‹)6βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)24+β‹―οŠ¨οŠ©οŠͺ
  • Eβˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)+(π‘₯βˆ’πœ‹)6βˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)120+β‹―οŠ©οŠ«

Escreva a expansΓ£o da sΓ©rie de Taylor de 𝑓(π‘₯) na notação sigma.

  • Aβˆžο‰οŠ²οŠ¦ο‰οŠ°οŠ§οŠ¨ο‰οŠ°οŠ§ο„š(βˆ’1)(π‘₯βˆ’πœ‹)(2π‘š+1)!
  • Bβˆžο‰οŠ²οŠ¦ο‰οŠ°οŠ§ο‰ο„š(βˆ’1)(π‘₯βˆ’πœ‹)π‘š!
  • Cβˆžο‰οŠ²οŠ¦ο‰οŠ°οŠ§οŠ¨ο‰ο„š(βˆ’1)(π‘₯βˆ’πœ‹)(2π‘š)!
  • Dβˆžο‰οŠ²οŠ¦οŠ¨ο‰ο„šβˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)(2π‘š)!
  • Eβˆžο‰οŠ²οŠ¦οŠ¨ο‰οŠ°οŠ§ο„šβˆ’(π‘₯βˆ’πœ‹)(2π‘š+1)!

Q4:

Para uma função 𝑓: 𝑓(βˆ’4)=6, 𝑓(βˆ’4)=βˆ’6 e 𝑓(βˆ’4)=βˆ’1𝑛𝑓(βˆ’4)()() para 𝑛β‰₯2. Encontre a expansΓ£o da sΓ©rie de Taylor de 𝑓 em π‘₯=βˆ’4.

  • AβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š(βˆ’1)6(𝑛)(𝑛!)(π‘₯+4)
  • BβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ°οŠ§οŠο„š(βˆ’1)6(𝑛!)(π‘₯+4)
  • CβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š(βˆ’1)6(𝑛!)(π‘₯+4)
  • DβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ°οŠ§οŠ¨οŠο„š(βˆ’1)6(𝑛!)(π‘₯+4)
  • EβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¨οŠο„š(βˆ’1)6(𝑛!)(π‘₯+4)

Q5:

Para a função 𝑓: 𝑓(3)=2, 𝑓(3)=7 e 𝑓(3)=βˆ’12𝑛𝑓(3)()() para 𝑛β‰₯2.

Encontre os cinco primeiros termos da representação em sΓ©rie de Taylor de 𝑓 em π‘₯=3.

  • A2+7(π‘₯βˆ’3)βˆ’7(π‘₯βˆ’3)+212(π‘₯βˆ’3)βˆ’21(π‘₯βˆ’3)οŠͺ
  • B2+7(π‘₯βˆ’3)βˆ’72(π‘₯βˆ’3)+74(π‘₯βˆ’3)βˆ’78(π‘₯βˆ’3)οŠͺ
  • C2+7(π‘₯βˆ’3)βˆ’74(π‘₯βˆ’3)+724(π‘₯βˆ’3)βˆ’7192(π‘₯βˆ’3)οŠͺ
  • D2+7(π‘₯βˆ’3)βˆ’12(π‘₯βˆ’3)βˆ’14(π‘₯βˆ’3)βˆ’112(π‘₯βˆ’3)οŠͺ
  • E2+7(π‘₯βˆ’3)βˆ’72(π‘₯βˆ’3)+78(π‘₯βˆ’3)βˆ’796(π‘₯βˆ’3)οŠͺ

Q6:

A representação em sΓ©rie de Taylor da função 𝑓 Γ© dada por 𝑓(π‘₯)=2βˆ’4(π‘₯βˆ’7)+3(π‘₯βˆ’7)βˆ’(π‘₯βˆ’7)6+β‹―οŠ¨οŠͺ.

Encontre o valor da quarta derivada de 𝑓 em π‘₯=7.

  • A18
  • B3
  • C72
  • D0
  • E6

Encontre o valor da terceira derivada de 𝑓 em π‘₯=7.

Q7:

Qual Γ© a condição necessΓ‘ria e suficiente para a função 𝑓 ter uma representação da sΓ©rie de Taylor sobre π‘₯=π‘Ž?

  • A𝑓(π‘Ž)() nΓ£o Γ© igual a 𝑓(π‘Ž) para qualquer nΓΊmero inteiro positivo 𝑛. (𝑓() Γ© a 𝑛-Γ©sima derivada de 𝑓.)
  • B𝑓(π‘Ž) existe.
  • C𝑓(π‘Ž) nΓ£o Γ© igual a 0.
  • D𝑓(π‘Ž)() nΓ£o Γ© igual a 0 para qualquer nΓΊmero inteiro positivo 𝑛. (𝑓() Γ© a 𝑛-Γ©sima derivada de 𝑓.)
  • E𝑓(π‘Ž)() existe para qualquer nΓΊmero inteiro positivo 𝑛. (𝑓() Γ© a 𝑛-Γ©sima derivada de 𝑓.)

Q8:

Quais sΓ£o os quatro primeiros termos da sΓ©rie Taylor da função 𝑓(π‘₯)=√π‘₯ sobre π‘₯=4?

  • A𝑓(π‘₯)=2+12(π‘₯βˆ’4)βˆ’18(π‘₯βˆ’4)+116(π‘₯βˆ’4)βˆ’β‹―οŠ¨οŠ©
  • B𝑓(π‘₯)=2+14(π‘₯βˆ’4)βˆ’164(π‘₯βˆ’4)+1512(π‘₯βˆ’4)βˆ’β‹―οŠ¨οŠ©
  • C𝑓(π‘₯)=2+12(π‘₯βˆ’4)βˆ’196(π‘₯βˆ’4)+1192(π‘₯βˆ’4)βˆ’β‹―οŠ¨οŠ©
  • D𝑓(π‘₯)=2+12(π‘₯βˆ’4)βˆ’116(π‘₯βˆ’4)+1192(π‘₯βˆ’4)βˆ’β‹―οŠ¨οŠ©
  • E𝑓(π‘₯)=2+14(π‘₯βˆ’4)βˆ’132(π‘₯βˆ’4)+3256(π‘₯βˆ’4)βˆ’β‹―οŠ¨οŠ©

Q9:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=(π‘₯)ln.

Encontre a representação da sΓ©rie Taylor de 𝑓 sobre π‘₯=1.

  • AβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ°οŠ§οŠο„š(βˆ’1)(π‘›βˆ’1)(π‘₯βˆ’1)𝑛!
  • BβˆžοŠοŠ²οŠ§οŠοŠ°οŠ§οŠο„š(βˆ’1)(π‘›βˆ’1)(π‘₯βˆ’1)𝑛!
  • CβˆžοŠοŠ²οŠ§οŠοŠ°οŠ§οŠο„š(βˆ’1)(π‘₯βˆ’1)𝑛
  • DβˆžοŠοŠ²οŠ§οŠοŠ°οŠ§οŠο„š(βˆ’1)𝑛(π‘₯βˆ’1)𝑛!
  • EβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ°οŠ§οŠο„š(βˆ’1)(π‘₯βˆ’1)𝑛

Encontre o intervalo de convergΓͺncia da representação de Taylor da sΓ©rie 𝑓 sobre π‘₯=1.

  • A]βˆ’1,1]
  • B[βˆ’1,1]
  • C]0,2]
  • D[0,2]
  • E]βˆ’βˆž,∞[

Qual Γ© o raio de convergΓͺncia da representação da sΓ©rie de Taylor de 𝑓 sobre π‘₯=1?

  • A2
  • B0
  • C12
  • D1
  • E∞

Q10:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=π‘’οŠ¨ο—.

Encontre a representação da sΓ©rie Taylor de 𝑓 sobre π‘₯=3.

  • AβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¬οŠο„š2𝑒(π‘₯βˆ’3)𝑛!
  • BβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ¬οŠο„šπ‘’(π‘₯βˆ’3)𝑛!
  • CβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ©οŠο„šπ‘’(2π‘₯βˆ’3)𝑛!
  • DβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠο„š(2π‘₯βˆ’3)𝑛!
  • EβˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š2(π‘₯)𝑛!

Encontre o intervalo de convergΓͺncia da representação de Taylor da sΓ©rie 𝑓 sobre π‘₯=3.

  • A52,72
  • B52,72
  • C52,72
  • D]βˆ’βˆž,∞[
  • E52,72

Qual Γ© o raio de convergΓͺncia da representação da sΓ©rie Taylor de 𝑓 sobre π‘₯=3?

  • A0
  • B2
  • C12
  • D∞
  • E1

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