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Lição de casa da aula: Séries de Taylor Mathematics • Ensino Superior

Começar a praticar

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a série de Taylor de uma função e encontrar o raio de convergência da série.

Q1:

A tabela a seguir mostra o valor da função 𝑓 e algumas de suas derivadas 𝑥=−2.

𝑓(−2)𝑓(−2)𝑓(−2)()𝑓(−2)()𝑓(−2)()
3−158−6

Escreva os 5 primeiros termos da série de Taylor de 𝑓.

  • A3−(𝑥+2)+52(𝑥+2)+43(𝑥+2)−14(𝑥+2)
  • B3−(𝑥−2)+52(𝑥−2)+43(𝑥−2)−14(𝑥−2)
  • C3−(𝑥+2)+5(𝑥+2)+8(𝑥+2)−6(𝑥+2)
  • D3−(𝑥+2)+52(𝑥+2)+83(𝑥+2)−32(𝑥+2)
  • E3−(𝑥−2)+5(𝑥−2)+8(𝑥−2)−6(𝑥+2)

Q2:

Considere a função 𝑓(𝑥)=(2+𝑥).

Encontre a representação da série de Taylor da função 𝑓(𝑥)=(2+𝑥) em 𝑥=−1.

  • A1+(𝑥+1)+(𝑥+1)2+(𝑥+1)6+(𝑥+1)24+⋯
  • B−1+(𝑥+1)−(𝑥+1)2+(𝑥+1)6−(𝑥+1)24+⋯
  • C1+12(2)(𝑥+1)+(12)(11)(2)(𝑥+1)2+(12)(11)(10)(2)(𝑥+1)6+(12)(11)(10)(9)(2)(𝑥+1)24+⋯
  • D1+12(𝑥+1)+(12)(11)(𝑥+1)2+(12)(11)(10)(𝑥+1)6+(12)(11)(10)(9)(𝑥+1)24+⋯
  • E−1+12(𝑥+1)−(12)(11)(𝑥+1)2+(12)(11)(10)(𝑥+1)6−(12)(11)(10)(9)(𝑥+1)24+⋯

Os termos da representação da série de Taylor para a função 𝑓 são finitos ou infinitos?

  • AInfinitos
  • BFinitos

Q3:

Consider a função 𝑓(𝑥)=(𝑥)cos.

Encontre a expansão da série de Taylor de 𝑓(𝑥)=(𝑥)cos em 𝑥=𝜋.

  • A−1+(𝑥−𝜋)2−(𝑥−𝜋)24+(𝑥−𝜋)720−⋯
  • B−(𝑥−𝜋)−(𝑥−𝜋)6−(𝑥−𝜋)120−⋯
  • C−1−(𝑥−𝜋)2−(𝑥−𝜋)24−(𝑥−𝜋)720−⋯
  • D−1+(𝑥−𝜋)−(𝑥−𝜋)2+(𝑥−𝜋)6−(𝑥−𝜋)24+⋯
  • E−(𝑥−𝜋)+(𝑥−𝜋)6−(𝑥−𝜋)120+⋯

Escreva a expansão da série de Taylor de 𝑓(𝑥) na notação sigma.

  • A∞(−1)(𝑥−𝜋)(2𝑚+1)!
  • B∞(−1)(𝑥−𝜋)𝑚!
  • C∞(−1)(𝑥−𝜋)(2𝑚)!
  • D∞−(𝑥−𝜋)(2𝑚)!
  • E∞−(𝑥−𝜋)(2𝑚+1)!

Q4:

Para uma função 𝑓: 𝑓(−4)=6, 𝑓(−4)=−6 e 𝑓(−4)=−1𝑛𝑓(−4)()() para 𝑛≥2. Encontre a expansão da série de Taylor de 𝑓 em 𝑥=−4.

  • A∞(−1)6(𝑛)(𝑛!)(𝑥+4)
  • B∞(−1)6(𝑛!)(𝑥+4)
  • C∞(−1)6(𝑛!)(𝑥+4)
  • D∞(−1)6(𝑛!)(𝑥+4)
  • E∞(−1)6(𝑛!)(𝑥+4)

Q5:

Para a função 𝑓: 𝑓(3)=2, 𝑓(3)=7 e 𝑓(3)=−12𝑛𝑓(3)()() para 𝑛≥2.

Encontre os cinco primeiros termos da representação em série de Taylor de 𝑓 em 𝑥=3.

  • A2+7(𝑥−3)−7(𝑥−3)+212(𝑥−3)−21(𝑥−3)
  • B2+7(𝑥−3)−72(𝑥−3)+74(𝑥−3)−78(𝑥−3)
  • C2+7(𝑥−3)−74(𝑥−3)+724(𝑥−3)−7192(𝑥−3)
  • D2+7(𝑥−3)−12(𝑥−3)−14(𝑥−3)−112(𝑥−3)
  • E2+7(𝑥−3)−72(𝑥−3)+78(𝑥−3)−796(𝑥−3)

Q6:

A representação em série de Taylor da função 𝑓 é dada por 𝑓(𝑥)=2−4(𝑥−7)+3(𝑥−7)−(𝑥−7)6+⋯.

Encontre o valor da quarta derivada de 𝑓 em 𝑥=7.

  • A18
  • B3
  • C72
  • D0
  • E6

Encontre o valor da terceira derivada de 𝑓 em 𝑥=7.

Q7:

Qual é a condição necessária e suficiente para a função 𝑓 ter uma representação da série de Taylor sobre 𝑥=𝑎?

  • A𝑓(𝑎)() não é igual a 𝑓(𝑎) para qualquer número inteiro positivo 𝑛. (𝑓() é a 𝑛-ésima derivada de 𝑓.)
  • B𝑓(𝑎) existe.
  • C𝑓(𝑎) não é igual a 0.
  • D𝑓(𝑎)() não é igual a 0 para qualquer número inteiro positivo 𝑛. (𝑓() é a 𝑛-ésima derivada de 𝑓.)
  • E𝑓(𝑎)() existe para qualquer número inteiro positivo 𝑛. (𝑓() é a 𝑛-ésima derivada de 𝑓.)

Q8:

Quais são os quatro primeiros termos da série Taylor da função 𝑓(𝑥)=√𝑥 sobre 𝑥=4?

  • A𝑓(𝑥)=2+12(𝑥−4)−18(𝑥−4)+116(𝑥−4)−⋯
  • B𝑓(𝑥)=2+14(𝑥−4)−164(𝑥−4)+1512(𝑥−4)−⋯
  • C𝑓(𝑥)=2+12(𝑥−4)−196(𝑥−4)+1192(𝑥−4)−⋯
  • D𝑓(𝑥)=2+12(𝑥−4)−116(𝑥−4)+1192(𝑥−4)−⋯
  • E𝑓(𝑥)=2+14(𝑥−4)−132(𝑥−4)+3256(𝑥−4)−⋯

Q9:

Considere a função 𝑓(𝑥)=(𝑥)ln.

Encontre a representação da série Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=1.

  • A∞(−1)(𝑛−1)(𝑥−1)𝑛!
  • B∞(−1)(𝑛−1)(𝑥−1)𝑛!
  • C∞(−1)(𝑥−1)𝑛
  • D∞(−1)𝑛(𝑥−1)𝑛!
  • E∞(−1)(𝑥−1)𝑛

Encontre o intervalo de convergência da representação de Taylor da série 𝑓 sobre 𝑥=1.

  • A]−1,1]
  • B[−1,1]
  • C]0,2]
  • D[0,2]
  • E]−∞,∞[

Qual é o raio de convergência da representação da série de Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=1?

  • A2
  • B0
  • C12
  • D1
  • E∞

Q10:

Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑒.

Encontre a representação da série Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=3.

  • A∞2𝑒(𝑥−3)𝑛!
  • B∞𝑒(𝑥−3)𝑛!
  • C∞𝑒(2𝑥−3)𝑛!
  • D∞(2𝑥−3)𝑛!
  • E∞2(𝑥)𝑛!

Encontre o intervalo de convergência da representação de Taylor da série 𝑓 sobre 𝑥=3.

  • A52,72
  • B52,72
  • C52,72
  • D]−∞,∞[
  • E52,72

Qual é o raio de convergência da representação da série Taylor de 𝑓 sobre 𝑥=3?

  • A0
  • B2
  • C12
  • D∞
  • E1

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