Atividade: O Ângulo entre Dois Vetores no Plano Coordenado

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores não nulos num plano.

Q1:

Se β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– = 1 0 e β€– β€– βƒ— 𝑣 β€– β€– = 1 7 , onde a medida do Γ’ngulo entre βƒ— 𝑒 e βƒ— 𝑣 Γ© 1 2 0 ∘ , determine ο€Ή βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑣  β‹… ο€Ή βƒ— 𝑒 βˆ’ 2 βƒ— 𝑣  arredondada Γ s centΓ©simas.

Q2:

Suponha que 𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 Γ© um quadrado de lado 47. Determine  𝐴 𝐡 β‹…  𝐴 𝐢 .

Q3:

Suponha que um retΓ’ngulo 𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 com 𝐴 𝐡 = 3 2 e 𝐡 𝐢 = 1 1 . Determine  𝐴 𝐢 β‹…  𝐡 𝐷 .

Q4:

Determine o valor de πœƒ , arredondado Γ s centΓ©simas.

Q5:

Se βƒ— 𝑒 e βƒ— 𝑣 satisfazem βƒ— 𝑒 β‹… βƒ— 𝑣 = 0 , qual Γ© a posição relativa entre os vetores?

  • Aperpendiculares
  • Bparalelos

Q6:

Suponha que o quadrado 𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 tem lado 32,6. Determine  𝐴 𝐷 β‹…  𝐴 𝐢 .

Q7:

Em um retΓ’ngulo 𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 , 𝐴 𝐡 = 7 , 7 e 𝐡 𝐢 = 3 , 8 . Determine ο€Ί 5  𝐴 𝐡  β‹… ο€Ί  𝐴 𝐢  .

Q8:

Se 𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 𝐸 𝐹 Γ© um hexΓ‘gono regular cujo lado mede 7,1, determine ο€Ί  𝐢 𝐴 +  𝐴 𝐹  β‹…  𝐴 𝐷 .

Q9:

Se 𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 𝐸 𝐹 Γ© um hexΓ‘gono regular cujos lados medem 9,6, determine ο€Ί  𝐴 𝐡 βˆ’ οƒͺ 𝐸 𝐹  β‹…  𝐴 𝐷 .

Q10:

O triΓ’ngulo 𝐴 𝐡 𝐢 possui um Γ’ngulo reto em 𝐡 . Dados 𝐴 𝐡 = 2 0 , 𝐡 𝐢 = 5 , e que 𝐷 Γ© o ponto mΓ©dio de 𝐴 𝐢 . Determine  𝐷 𝐡 β‹… ο€Ό 7 5 οƒͺ 𝐡 𝐢  para o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

Q11:

O triΓ’ngulo 𝐴 𝐡 𝐢 tem um Γ’ngulo reto em 𝐡 . Dados 𝐴 𝐡 = 3 8 , 6 , 𝐡 𝐢 = 3 6 , 4 , e que 𝐷 Γ© o ponto mΓ©dio de 𝐴 𝐢 , determine  𝐡 𝐴 β‹…  𝐡 𝐷 para o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

Q12:

O triΓ’ngulo 𝐴 𝐡 𝐢 possui um Γ’ngulo reto em 𝐡 . Dados 𝐴 𝐡 = 3 1 , 2 e 𝐡 𝐢 = 2 0 , 4 , determine  𝐴 𝐡 β‹…  𝐴 𝐢 .

Q13:

Se βƒ— π‘Ž = 1 5 βƒ— 𝚀 + 5 βƒ— πš₯ e βƒ— 𝑏 = βˆ’ 8 βƒ— 𝚀 + π‘˜ βƒ— πš₯ , determine todos os valores possΓ­veis de π‘˜ que tornam a amplitude do Γ’ngulo entre dois vetores 1 3 5 ∘ .

  • A π‘˜ = 1 1 ou π‘˜ = 3
  • B π‘˜ = βˆ’ 1 6 ou π‘˜ = 1 1
  • C π‘˜ = 3 ou π‘˜ = 2 0
  • D π‘˜ = 4 ou π‘˜ = βˆ’ 1 6

Q14:

Sabendo que βƒ— π‘Ž = 9 βƒ— 𝚀 + 3 βƒ— πš₯ e βƒ— 𝑏 = 3 βƒ— 𝚀 βˆ’ 8 βƒ— πš₯ , determine o Γ’ngulo entre os dois vetores, apresentando-o em graus e minutos.

  • A 1 3 4 4 7 β€² ∘
  • B 9 2 5 2 β€² ∘
  • C 2 7 β€² ∘
  • D 8 7 5 3 β€² ∘

Q15:

Se βƒ— 𝐴 β‹… βƒ— 𝐡 = √ 3 | | βƒ— 𝐴 Γ— βƒ— 𝐡 | | , e πœƒ Γ© o Γ’ngulo entre βƒ— 𝐴 e βƒ— 𝐡 , encontre o valor de πœƒ no intervalo 0 ∘ < πœƒ < 1 8 0 ∘ .

Q16:

Se β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– = 1 6 , β€– β€– βƒ— 𝑣 β€– β€– = 1 0 e a medida do Γ’ngulo entre βƒ— 𝑒 e βƒ— 𝑣 Γ© 3 0 ∘ , calcule βƒ— 𝑒 βŠ™ βƒ— 𝑣 .

  • A80
  • B βˆ’ 8 0 √ 3
  • C 1 3 √ 3
  • D 8 0 √ 3
  • E βˆ’ 1 3 √ 3

Q17:

Se βƒ— 𝐴 β‹… βƒ— 𝐡 = | | βƒ— 𝐴 Γ— βƒ— 𝐡 | | , encontre o valor de πœƒ no intervalo 0 < πœƒ < 1 8 0 , onde πœƒ Γ© o Γ’ngulo entre βƒ— 𝐴 e βƒ— 𝐡 .

Q18:

Se πœƒ Γ© o Γ’ngulo entre βƒ— 𝐴 e βƒ— 𝐡 e βƒ— 𝐴 β‹… βƒ— 𝐡 = 1 √ 3 | | βƒ— 𝐴 Γ— βƒ— 𝐡 | | , encontre o valor de πœƒ no intervalo 0 < πœƒ < 1 8 0 .

Q19:

Dado que | | βƒ— 𝐴 | | = | | βƒ— 𝐡 | | , βƒ— 𝐴 β‹… βƒ— 𝐡 = 6 9 , e a medida do Γ’ngulo entre βƒ— 𝐴 e βƒ— 𝐡 Γ© 6 0 ∘ , determine | | βƒ— 𝐴 | | para o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

Q20:

Entre os vetores unitΓ‘rios βƒ— 𝐴 e βƒ— 𝐡 estΓ‘ um Γ’ngulo de 6 6 ∘ . Encontre βƒ— 𝐴 β‹… βƒ— 𝐡 para o dΓ©cimo mais prΓ³ximo.

Q21:

Se πœƒ Γ© o menor Γ’ngulo entre dois vetores βƒ— π‘Ž e βƒ— 𝑏 , determine c o s πœƒ .

  • A βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–
  • B βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€–
  • C βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–
  • D βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€– β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–
  • E βƒ— π‘Ž + βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€– β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–

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