Atividade: O Ângulo entre Dois Vetores no Plano Coordenado

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Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores não nulos num plano.

Q1:

Se ‖‖⃗𝑒‖‖=10 e ‖‖⃗𝑣‖‖=17, onde a medida do Γ’ngulo entre ⃗𝑒 e ⃗𝑣 Γ© 120∘, determine ⃗𝑒+βƒ—π‘£ο…β‹…ο€Ήβƒ—π‘’βˆ’2⃗𝑣 arredondada Γ s centΓ©simas.

Q2:

Suponha que 𝐴𝐡𝐢𝐷 Γ© um quadrado de lado 47. Determine 𝐴𝐡⋅𝐴𝐢.

Q3:

Suponha que um retΓ’ngulo 𝐴𝐡𝐢𝐷 com 𝐴𝐡=32 e 𝐡𝐢=11. Determine 𝐴𝐢⋅𝐡𝐷.

Q4:

Determine o valor de πœƒ, arredondado Γ s centΓ©simas.

Q5:

Se ⃗𝑒 e ⃗𝑣 satisfazem ⃗𝑒⋅⃗𝑣=0, qual Γ© a posição relativa entre os vetores?

  • Aparalelos
  • Bperpendiculares

Q6:

Suponha que o quadrado 𝐴𝐡𝐢𝐷 tem lado 32,6. Determine 𝐴𝐷⋅𝐴𝐢.

Q7:

Em um retΓ’ngulo 𝐴𝐡𝐢𝐷, 𝐴𝐡=7,7 e 𝐡𝐢=3,8. Determine ο€Ί5𝐴𝐡⋅𝐴𝐢.

Q8:

Se 𝐴𝐡𝐢𝐷𝐸𝐹 Γ© um hexΓ‘gono regular cujo lado mede 7,1, determine 𝐢𝐴+𝐴𝐹⋅𝐴𝐷.

Q9:

Se 𝐴𝐡𝐢𝐷𝐸𝐹 Γ© um hexΓ‘gono regular cujos lados medem 9,6, determine ο€Ίοƒ«π΄π΅βˆ’οƒͺ𝐸𝐹⋅𝐴𝐷.

Q10:

O triΓ’ngulo 𝐴𝐡𝐢 possui um Γ’ngulo reto em 𝐡. Dados 𝐴𝐡=20, 𝐡𝐢=5, e que 𝐷 Γ© o ponto mΓ©dio de 𝐴𝐢. Determine 𝐷𝐡⋅75οƒͺ𝐡𝐢 para o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

Q11:

O triΓ’ngulo 𝐴𝐡𝐢 tem um Γ’ngulo reto em 𝐡. Dados 𝐴𝐡=38,6, 𝐡𝐢=36,4, e que 𝐷 Γ© o ponto mΓ©dio de 𝐴𝐢, determine 𝐡𝐴⋅𝐡𝐷 para o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

Q12:

O triΓ’ngulo 𝐴𝐡𝐢 possui um Γ’ngulo reto em 𝐡. Dados 𝐴𝐡=31,2 e 𝐡𝐢=20,4, determine 𝐴𝐡⋅𝐴𝐢.

Q13:

Se βƒ—π‘Ž=15βƒ—πš€+5βƒ—πš₯ e ⃗𝑏=βˆ’8βƒ—πš€+π‘˜βƒ—πš₯, determine todos os valores possΓ­veis de π‘˜ que tornam a amplitude do Γ’ngulo entre dois vetores 135∘.

  • A π‘˜ = 3 ou π‘˜=20
  • B π‘˜ = 1 1 ou π‘˜=3
  • C π‘˜ = βˆ’ 1 6 ou π‘˜=11
  • D π‘˜ = 4 ou π‘˜=βˆ’16

Q14:

Seja ⃗𝐴=28 e ⃗𝐡=32.Encontre o Γ’ngulo entre ⃗𝐴 e ⃗𝐡 dando sua resposta para duas casas decimais.

Q15:

Sabendo que βƒ—π‘Ž=9βƒ—πš€+3βƒ—πš₯ e ⃗𝑏=3βƒ—πš€βˆ’8βƒ—πš₯, determine o Γ’ngulo entre os dois vetores, apresentando-o em graus e minutos.

  • A 1 3 4 4 7 β€² ∘
  • B 8 7 5 3 β€² ∘
  • C 9 2 5 2 β€² ∘
  • D 2 7 β€² ∘

Q16:

Se ⃗𝐴⋅⃗𝐡=√3‖‖⃗𝐴×⃗𝐡‖‖, e πœƒ Γ© o Γ’ngulo entre ⃗𝐴 e ⃗𝐡, encontre o valor de πœƒ no intervalo 0<πœƒ<180∘∘.

Q17:

Se ‖‖⃗𝑒‖‖=16, ‖‖⃗𝑣‖‖=10 e a medida do Γ’ngulo entre ⃗𝑒 e ⃗𝑣 Γ© 30∘, calcule βƒ—π‘’βŠ™βƒ—π‘£.

  • A80
  • B 8 0 √ 3
  • C 1 3 √ 3
  • D βˆ’ 8 0 √ 3
  • E βˆ’ 1 3 √ 3

Q18:

Se ⃗𝐴⋅⃗𝐡=||⃗𝐴×⃗𝐡||, encontre o valor de πœƒ no intervalo 0<πœƒ<180, onde πœƒ Γ© o Γ’ngulo entre ⃗𝐴 e ⃗𝐡.

Q19:

Se πœƒ Γ© o Γ’ngulo entre ⃗𝐴 e ⃗𝐡 e ⃗𝐴⋅⃗𝐡=1√3‖‖⃗𝐴×⃗𝐡‖‖, encontre o valor de πœƒ no intervalo 0<πœƒ<180.

Q20:

Dado que ‖‖⃗𝐴‖‖=‖‖⃗𝐡‖‖, ⃗𝐴⋅⃗𝐡=69, e a medida do Γ’ngulo entre ⃗𝐴 e ⃗𝐡 Γ© 60∘, determine ‖‖⃗𝐴‖‖ para o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

Q21:

Entre os vetores unitΓ‘rios ⃗𝐴 e ⃗𝐡 estΓ‘ um Γ’ngulo de 66∘. Encontre ⃗𝐴⋅⃗𝐡 para o dΓ©cimo mais prΓ³ximo.

Q22:

Se πœƒ Γ© o menor Γ’ngulo entre dois vetores βƒ—π‘Ž e ⃗𝑏, determine cosπœƒ.

  • A βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€–
  • B βƒ— π‘Ž + βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€– β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–
  • C βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€– β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–
  • D βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–
  • E βƒ— π‘Ž β‹… βƒ— 𝑏 β€– β€– βƒ— π‘Ž β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑏 β€– β€–

Q23:

Sendo β€–β€–βƒ—π‘Žβ€–β€–=12, ‖‖⃗𝑏‖‖=25 e β€–β€–βƒ—π‘Žβˆ’βƒ—π‘β€–β€–=23, determine a medida do Γ’ngulo entre βƒ—π‘Ž e ⃗𝑏, apresentando a resposta em graus e minutos.

  • A 6 6 2 5 β€² ∘
  • B 2 2 1 9 β€² ∘
  • C 8 6 4 9 β€² ∘
  • D 8 1 1 7 β€² ∘

Q24:

Dado que ‖‖⃗𝐴‖‖=9, ‖‖⃗𝐡‖‖=9, e β€–β€–βƒ—π΄βˆ’βƒ—π΅β€–β€–=5, determine ‖‖⃗𝐴+⃗𝐡‖‖, e dΓͺ a medida do Γ’ngulo entre ⃗𝐴 e ⃗𝐡 para o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

  • A β€– β€– βƒ— 𝐴 + βƒ— 𝐡 β€– β€– = 1 7 , 2 9 , πœƒ = 3 2 , 2 6 ∘
  • B β€– β€– βƒ— 𝐴 + βƒ— 𝐡 β€– β€– = 1 7 , 2 9 , πœƒ = 8 5 , 4 0 ∘
  • C β€– β€– βƒ— 𝐴 + βƒ— 𝐡 β€– β€– = 1 5 , 1 8 , πœƒ = 3 2 , 2 6 ∘
  • D β€– β€– βƒ— 𝐴 + βƒ— 𝐡 β€– β€– = 1 2 , 7 3 , πœƒ = 5 7 , 7 4 ∘

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