Atividade: O Ângulo entre Dois Vetores no Plano Coordenado

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Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores não nulos num plano.

Q1:

Se ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ = 1 0 e ‖ ‖ ⃗ 𝑣 ‖ ‖ = 1 7 , onde a medida do ângulo entre ⃗ 𝑢 e ⃗ 𝑣 é 1 2 0 ∘ , determine ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑣 ⋅ ⃗ 𝑢 − 2 ⃗ 𝑣 arredondada às centésimas.

Q2:

Suponha que 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 é um quadrado de lado 47. Determine 𝐴 𝐵 ⋅ 𝐴 𝐶 .

Q3:

Suponha que um retângulo 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 com 𝐴 𝐵 = 3 2 e 𝐵 𝐶 = 1 1 . Determine 𝐴 𝐶 ⋅ 𝐵 𝐷 .

Q4:

Determine o valor de 𝜃 , arredondado às centésimas.

Q5:

Se ⃗ 𝑢 e ⃗ 𝑣 satisfazem ⃗ 𝑢 ⋅ ⃗ 𝑣 = 0 , qual é a posição relativa entre os vetores?

  • Aperpendiculares
  • Bparalelos

Q6:

Suponha que o quadrado 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 tem lado 32,6. Determine 𝐴 𝐷 ⋅ 𝐴 𝐶 .

Q7:

Em um retângulo 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 , 𝐴 𝐵 = 7 , 7 e 𝐵 𝐶 = 3 , 8 . Determine 5 𝐴 𝐵 ⋅ 𝐴 𝐶 .

Q8:

Se 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 é um hexágono regular cujo lado mede 7,1, determine 𝐶 𝐴 + 𝐴 𝐹 ⋅ 𝐴 𝐷 .

Q9:

Se 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 é um hexágono regular cujos lados medem 9,6, determine 𝐴 𝐵 − 𝐸 𝐹 ⋅ 𝐴 𝐷 .

Q10:

O triângulo 𝐴 𝐵 𝐶 possui um ângulo reto em 𝐵 . Dados 𝐴 𝐵 = 2 0 , 𝐵 𝐶 = 5 , e que 𝐷 é o ponto médio de 𝐴 𝐶 . Determine 𝐷 𝐵 ⋅ 7 5 𝐵 𝐶 para o centésimo mais próximo.

Q11:

O triângulo 𝐴 𝐵 𝐶 tem um ângulo reto em 𝐵 . Dados 𝐴 𝐵 = 3 8 , 6 , 𝐵 𝐶 = 3 6 , 4 , e que 𝐷 é o ponto médio de 𝐴 𝐶 , determine 𝐵 𝐴 ⋅ 𝐵 𝐷 para o centésimo mais próximo.

Q12:

O triângulo 𝐴 𝐵 𝐶 possui um ângulo reto em 𝐵 . Dados 𝐴 𝐵 = 3 1 , 2 e 𝐵 𝐶 = 2 0 , 4 , determine 𝐴 𝐵 ⋅ 𝐴 𝐶 .

Q13:

Se ⃗ 𝑎 = 1 5 ⃗ 𝚤 + 5 ⃗ 𝚥 e ⃗ 𝑏 = − 8 ⃗ 𝚤 + 𝑘 ⃗ 𝚥 , determine todos os valores possíveis de 𝑘 que tornam a amplitude do ângulo entre dois vetores 1 3 5 ∘ .

  • A 𝑘 = 1 1 ou 𝑘 = 3
  • B 𝑘 = − 1 6 ou 𝑘 = 1 1
  • C 𝑘 = 3 ou 𝑘 = 2 0
  • D 𝑘 = 4 ou 𝑘 = − 1 6

Q14:

Sabendo que ⃗ 𝑎 = 9 ⃗ 𝚤 + 3 ⃗ 𝚥 e ⃗ 𝑏 = 3 ⃗ 𝚤 − 8 ⃗ 𝚥 , determine o ângulo entre os dois vetores, apresentando-o em graus e minutos.

  • A 1 3 4 4 7 ′ ∘
  • B 9 2 5 2 ′ ∘
  • C 2 7 ′ ∘
  • D 8 7 5 3 ′ ∘

Q15:

Se ⃗ 𝐴 ⋅ ⃗ 𝐵 = √ 3 | | ⃗ 𝐴 × ⃗ 𝐵 | | , e 𝜃 é o ângulo entre ⃗ 𝐴 e ⃗ 𝐵 , encontre o valor de 𝜃 no intervalo 0 ∘ < 𝜃 < 1 8 0 ∘ .

Q16:

Se ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ = 1 6 , ‖ ‖ ⃗ 𝑣 ‖ ‖ = 1 0 e a medida do ângulo entre ⃗ 𝑢 e ⃗ 𝑣 é 3 0 ∘ , calcule ⃗ 𝑢 ⊙ ⃗ 𝑣 .

  • A80
  • B − 8 0 √ 3
  • C 1 3 √ 3
  • D 8 0 √ 3
  • E − 1 3 √ 3

Q17:

Se ⃗ 𝐴 ⋅ ⃗ 𝐵 = | | ⃗ 𝐴 × ⃗ 𝐵 | | , encontre o valor de 𝜃 no intervalo 0 < 𝜃 < 1 8 0 , onde 𝜃 é o ângulo entre ⃗ 𝐴 e ⃗ 𝐵 .

Q18:

Se 𝜃 é o ângulo entre ⃗ 𝐴 e ⃗ 𝐵 e ⃗ 𝐴 ⋅ ⃗ 𝐵 = 1 √ 3 | | ⃗ 𝐴 × ⃗ 𝐵 | | , encontre o valor de 𝜃 no intervalo 0 < 𝜃 < 1 8 0 .

Q19:

Dado que | | ⃗ 𝐴 | | = | | ⃗ 𝐵 | | , ⃗ 𝐴 ⋅ ⃗ 𝐵 = 6 9 , e a medida do ângulo entre ⃗ 𝐴 e ⃗ 𝐵 é 6 0 ∘ , determine | | ⃗ 𝐴 | | para o centésimo mais próximo.

Q20:

Entre os vetores unitários ⃗ 𝐴 e ⃗ 𝐵 está um ângulo de 6 6 ∘ . Encontre ⃗ 𝐴 ⋅ ⃗ 𝐵 para o décimo mais próximo.

Q21:

Se 𝜃 é o menor ângulo entre dois vetores ⃗ 𝑎 e ⃗ 𝑏 , determine c o s 𝜃 .

  • A ⃗ 𝑎 ⋅ ⃗ 𝑏 ‖ ‖ ⃗ 𝑏 ‖ ‖
  • B ⃗ 𝑎 ⋅ ⃗ 𝑏 ‖ ‖ ⃗ 𝑎 ‖ ‖
  • C ⃗ 𝑎 ⋅ ⃗ 𝑏 ‖ ‖ ⃗ 𝑎 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑏 ‖ ‖
  • D ⃗ 𝑎 ⋅ ⃗ 𝑏 ‖ ‖ ⃗ 𝑎 ‖ ‖ ‖ ‖ ⃗ 𝑏 ‖ ‖
  • E ⃗ 𝑎 + ⃗ 𝑏 ‖ ‖ ⃗ 𝑎 ‖ ‖ ‖ ‖ ⃗ 𝑏 ‖ ‖

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