Atividade: Concavidade e Pontos de Inflexão

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a concavidade das funções, bem como seus pontos de inflexão.

Q1:

Recorra ao gráfico dado de 𝑓 para determinar as coordenadas dos pontos de inflexão.

  • A ( 1 , 3 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 4 )
  • B ( 1 , 3 ) , ( 5 , 4 )
  • C ( 5 , 4 )
  • D ( 4 , 5 )
  • E ( 2 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 4 )

Q2:

Determinar os pontos de inflexão da curva 𝑦=𝑥+2𝑥5.

  • A ( 1 , 1 )
  • B não tem pontos de inflexão
  • C ( 0 , 2 )
  • D ( 2 , 3 )

Q3:

Determinar os intervalos em que a função 𝑓(𝑥)=4𝑥+𝑥 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em 3020,0 e 3020, e côncava para baixo em ,3020 e 0,3020.
  • BA função é côncava para cima em ,3020 e 3020,0 e côncava para baixo em 0,3020 e 3020, .
  • CA função é côncava para cima em 3020,0 e 0,3020 e côncava para baixo em ,3020 e 3020, .
  • DA função é côncava para cima em 0,3020 e 3020, e côncava para baixo em ,3020 e 3020,0.
  • EA função é côncava para cima em ,3020 e 0,3020 e côncava para baixo em 3020,0 e 3020,.

Q4:

Determinar os intervalos em que 𝑓(𝑥)=4𝑥+(𝑥+3)4 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para baixo no intervalo ]3,[ e para cima no intervalo ],3[.
  • BA função é côncava para baixo no intervalo ]4,[ e para cima no intervalo ],1[.
  • CA função é côncava para baixo no intervalo ],1[ e para cima no intervalo ]4,[.
  • DA função é côncava para baixo no intervalo ],3[ e para cima no intervalo ]3,[.
  • EA função é côncava para baixo no intervalo ],3[ e para cima no intervalo ]3,[.

Q5:

Determine os intervalos em que a função 𝑓(𝑥)=3𝑥+9𝑥+1 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para baixo em ],[.
  • BA função é côncava para baixo em ]9,[.
  • CA função é côncava para cima em ]9,[.
  • DA função é côncava para baixo em ]0,[.
  • EA função é côncava para cima em ],[.

Q6:

Determinar os intervalos em que a função 𝑓(𝑥)=4𝑥33𝑥+1 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para baixo em ,13 e 13, e côncava para cima em 13,13.
  • BA função é côncava para baixo em 13,13 e 13, e côncava para cima em ,13.
  • CA função é côncava para baixo em ,13 e 13,13 e côncava para cima em 13,.
  • DA função é côncava para baixo em 13,13 e côncava para cima em ,13 e 13,.
  • EA função é côncava para baixo em 13, e côncava para cima em ,13 e 13,13.

Q7:

Para 0<𝑥<2𝜋, determine os intervalos em que 𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥cossen tem concavidade para cima ou para baixo.

  • A 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo 𝜋6,5𝜋6 e concavidade para baixo nos intervalos 0,𝜋2 e 3𝜋2,2𝜋.
  • B 𝑓 tem concavidades para cima nos intervalos 0,𝜋6 e 5𝜋6,2𝜋 e concavidade para baixo no intervalo 𝜋6,5𝜋6.
  • C 𝑓 tem concavidade para cima nos intervalos 0,𝜋2 e 3𝜋2,2𝜋 e concavidade para baixo no intervalo 𝜋6,5𝜋6.
  • D 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo 𝜋6,5𝜋6 e tem concavidade para baixo nos intervalos 0,𝜋6 e 5𝜋6,2𝜋.
  • E 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo ]𝜋,2𝜋[ e concavidade para baixo no intervalo ]0,𝜋[.

Q8:

Determine os intervalos em que a função 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥ln é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em 12𝑒, e côncava para baixo em 0,12𝑒.
  • BA função é côncava para cima em 0,𝑒2 e côncava para baixo em 𝑒2,.
  • CA função é côncava para cima em 𝑒2, e côncava para baixo em 0,𝑒2.
  • DA função é côncava para baixo em 0,12𝑒 e côncava para baixo em 12𝑒,.
  • EA função é côncava para cima em 2𝑒, e côncava para baixo em 0,2𝑒.

Q9:

Encontre o ponto de inflexão no gráfico de 𝑓(𝑥)=𝑥9𝑥+6𝑥.

  • A ( 3 , 0 )
  • B ( 3 , 2 1 )
  • Csem ponto de inflexão
  • D ( 3 , 3 6 )

Q10:

Encontre os pontos de inflexão de 𝑓(𝑥)=2𝑥+5𝑥.

  • A 3 2 , 2 1 3 1 6 , 3 2 , 2 1 3 1 6 , ( 0 , 0 ) .
  • B 3 2 , 4 5 8 , 3 2 , 4 5 8 , ( 0 , 3 ) .
  • C 5 6 6 , 4 7 5 3 6 , 5 6 6 , 4 7 5 3 6 , ( 0 , 3 ) .
  • D 3 2 , 3 3 3 2 , 3 2 , 3 3 3 2 .
  • E 3 2 , 4 5 8 , 3 2 , 4 5 8 .

Q11:

Determine o ponto de inflexão da curva 𝑦=6𝑥(𝑥+1).

  • A 1 3 , 8 9
  • B 2 3 , 1 0 0 9
  • C 2 3 , 4 9
  • Dnão tem pontos de inflexão
  • E 3 2 , 9 4

Q12:

Dado 𝑓(𝑥)=4𝑥+4𝑥sencos, em que 0𝑥𝜋2, determine os pontos de inflexão de 𝑓.

  • A 𝑓 tem pontos de inflexão em 𝜋16,2 e 5𝜋16,2.
  • B 𝑓 tem pontos de inflexão em 3𝜋16,2 e 7𝜋16,2.
  • C 𝑓 tem pontos de inflexão em 3𝜋16,2 e 7𝜋16,2.
  • D 𝑓 tem pontos de inflexão em 𝜋16,0 e 5𝜋16,0.
  • E 𝑓 tem pontos de inflexão em 3𝜋16,0 e 7𝜋16,0.

Q13:

Para 0𝑥4𝜋, encontre todos os pontos de inflexão de 𝑓(𝑥)=2𝑥𝑥sen.

  • A ( 𝜋 , 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 3 𝜋 )
  • B ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )
  • C ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 3 𝜋 )
  • D ( 𝜋 , 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )
  • E ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )

Q14:

Encontre os pontos de inflexão de 𝑓(𝑥)=𝑥14𝑥+1.

  • AO ponto de inflexão é 4,313.
  • BOs pontos de inflexão são 12,38 e 12,38.
  • COs pontos de inflexão são 32,116 e 32,116.
  • DOs pontos de inflexão são 36,1116 e 36,1116.
  • EO ponto de inflexão é 14,34.

Q15:

Encontre (se houver) os pontos de inflexão de 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑒+5.

  • AO ponto de inflexão é 0,17.
  • BO ponto de inflexão é 15,𝑒2𝑒+5.
  • CNão há pontos de inflexão.
  • DO ponto de inflexão é 0,13.
  • EO ponto de inflexão é 15,𝑒2𝑒+5.

Q16:

Determine (se existirem) os pontos de inflexão de 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥ln.

  • A 𝑓 não tem pontos de inflexão.
  • B 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑒2,98𝑒.
  • C 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑒2,98𝑒.
  • D 𝑓 tem um ponto de inflexão em 12𝑒,38𝑒.
  • E 𝑓 tem um ponto de inflexão em 12𝑒,38𝑒.

Q17:

Determine, se existirem, os pontos de inflexão do gráfico de 𝑓(𝑥)=6𝑥7𝑥+4𝑥<1,4𝑥+7𝑥𝑥1.forfor

  • A ( 0 , 4 )
  • B ( 0 , 0 )
  • C A f u n ç ã o n ã o t e m p o n t o s d e i n e x ã o .
  • D ( 0 , 7 )

Q18:

A curva 𝑦=𝑘𝑥+𝑥5 tem um ponto de inflexão em 𝑥=1. Quanto é 𝑘?

Q19:

Uma boa definição da função 𝑓 sendo côncava em um intervalo 𝐽=(𝑎,𝑏) é que 𝑓 está aumentando no intervalo. Assim, a inclinação do gráfico aumenta à medida que 𝑥 aumenta.

Se 𝑓 existe no intervalo, que resultado provaria que 𝑓 é côncava para cima se 𝑓(𝑥)>0 para 𝑥 em 𝐽?

  • Ao fato de que se uma função é negativa em um ponto e positiva em outro, então deve ser zero entre esses pontos
  • Bo fato de que se a derivada de uma função é zero, então a função atinge um máximo ou mínimo local
  • Co fato de que uma função tem a mesma taxa instantânea de mudança em algum ponto que sua taxa média de mudança ao longo do intervalo
  • Do fato de que se a derivada de uma função é positiva em um intervalo, então a função está aumentando nesse intervalo

Considere a função 𝑔(𝑥)=𝑥. Seria 𝑔 crescente no intervalo (1,1)?

  • Asim
  • Bnão

Com a função acima, nossa definição diz que a função 𝑔 é côncava para cima em (1,1). Seria 𝑔(𝑥)>0 nesse intervalo?

  • Anão
  • Bsim

É verdade que se 𝑓 é côncava em um intervalo, então 𝑓(𝑥)>0 no intervalo? (Lembre-se da definição acima!)

  • Anão
  • Bsim

Q20:

Determine onde 𝑓(𝑥)=𝑥23𝑥+3 é côncava para cima e onde é côncava para baixo.

  • AA função é côncava para cima no intervalo ]1,[ e para baixo nos intervalos ],1[ e ]1,1[ .
  • BA função é côncava para cima nos intervalos ],1[ e ]1,1[ e para baixo no intervalo ]1,[.
  • CA função é côncava para cima nos intervalos ]1,1[ e ]1,[ e para baixo no intervalo ],1[.
  • DA função é côncava para cima no intervalo ]1,1[ e para baixo nos intervalos ],1[ e ]1,[.
  • EA função é côncava para cima nos intervalos ],1[ e ]1,[ e para baixo no intervalo ]1,1[.

Q21:

Encontre os intervalos nos quais o gráfico da função 𝑓(𝑥)=2𝑥5𝑥+11 é convexo para baixo e convexo para cima.

  • Aconvexo para cima ao longo do intervalo ,156, convexo para baixo ao longo do intervalo 156,
  • Bconvexo para baixo ao longo do intervalo ,156, convexo para cima ao longo do intervalo 156,
  • Cconvexo para baixo ao longo dos intervalos ,156 e 156,, convexo para cima ao longo do intervalo 156,156
  • D, convexo para cima ao longo dos intervalos ,156 e 156,156, convexo para baixo ao longo do intervalo 156,

Q22:

Determine os pontos de inflexão da função 𝑓(𝑥)=5𝑥+(𝑥4)+2.

  • A O ponto de inflexão é (5,22).
  • B O ponto de inflexão é (4,18).
  • C O ponto de inflexão é (4,18).
  • D O ponto de inflexão é (4,20).
  • E O ponto de inflexão é (3,14).

Q23:

Encontre todos os pontos de inflexão de 𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥+5.

  • Apontos de inflexão em (1,4), (1,4) e (0,5)
  • Bpontos de inflexão em (1,4), (1,4) e (0,5)
  • Cpontos de inflexão em 33,409 e 33,409
  • Dpontos de inflexão em 33,409 e 33,409
  • Epontos de inflexão em 33,409 e 33,409

Q24:

Encontre os intervalos nos quais o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3𝑥7𝑥 é convexo para baixo e convexo para cima.

  • AO gráfico é convexo para baixo sobre o intervalo ],1[, e é convexo para baixo sobre o intervalo ]1,[.
  • BO gráfico é convexo para baixo sobre o intervalo ],1[, e é convexo para cima sobre o intervalo ]1,[.
  • CO gráfico é convexo para cima sobre o intervalo ],1[, e é convexo para cima sobre o intervalo ]1,[.
  • DO gráfico é convexo para cima sobre o intervalo ],1[, e é convexo para baixo sobre o intervalo ]1,[.

Q25:

Determine os pontos de inflexão da função 𝑓(𝑥)=𝑥23𝑥+4.

  • A Os pontos de inflexão são 1,52 e 1,52.
  • B Os pontos de inflexão são 1,112 e 1,112.
  • C Os pontos de inflexão são 1,32 e 1,32.
  • D Os pontos de inflexão são (1,2) e (1,2).
  • E Os pontos de inflexão são (1,4) e (1,4).

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