Atividade: Concavidade e Pontos de Inflexão

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a concavidade das funções, bem como seus pontos de inflexão.

Q1:

Recorra ao gráfico dado de 𝑓 para determinar as coordenadas dos pontos de inflexão.

  • A ( 1 , 3 ) , ( 5 , 4 )
  • B ( 1 , 3 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 4 )
  • C ( 5 , 4 )
  • D ( 2 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 4 )
  • E ( 4 , 5 )

Q2:

Determinar os pontos de inflexão da curva 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥 5 .

  • A ( 2 , 3 )
  • B ( 0 , 2 )
  • C ( 1 , 1 )
  • D não tem pontos de inflexão

Q3:

Determinar os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 𝑥 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em , 3 0 2 0 e 3 0 2 0 , 0 e côncava para baixo em 0 , 3 0 2 0 e 3 0 2 0 , .
  • BA função é côncava para cima em 3 0 2 0 , 0 e 3 0 2 0 , e côncava para baixo em , 3 0 2 0 e 0 , 3 0 2 0 .
  • CA função é côncava para cima em 0 , 3 0 2 0 e 3 0 2 0 , e côncava para baixo em , 3 0 2 0 e 3 0 2 0 , 0 .
  • DA função é côncava para cima em , 3 0 2 0 e 0 , 3 0 2 0 e côncava para baixo em 3 0 2 0 , 0 e 3 0 2 0 , .
  • EA função é côncava para cima em 3 0 2 0 , 0 e 0 , 3 0 2 0 e côncava para baixo em , 3 0 2 0 e 3 0 2 0 , .

Q4:

Determinar os intervalos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + ( 𝑥 + 3 ) 4 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para baixo no intervalo ] , 1 [ e para cima no intervalo ] 4 , [ .
  • BA função é côncava para baixo no intervalo ] 3 , [ e para cima no intervalo ] , 3 [ .
  • CA função é côncava para baixo no intervalo ] 4 , [ e para cima no intervalo ] , 1 [ .
  • DA função é côncava para baixo no intervalo ] , 3 [ e para cima no intervalo ] 3 , [ .
  • EA função é côncava para baixo no intervalo ] , 3 [ e para cima no intervalo ] 3 , [ .

Q5:

Determine os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 + 9 𝑥 + 1 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em ] 9 , [ .
  • BA função é côncava para baixo em ] , [ .
  • CA função é côncava para baixo em ] 0 , [ .
  • DA função é côncava para cima em ] , [ .
  • EA função é côncava para baixo em ] 9 , [ .

Q6:

Determinar os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 3 3 𝑥 + 1 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para baixo em , 1 3 e 1 3 , 1 3 e côncava para cima em 1 3 , .
  • BA função é côncava para baixo em 1 3 , 1 3 e côncava para cima em , 1 3 e 1 3 , .
  • CA função é côncava para baixo em 1 3 , e côncava para cima em , 1 3 e 1 3 , 1 3 .
  • DA função é côncava para baixo em , 1 3 e 1 3 , e côncava para cima em 1 3 , 1 3 .
  • EA função é côncava para baixo em 1 3 , 1 3 e 1 3 , e côncava para cima em , 1 3 .

Q7:

Para 0 < 𝑥 < 2 𝜋 , determine os intervalos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 𝑥 c o s s e n tem concavidade para cima ou para baixo.

  • A 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 e concavidade para baixo nos intervalos 0 , 𝜋 2 e 3 𝜋 2 , 2 𝜋 .
  • B 𝑓 tem concavidades para cima nos intervalos 0 , 𝜋 6 e 5 𝜋 6 , 2 𝜋 e concavidade para baixo no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 .
  • C 𝑓 tem concavidade para cima nos intervalos 0 , 𝜋 2 e 3 𝜋 2 , 2 𝜋 e concavidade para baixo no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 .
  • D 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 e tem concavidade para baixo nos intervalos 0 , 𝜋 6 e 5 𝜋 6 , 2 𝜋 .
  • E 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo ] 𝜋 , 2 𝜋 [ e concavidade para baixo no intervalo ] 0 , 𝜋 [ .

Q8:

Determine os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 2 𝑥 l n é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em 2 𝑒 , e côncava para baixo em 0 , 2 𝑒 .
  • BA função é côncava para cima em 0 , 𝑒 2 e côncava para baixo em 𝑒 2 , .
  • CA função é côncava para cima em 1 2 𝑒 , e côncava para baixo em 0 , 1 2 𝑒 .
  • DA função é côncava para cima em 𝑒 2 , e côncava para baixo em 0 , 𝑒 2 .
  • EA função é côncava para baixo em 0 , 1 2 𝑒 e côncava para baixo em 1 2 𝑒 , .

Q9:

Encontre o ponto de inflexão no gráfico de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 9 𝑥 + 6 𝑥 .

  • A ( 3 , 0 )
  • Bsem ponto de inflexão
  • C ( 3 , 2 1 )
  • D ( 3 , 3 6 )

Q10:

Encontre os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 5 𝑥 .

  • A 3 2 , 4 5 8 , 3 2 , 4 5 8 , ( 0 , 3 ) .
  • B 3 2 , 3 3 3 2 , 3 2 , 3 3 3 2 .
  • C 3 2 , 4 5 8 , 3 2 , 4 5 8 .
  • D 3 2 , 2 1 3 1 6 , 3 2 , 2 1 3 1 6 , ( 0 , 0 ) .
  • E 5 6 6 , 4 7 5 3 6 , 5 6 6 , 4 7 5 3 6 , ( 0 , 3 ) .

Q11:

Determine o ponto de inflexão da curva 𝑦 = 6 𝑥 ( 𝑥 + 1 ) .

  • A 1 3 , 8 9
  • B 2 3 , 1 0 0 9
  • C 3 2 , 9 4
  • D 2 3 , 4 9
  • Enão tem pontos de inflexão

Q12:

Dado 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 4 𝑥 s e n c o s , em que 0 𝑥 𝜋 2 , determine os pontos de inflexão de 𝑓 .

  • A 𝑓 tem pontos de inflexão em 3 𝜋 1 6 , 2 e 7 𝜋 1 6 , 2 .
  • B 𝑓 tem pontos de inflexão em 3 𝜋 1 6 , 2 e 7 𝜋 1 6 , 2 .
  • C 𝑓 tem pontos de inflexão em 𝜋 1 6 , 2 e 5 𝜋 1 6 , 2 .
  • D 𝑓 tem pontos de inflexão em 3 𝜋 1 6 , 0 e 7 𝜋 1 6 , 0 .
  • E 𝑓 tem pontos de inflexão em 𝜋 1 6 , 0 e 5 𝜋 1 6 , 0 .

Q13:

Para 0 𝑥 4 𝜋 , encontre todos os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 𝑥 s e n .

  • A ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )
  • B ( 𝜋 , 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 3 𝜋 )
  • C ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 3 𝜋 )
  • D ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )
  • E ( 𝜋 , 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )

Q14:

Encontre os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 4 𝑥 + 1 .

  • AO ponto de inflexão é 1 4 , 3 4 .
  • BOs pontos de inflexão são 1 2 , 3 8 e 1 2 , 3 8 .
  • CO ponto de inflexão é 4 , 3 1 3 .
  • DOs pontos de inflexão são 3 6 , 1 1 1 6 e 3 6 , 1 1 1 6 .
  • EOs pontos de inflexão são 3 2 , 1 1 6 e 3 2 , 1 1 6 .

Q15:

Encontre (se houver) os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑒 2 𝑒 + 5 .

  • AO ponto de inflexão é 0 , 1 7 .
  • BO ponto de inflexão é 0 , 1 3 .
  • CO ponto de inflexão é 1 5 , 𝑒 2 𝑒 + 5 .
  • DNão há pontos de inflexão.
  • EO ponto de inflexão é 1 5 , 𝑒 2 𝑒 + 5 .

Q16:

Determine (se existirem) os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 2 𝑥 l n .

  • A 𝑓 tem um ponto de inflexão em 1 2 𝑒 , 3 8 𝑒 .
  • B 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑒 2 , 9 8 𝑒 .
  • C 𝑓 tem um ponto de inflexão em 1 2 𝑒 , 3 8 𝑒 .
  • D 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑒 2 , 9 8 𝑒 .
  • E 𝑓 não tem pontos de inflexão.

Q17:

Determine, se existirem, os pontos de inflexão do gráfico de 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 7 𝑥 + 4 𝑥 < 1 , 4 𝑥 + 7 𝑥 𝑥 1 . f o r f o r

  • A ( 0 , 7 )
  • B A f u n ç ã o n ã o t e m p o n t o s d e i n e x ã o .
  • C ( 0 , 0 )
  • D ( 0 , 4 )

Q18:

A curva 𝑦 = 𝑘 𝑥 + 𝑥 5 tem um ponto de inflexão em 𝑥 = 1 . Quanto é 𝑘 ?

Q19:

Uma boa definição da função 𝑓 sendo côncava em um intervalo 𝐽 = ( 𝑎 , 𝑏 ) é que 𝑓 está aumentando no intervalo. Assim, a inclinação do gráfico aumenta à medida que 𝑥 aumenta.

Se 𝑓 existe no intervalo, que resultado provaria que 𝑓 é côncava para cima se 𝑓 ( 𝑥 ) > 0 para 𝑥 em 𝐽 ?

  • Ao fato de que se uma função é negativa em um ponto e positiva em outro, então deve ser zero entre esses pontos
  • Bo fato de que se a derivada de uma função é zero, então a função atinge um máximo ou mínimo local
  • Co fato de que uma função tem a mesma taxa instantânea de mudança em algum ponto que sua taxa média de mudança ao longo do intervalo
  • Do fato de que se a derivada de uma função é positiva em um intervalo, então a função está aumentando nesse intervalo

Considere a função 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 4 . Seria 𝑔 crescente no intervalo ( 1 , 1 ) ?

  • Asim
  • Bnão

Com a função acima, nossa definição diz que a função 𝑔 é côncava para cima em ( 1 , 1 ) . Seria 𝑔 ( 𝑥 ) > 0 nesse intervalo?

  • Asim
  • Bnão

É verdade que se 𝑓 é côncava em um intervalo, então 𝑓 ( 𝑥 ) > 0 no intervalo? (Lembre-se da definição acima!)

  • Asim
  • Bnão

Q20:

Determine onde 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 3 𝑥 + 3 é côncava para cima e onde é côncava para baixo.

  • AA função é côncava para cima no intervalo ] 1 , [ e para baixo nos intervalos ] , 1 [ e ] 1 , 1 [ .
  • BA função é côncava para cima no intervalo ] 1 , 1 [ e para baixo nos intervalos ] , 1 [ e ] 1 , [ .
  • CA função é côncava para cima nos intervalos ] , 1 [ e ] 1 , 1 [ e para baixo no intervalo ] 1 , [ .
  • DA função é côncava para cima nos intervalos ] , 1 [ e ] 1 , [ e para baixo no intervalo ] 1 , 1 [ .
  • EA função é côncava para cima nos intervalos ] 1 , 1 [ e ] 1 , [ e para baixo no intervalo ] , 1 [ .

Q21:

Encontre os intervalos nos quais o gráfico da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 5 𝑥 + 1 1 é convexo para baixo e convexo para cima.

  • Aconvexo para cima ao longo do intervalo , 1 5 6 , convexo para baixo ao longo do intervalo 1 5 6 ,
  • Bconvexo para baixo ao longo do intervalo , 1 5 6 , convexo para cima ao longo do intervalo 1 5 6 ,
  • C, convexo para cima ao longo dos intervalos , 1 5 6 e 1 5 6 , 1 5 6 , convexo para baixo ao longo do intervalo 1 5 6 ,
  • Dconvexo para baixo ao longo dos intervalos , 1 5 6 e 1 5 6 , , convexo para cima ao longo do intervalo 1 5 6 , 1 5 6

Q22:

Determine os pontos de inflexão da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 𝑥 + ( 𝑥 4 ) + 2 .

  • A O ponto de inflexão é ( 4 , 2 0 ) .
  • B O ponto de inflexão é ( 4 , 1 8 ) .
  • C O ponto de inflexão é ( 3 , 1 4 ) .
  • D O ponto de inflexão é ( 4 , 1 8 ) .
  • E O ponto de inflexão é ( 5 , 2 2 ) .

Q23:

Encontre todos os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 𝑥 + 5 .

  • Apontos de inflexão em 3 3 , 4 0 9 e 3 3 , 4 0 9
  • Bpontos de inflexão em 3 3 , 4 0 9 e 3 3 , 4 0 9
  • Cpontos de inflexão em ( 1 , 4 ) , ( 1 , 4 ) e ( 0 , 5 )
  • Dpontos de inflexão em 3 3 , 4 0 9 e 3 3 , 4 0 9
  • Epontos de inflexão em ( 1 , 4 ) , ( 1 , 4 ) e ( 0 , 5 )

Q24:

Encontre os intervalos nos quais o gráfico da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 𝑥 7 𝑥 é convexo para baixo e convexo para cima.

  • AO gráfico é convexo para cima sobre o intervalo ] , 1 [ , e é convexo para cima sobre o intervalo ] 1 , [ .
  • BO gráfico é convexo para baixo sobre o intervalo ] , 1 [ , e é convexo para cima sobre o intervalo ] 1 , [ .
  • CO gráfico é convexo para baixo sobre o intervalo ] , 1 [ , e é convexo para baixo sobre o intervalo ] 1 , [ .
  • DO gráfico é convexo para cima sobre o intervalo ] , 1 [ , e é convexo para baixo sobre o intervalo ] 1 , [ .

Q25:

Determine os pontos de inflexão da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 3 𝑥 + 4 .

  • A Os pontos de inflexão são 1 , 5 2 e 1 , 5 2 .
  • B Os pontos de inflexão são ( 1 , 4 ) e ( 1 , 4 ) .
  • C Os pontos de inflexão são ( 1 , 2 ) e ( 1 , 2 ) .
  • D Os pontos de inflexão são 1 , 3 2 e 1 , 3 2 .
  • E Os pontos de inflexão são 1 , 1 1 2 e 1 , 1 1 2 .

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