Atividade: Diferenciação de Matrizes

Nesta atividade, nós vamos praticar a escrever a matriz de uma transformação linear representado pelo operador diferencial.

Q1:

Considere o espaço vetorial dos polinómios que têm, no máximo, grau três. O operador de diferenciação 𝐷 é uma transformação linear neste espaço vetorial. Determine a matriz que representa a transformação linear 𝐿 = 𝐷 + 2 𝐷 + 1 em relação à base 1 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 .

  • A 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
  • B 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1
  • C 1 1 2 0 0 1 1 6 0 0 1 1 0 0 0 1
  • D 1 2 2 0 0 1 4 6 0 0 1 6 0 0 0 1
  • E 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Q2:

Considere o espaço vetorial dos polinómios com, no máximo, grau três. O operador de diferenciação 𝐷 é uma transformação linear desse espaço. Determine a matriz que representa a transformação linear 𝐿 = 𝐷 + 5 𝐷 + 4 em relação à base 1 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 .

  • A 4 1 0 0 0 4 2 0 0 0 4 3 0 0 0 4
  • B 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1
  • C 4 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 4 1 5 0 0 0 4
  • D 4 5 2 0 0 4 1 0 6 0 0 4 1 5 0 0 0 4
  • E 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4

Q3:

Considere o espaço vetorial das funções infinitamente diferenciáveis. O operador de diferenciação 𝐷 é uma transformação linear deste espaço. Determine a forma geral de um elemento do kernel da transformação linear 𝐴 = 𝐷 + 2 𝐷 + 1 .

  • A 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑡 𝑒 + 𝐶 𝑒
  • B 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑡 𝑒
  • C 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑡 𝑒
  • D 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑡 𝑒 + 𝐶 𝑒
  • E 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑡 𝑒 𝐶 𝑒

Q4:

Considere o espaço vetorial das funções infinitamente diferenciáveis. O operador diferencial 𝐷 é uma transformação linear nesse espaço. Determine a forma geral de um elemento do kernel da transformação linear 𝐴 = 𝐷 + 5 𝐷 + 4 .

  • A 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒 + 𝐶 𝑒
  • B 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒
  • C 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒
  • D 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒 + 𝐶 𝑒
  • E 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝐶 𝑒 𝐶 𝑒

Q5:

Aplique o operador linear diferencial 𝐷 para calcular a seguinte expressão: 𝐷 2 𝐷 + 4 𝑥 𝑒 + 5 𝑥 + 2 .

  • A 𝑥 𝑒 + 2 5 𝑥
  • B 3 𝑥 𝑒 1 8 + 2 0 𝑥 2 0 𝑥
  • C 𝑥 𝑒 + 1 0 𝑥
  • D 3 𝑥 𝑒 + 1 8 2 0 𝑥 + 2 0 𝑥

Q6:

Suponha que em um ponto crítico de uma função 𝑓 , a matriz hessiana é dada por 0 1 0 1 0 0 0 0 1 .

O que o segundo teste derivativo nos diz sobre esse ponto crítico?

  • AÉ um mínimo local.
  • BÉ um máximo local.
  • CÉ zero.
  • DÉ um ponto de sela.

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