Atividade: Ângulos Diretores e Cossenos Diretores

Nesta atividade, nós vamos praticar a calcular os ângulos e os cossenos das componentes de um dado vetor no espaço.

Q1:

Encontre os cossenos de direção do vetor que estΓ£o no plano de coordenadas positivas π‘₯𝑧 e forma um Γ’ngulo de 60∘ com o eixo positivo 𝑧.

  • A ο€Ώ 0 , 1 2 , √ 3 2 
  • B ο€Ώ 0 , √ 3 2 , 1 2 
  • C ο€Ώ √ 3 2 , 1 2 , 0 
  • D ο€Ώ √ 3 2 , 0 , 1 2 
  • E ο€Ώ 1 2 , 0 , √ 3 2 

Q2:

Encontre o vetor ⃗𝐴 de norma 61 e cossenos de direção ο€Ώ12,βˆ’12,√22.

  • A βƒ— 𝐴 = ο€» 6 1 √ 3 , βˆ’ 6 1 √ 3 , 6 1 
  • B βƒ— 𝐴 = ο€Ώ 1 2 , βˆ’ 1 2 , √ 2 2 
  • C βƒ— 𝐴 = ο€Ώ √ 3 2 , √ 3 2 , √ 2 2 
  • D βƒ— 𝐴 = ο€Ώ 6 1 2 , βˆ’ 6 1 2 , 6 1 √ 2 2 
  • E βƒ— 𝐴 = ο€Ώ 6 1 √ 3 2 , 6 1 √ 3 2 , 6 1 √ 2 2 

Q3:

Os Γ’ngulos de direção ⃗𝐴 sΓ£o 90∘, 97∘, e 165∘. Qual dos seguintes planos contΓ©m ⃗𝐴?

  • A 𝑦 𝑧
  • B π‘₯ 𝑧
  • C π‘₯ 𝑦

Q4:

Encontre o vetor 𝐴 cuja norma é 41 e cujos Òngulos de direção são (135,120,60)∘∘∘.

  • A βƒ— 𝐴 = ο€Ώ βˆ’ 4 1 √ 2 2 , βˆ’ 4 1 2 , 4 1 2 
  • B βƒ— 𝐴 = ο€Ώ βˆ’ √ 2 2 , βˆ’ 1 2 , 1 2 
  • C βƒ— 𝐴 = ο€» βˆ’ 4 1 , βˆ’ 4 1 √ 3 , 4 1 √ 3 
  • D βƒ— 𝐴 = ο€Ώ 4 1 √ 2 2 , 4 1 √ 3 2 , 4 1 √ 3 2 

Q5:

Encontre a forma algΓ©brica de um vetor ⃗𝐴 se sua norma Γ© 31, dado que faz Γ’ngulos iguais com as direçáes positivas dos eixos cartesianos.

  • A βƒ— 𝐴 = Β± 3 1 √ 3 3 ο€» βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ 
  • B βƒ— 𝐴 = Β± 3 1 √ 3 ο€» βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ 
  • C βƒ— 𝐴 = 1 0 , 3 3 ο€» βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ 

Q6:

Encontre os Γ’ngulos de direção do vetor ο€Ώ212,21√22,212.

  • A ( 3 5 , 2 7 , 2 7 ) ∘ ∘ ∘
  • B ( 2 7 , 3 5 , 2 7 ) ∘ ∘ ∘
  • C ( 3 0 , 4 5 , 3 0 ) ∘ ∘ ∘
  • D ( 4 5 , 6 0 , 6 0 ) ∘ ∘ ∘
  • E ( 6 0 , 4 5 , 6 0 ) ∘ ∘ ∘

Q7:

Se ⃗𝐴=9βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+6βƒ—π‘˜, encontre a medida do Γ’ngulo que ⃗𝐴 faz com a direção positiva do eixo π‘₯ aproximado para o segundo mais prΓ³ximo.

  • A 3 4 3 β€² 1 2 β€² β€² ∘
  • B 7 3 9 β€² 3 5 β€² β€² ∘
  • C 3 2 4 4 β€² 7 β€² β€² ∘
  • D 5 5 5 6 β€² 4 8 β€² β€² ∘

Q8:

Determine o vetor dos Γ’ngulos diretores do vetor βƒ—π‘Ž=(5,2,8).

  • A ( 5 , 2 , 8 )
  • B ( 1 , 1 , 1 )
  • C ο€Ώ 5 √ 9 3 , 2 √ 9 3 , 8 √ 9 3 
  • D ο€Ό 3 , 1 5 2 , 1 5 8 

Q9:

Suponha que 31∘, 65∘ e πœƒ sΓ£o Γ’ngulos diretores de um vetor. Qual dos seguintes, arredondado Γ s centΓ©simas, Γ© πœƒ?

  • A 8 5 , 0 3 ∘
  • B 8 4 , 0 0 ∘
  • C 7 2 , 8 8 ∘
  • D 2 6 4 , 0 0 ∘

Q10:

Encontre a medida dos Γ’ngulos de direção do vetor ⃗𝐹, representado pelo nΓΊmero dado, corrigido para uma casa decimal.

  • A πœƒ = 6 9 , 2  ∘ , πœƒ = 3 2 , 4  ∘ , πœƒ = 6 6 , 4  ∘
  • B πœƒ = 3 2 , 4  ∘ , πœƒ = 6 9 , 2  ∘ , πœƒ = 6 6 , 4  ∘
  • C πœƒ = 1 9 , 6  ∘ , πœƒ = 4 0 , 2  ∘ , πœƒ = 2 1 , 8  ∘
  • D πœƒ = 2 0 , 8  ∘ , πœƒ = 5 7 , 6  ∘ , πœƒ = 2 3 , 6  ∘

Q11:

Encontre, atΓ© o segundo mais prΓ³ximo, a medida do Γ’ngulo que o vetor ⃗𝐴=(βˆ’9,4,8) faz com o eixo π‘₯.

  • A 5 0 5 4 β€² 5 0 β€² β€² ∘
  • B 7 1 3 7 β€² 2 8 β€² β€² ∘
  • C 1 3 5 1 0 β€² 4 1 β€² β€² ∘

Q12:

Encontre o vetor ⃗𝐴 de norma 59 e cossenos de direção ο€Ώβˆ’12,√22,βˆ’12.

  • A βƒ— 𝐴 = ο€» βˆ’ 5 9 √ 3 , 5 9 , βˆ’ 5 9 √ 3 
  • B βƒ— 𝐴 = ο€Ώ βˆ’ 5 9 2 , 5 9 √ 2 2 , βˆ’ 5 9 2 
  • C βƒ— 𝐴 = ο€Ώ βˆ’ 1 2 , √ 2 2 , βˆ’ 1 2 
  • D βƒ— 𝐴 = ο€Ώ 5 9 √ 3 2 , 5 9 √ 2 2 , 5 9 √ 3 2 
  • E βƒ— 𝐴 = ο€Ώ √ 3 2 , √ 2 2 , √ 3 2 

Q13:

Os Γ’ngulos de direção ⃗𝐴 sΓ£o 67∘, 49∘, e 90∘. Qual dos seguintes planos contΓ©m ⃗𝐴?

  • A π‘₯ 𝑦
  • B 𝑦 𝑧
  • C π‘₯ 𝑧

Q14:

Os Γ’ngulos de direção ⃗𝐴 sΓ£o 90∘, 143∘, e 53∘. Qual dos seguintes planos contΓ©m ⃗𝐴?

  • A 𝑦 𝑧
  • B π‘₯ 𝑦
  • C π‘₯ 𝑧

Q15:

A figura dada representa um vetor ⃗𝐴 cuja norma Γ© 5 unidades. Encontre a medida dos Γ’ngulos de direção 𝑂𝐴 aproximados a uma casa decimal.

  • A πœƒ = 3 7 , 7  ∘ , πœƒ = 2 2 , 3  ∘ , πœƒ = 2 2 , 3  ∘
  • B πœƒ = 6 5 , 8  ∘ , πœƒ = 3 9 , 4  ∘ , πœƒ = 6 1 , 0  ∘
  • C πœƒ = 5 0 , 6  ∘ , πœƒ = 2 4 , 2  ∘ , πœƒ = 2 9 , 0  ∘
  • D πœƒ = 3 9 , 4  ∘ , πœƒ = 6 5 , 8  ∘ , πœƒ = 6 1 , 0  ∘

Q16:

Suponha que ‖‖⃗𝐴‖‖=6 e ⃗𝐴 tem cossenos de direção 23, βˆ’23, e βˆ’13. Determine ⃗𝐴×⃗𝐡, onde ⃗𝐡=(βˆ’8,0,3).

  • A βˆ’ 3 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 1 2 βƒ— πš₯ + 4 βƒ— π‘˜
  • B βˆ’ 1 2 βƒ— 𝚀 + 4 βƒ— πš₯ βˆ’ 3 2 βƒ— π‘˜
  • C βˆ’ 1 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 4 βƒ— πš₯ βˆ’ 3 2 βƒ— π‘˜
  • D βˆ’ 1 2 βƒ— 𝚀 + 2 8 βƒ— πš₯ + 3 2 βƒ— π‘˜

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