Atividade: Derivadas Direcionais

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a derivada direcional e o vetor gradiente de funções em 2 ou 3 variáveis.

Q1:

Determine a derivada direcional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 1 2 2 no ponto ( 1 , 1 ) na direção de 𝑣 = 1 2 , 1 2 .

  • A 3 2
  • B 4 2
  • C 2
  • D 2 2
  • E4

Q2:

Encontre a derivada direcional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 𝑒 no ponto ( 1 , 1 ) na direção de 𝑣 = 1 2 , 1 2 .

  • A 2 𝑒 2
  • B 2 𝑒 2
  • C 3 𝑒 2
  • D 3 𝑒 2
  • E 2 2 𝑒

Q3:

Encontre a derivada direcional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑥 𝑒 2 𝑦 𝑧 no ponto ( 1 , 1 , 1 ) na direção de 𝑣 = 1 3 , 1 3 , 1 3 .

  • A 4 𝑒
  • B 3 𝑒 3
  • C 2 𝑒 3
  • D 4 𝑒 3
  • E 𝑒 3

Q4:

Determine a derivada direcional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑥 𝑦 𝑧 s e n no ponto ( 1 , 1 , 1 ) na direção de 𝑣 = 1 3 , 1 3 , 1 3 .

  • A c o s 1 3
  • B 3 3 1 c o s
  • C 3
  • D 3 1 c o s
  • E 3 3

Q5:

Encontre a derivada direcional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 1 𝑥 + 𝑦 2 2 no ponto ( 1 , 1 ) na direção de 𝑣 = 1 2 , 1 2 .

  • A 2
  • B 2 2
  • C 2
  • D 2 2
  • E 3 2 2

Q6:

Encontre a derivada direcional de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 + 4 2 2 no ponto ( 1 , 1 ) na direção de 𝑣 = 1 2 , 1 2 .

  • A 3
  • B 2 3 3
  • C 2 2
  • D 3 3
  • E 3 2 2

Q7:

Calcule o gradiente de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 + 4 .

  • A 2 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 , 2 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4
  • B 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4 , 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4
  • C 2 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4 , 2 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4
  • D 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 , 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4
  • E 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 4 , 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 4

Q8:

A temperatura 𝑇 de um sólido é dado pela função 𝑇 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑒 + 𝑒 + 𝑒 𝑥 2 𝑦 4 𝑧 , onde 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 são coordenadas espaciais relativas ao centro do sólido. Em qual direção a partir do ponto ( 3 , 1 , 2 ) a temperatura diminuirá mais rapidamente?

  • A 𝑇 diminui mais rápido na direção de 𝑒 , 2 𝑒 , 4 𝑒 1 6 8 .
  • B 𝑇 diminui mais rápido na direção de 𝑒 , 2 𝑒 , 4 𝑒 3 2 8 .
  • C 𝑇 diminui mais rápido na direção de 𝑒 , 2 𝑒 , 4 𝑒 1 6 8 .
  • D 𝑇 diminui mais rápido na direção de 𝑒 , 2 𝑒 , 4 𝑒 3 2 8 .

Q9:

Em direção a função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 aumenta o mais rápido do ponto ( 2 , 3 ) ? Em que direção diminui o mais rápido? Apresente a resposta utilizando vetores unitários.

  • A 𝑓 aumenta o mais rápido a direção de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1 e diminui o mais rápido a direção de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1 .
  • B 𝑓 aumenta o mais rápido a direção de 9 9 7 , 4 9 7 e diminui o mais rápido a direção de 9 9 7 , 4 9 7 .
  • C 𝑓 aumenta o mais rápido a direção de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1 e diminui o mais rápido a direção de 2 9 9 4 1 , 1 0 9 4 1 .
  • D 𝑓 aumenta o mais rápido a direção de 9 9 7 , 4 9 7 e diminui o mais rápido a direção de 9 9 7 , 4 9 7 .

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