Atividade: Equações da Tangente e da Normal a Curvas Definida Parametricamente

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinação da tangente e a normal a uma curva representada na forma paramétrica.

Q1:

Determine o declive da tangente ao astroide π‘₯ = π‘Ž πœƒ c o s 3 , 𝑦 = π‘Ž πœƒ s e n 3 em termos de πœƒ .

  • A βˆ’ πœƒ t g 2
  • B βˆ’ πœƒ c o t g
  • C c o t g 2 πœƒ
  • D βˆ’ πœƒ t g
  • E t g πœƒ

Q2:

Determine uma equação para a tangente Γ  curva π‘₯ = 1 + 𝑑 l n , 𝑦 = 𝑑 + 2 2 no ponto ( 1 , 3 ) .

  • A 𝑦 = π‘₯ + 2
  • B 𝑦 = 1 2 π‘₯ + 5 2
  • C 𝑦 = 2 π‘₯ βˆ’ 1
  • D 𝑦 = 2 π‘₯ + 1
  • E 𝑦 = 1 2 π‘₯ βˆ’ 5 2

Q3:

Determine uma equação da tangente Γ  curva π‘₯ = 𝑑 βˆ’ 𝑑  , 𝑦 = 𝑑 + 𝑑 + 1  no ponto ( 0 , 3 ) .

  • A 𝑦 = 3 π‘₯ βˆ’ 3
  • B 𝑦 = 1 3 π‘₯ + 3
  • C 𝑦 = 1 3 π‘₯ βˆ’ 3
  • D 𝑦 = 3 π‘₯ + 3
  • E 𝑦 = βˆ’ 3 π‘₯ + 3

Q4:

Determine um equação da tangente Γ  curva π‘₯ = 1 + √ 𝑑 , 𝑦 = 𝑒 𝑑 2 no ponto ( 2 , 𝑒 ) .

  • A 𝑦 = 𝑒 π‘₯ βˆ’ 𝑒
  • B 𝑦 = 2 𝑒 π‘₯ βˆ’ 3 𝑒
  • C 𝑦 = 4 𝑒 π‘₯ + 9 𝑒
  • D 𝑦 = 4 𝑒 π‘₯ βˆ’ 7 𝑒
  • E 𝑦 = 2 𝑒 π‘₯ + 4 𝑒

Q5:

Determine uma equação da tangente Γ  curva π‘₯ = √ 𝑑 , 𝑦 = 𝑑 βˆ’ 2 𝑑 2 ao ponto correspondente ao valor 𝑑 = 4 .

  • A 𝑦 = 3 2 π‘₯ βˆ’ 5 6
  • B 𝑦 = 1 2 π‘₯ βˆ’ 1 6
  • C 𝑦 = 1 6 π‘₯ βˆ’ 2 4
  • D 𝑦 = 2 4 π‘₯ βˆ’ 4 0
  • E 𝑦 = 3 0 π‘₯ βˆ’ 5 2

Q6:

Encontre a equação da tangente Γ  curva π‘₯ = 𝑑 + 1 3 , 𝑦 = 𝑑 + 𝑑 4 no ponto correspondente ao valor 𝑑 = βˆ’ 1 .

  • A 𝑦 = βˆ’ 3 π‘₯
  • B 𝑦 = π‘₯
  • C 𝑦 = 3 π‘₯
  • D 𝑦 = βˆ’ π‘₯
  • E 𝑦 = βˆ’ 2 π‘₯

Q7:

Determine uma equação da tangente Γ  curva π‘₯ = 𝑑 𝑑 c o s , 𝑦 = 𝑑 𝑑 s e n num ponto correspondente ao valor 𝑑 = πœ‹ .

  • A 𝑦 = πœ‹ π‘₯ + πœ‹
  • B 𝑦 = βˆ’ πœ‹ π‘₯ + πœ‹ 
  • C 𝑦 = βˆ’ πœ‹ π‘₯ βˆ’ πœ‹ 
  • D 𝑦 = πœ‹ π‘₯ + πœ‹ 
  • E 𝑦 = πœ‹ π‘₯ βˆ’ πœ‹

Q8:

Determine uma equação da tangente Γ  curva π‘₯ = 𝑒 πœ‹ 𝑑 𝑑 s e n , 𝑦 = 𝑒 2 𝑑 no ponto correspondente ao valor 𝑑 = 0 .

  • A 𝑦 = π‘₯ + 1
  • B 𝑦 = 1 πœ‹ π‘₯ + 1
  • C 𝑦 = πœ‹ 2 π‘₯ + 1
  • D 𝑦 = 2 πœ‹ π‘₯ + 1
  • E 𝑦 = 2 π‘₯ + 1

Q9:

Sendo π‘₯ = 2 𝑑 βˆ’ 9  e 𝑦 = √ 7 𝑑 + 8  , determine a equação da tangente Γ  curva em 𝑑 = βˆ’ 1 .

  • A βˆ’ 7 π‘₯ + 1 8 𝑦 + 5 9 = 0
  • B 7 π‘₯ + 1 8 𝑦 + 5 9 = 0
  • C βˆ’ 7 π‘₯ + 1 8 𝑦 βˆ’ 1 2 = 0
  • D βˆ’ 7 π‘₯ + 1 8 𝑦 βˆ’ 9 5 = 0

Q10:

Determine a equação da normal para a curva π‘₯ = βˆ’ 4 c o t g πœƒ + 3 , 𝑦 = 3 s e n  πœƒ + √ 2 s e c πœƒ em πœƒ = πœ‹ 4 .

  • A βˆ’ π‘₯ + 5 𝑦 8 βˆ’ 5 1 1 6 = 0
  • B π‘₯ + 8 𝑦 5 βˆ’ 2 3 5 = 0
  • C βˆ’ 5 π‘₯ 8 + 𝑦 βˆ’ 3 3 8 = 0
  • D π‘₯ + 5 𝑦 8 βˆ’ 1 9 1 6 = 0

Q11:

Encontre a equação da normal para as curvas π‘₯ = 2 s e c πœƒ e 𝑦 = 4 t g πœƒ para πœƒ = πœ‹ 6 .

  • A 4 𝑦 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 4 √ 3 = 0
  • B 𝑦 + 4 π‘₯ βˆ’ 2 0 √ 3 3 = 0
  • C 𝑦 βˆ’ 4 π‘₯ + 4 √ 3 = 0
  • D βˆ’ 4 𝑦 βˆ’ π‘₯ + 2 0 √ 3 3 = 0

Q12:

Uma curva 𝐢 estΓ‘ definida pelas equaçáes paramΓ©tricas π‘₯ = 𝑑 2 e 𝑦 = 𝑑 βˆ’ 3 𝑑 3 .

Determine as duas equaçáes das tangentes à curva 𝐢 no ponto ( 3 , 0 ) .

  • A 𝑦 = √ 3 ο€Ή π‘₯ βˆ’ 3  2 , 𝑦 = βˆ’ √ 3 ο€Ή π‘₯ βˆ’ 3  2
  • B 𝑦 = 1 √ 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) , 𝑦 = βˆ’ 1 √ 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 )
  • C 𝑦 = 1 √ 3 ο€Ή π‘₯ βˆ’ 3  2 , 𝑦 = βˆ’ 1 √ 3 ο€Ή π‘₯ βˆ’ 3  2
  • D 𝑦 = √ 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) , 𝑦 = βˆ’ √ 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 )
  • E 𝑦 = 6 ο€Ή π‘₯ βˆ’ 3  2 , 𝑦 = βˆ’ 6 ο€Ή π‘₯ βˆ’ 3  2

Determine todos os pontos possíveis em 𝐢 em que a tangente é horizontal.

  • A ( 1 , 2 ) , ( 1 , βˆ’ 2 )
  • B ( 3 , 0 )
  • C ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , βˆ’ 2 )
  • D ( 0 , 0 )
  • E ( 0 , 0 ) , ( 3 , 0 )

Determine todos os pontos possíveis em 𝐢 em que a tangente é vertical.

  • A ( 0 , 0 ) , ( 3 , 0 )
  • B ( 1 , 2 ) , ( 1 , βˆ’ 2 )
  • C ( 0 , 0 )
  • D ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , βˆ’ 2 )
  • E ( 3 , 0 )

Q13:

Considere a curva π‘₯ = 𝑑 βˆ’ 3 𝑑 3 , 𝑦 = 𝑑 βˆ’ 3 𝑑 3 2 .

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente Γ© horizontal.

  • A ( 2 , βˆ’ 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 , βˆ’ 2 ) , ( βˆ’ 2 , βˆ’ 2 )
  • B ( βˆ’ 2 , βˆ’ 2 ) , ( 2 , βˆ’ 4 )
  • C ( 0 , 0 )
  • D ( 2 , βˆ’ 4 ) , ( 0 , 0 )
  • ENΓ£o hΓ‘ tangentes horizontais.

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente Γ© vertical.

  • A ( βˆ’ 2 , βˆ’ 2 ) , ( 2 , βˆ’ 4 )
  • B ( βˆ’ 2 , βˆ’ 2 )
  • C ( 2 , βˆ’ 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 , βˆ’ 2 ) , ( βˆ’ 2 , βˆ’ 2 )
  • D ( 2 , βˆ’ 4 ) , ( 0 , 0 )
  • ENΓ£o hΓ‘ tangentes verticais.

Q14:

Considere a curva π‘₯ = 𝑒 s e n πœƒ , 𝑦 = 𝑒 c o s πœƒ .

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente Γ© horizontal.

  • A ο€Ή 1 , 𝑒  βˆ’ 1
  • B ( 𝑒 , 1 ) , ο€Ή 𝑒 , 1  βˆ’ 1
  • C ( 1 , 𝑒 ) , ο€Ή 1 , 𝑒  βˆ’ 1 , ( 𝑒 , 1 ) , ο€Ή 𝑒 , 1  βˆ’ 1
  • D ( 1 , 𝑒 ) , ο€Ή 1 , 𝑒  βˆ’ 1
  • E sem tangentes horizontais.

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente Γ© vertical.

  • A ( 𝑒 , 1 ) , ο€Ή 𝑒 , 1  βˆ’ 1
  • B ( 1 , 𝑒 )
  • C ( 1 , 𝑒 ) , ο€Ή 1 , 𝑒  βˆ’ 1 , ( 𝑒 , 1 ) , ο€Ή 𝑒 , 1  βˆ’ 1
  • D ( 1 , 𝑒 ) , ο€Ή 1 , 𝑒  βˆ’ 1
  • E sem tangentes verticais.

Q15:

Uma curva ciclΓ³ide Γ© dada pelas equaçáes π‘₯ = π‘Ÿ ( 𝑑 βˆ’ 𝑑 ) s e n e 𝑦 = π‘Ÿ ( 1 βˆ’ 𝑑 ) c o s .

Encontre a tangente ao ciclΓ³ide no ponto em que 𝑑 = πœ‹ 3 .

  • A 𝑦 βˆ’ π‘Ÿ 2 = √ 3 2 ο€Ώ π‘₯ βˆ’ π‘Ÿ πœ‹ 3 + π‘Ÿ √ 3 2 
  • B 𝑦 βˆ’ π‘Ÿ 2 = 1 √ 3 ο€Ώ π‘₯ βˆ’ π‘Ÿ πœ‹ 3 βˆ’ π‘Ÿ √ 3 2 
  • C 𝑦 βˆ’ π‘Ÿ 2 = 1 2 ο€Ώ π‘₯ βˆ’ π‘Ÿ πœ‹ 3 βˆ’ π‘Ÿ √ 3 2 
  • D 𝑦 βˆ’ π‘Ÿ 2 = √ 3 ο€Ώ π‘₯ βˆ’ π‘Ÿ πœ‹ 3 + π‘Ÿ √ 3 2 
  • E 𝑦 βˆ’ π‘Ÿ 2 = βˆ’ 1 √ 3 ο€Ώ π‘₯ βˆ’ π‘Ÿ πœ‹ 3 βˆ’ π‘Ÿ √ 3 2 

Encontre todos os pontos na curva onde a tangente Γ© horizontal.

  • A ( πœ‹ π‘Ÿ ( 2 𝑛 βˆ’ 1 ) , 2 π‘Ÿ ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • B ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 2 π‘Ÿ ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • C ( πœ‹ π‘Ÿ ( 2 𝑛 βˆ’ 1 ) , 2 π‘Ÿ ) , ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 0 ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • D ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 0 ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • E ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 0 ) , ( πœ‹ π‘Ÿ ( 2 𝑛 βˆ’ 1 ) , 2 π‘Ÿ ) onde 𝑛 Γ© um inteiro

Encontre todos os pontos na curva onde a tangente Γ© vertical.

  • A ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 0 ) , ( πœ‹ π‘Ÿ ( 2 𝑛 βˆ’ 1 ) , 2 π‘Ÿ ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • B ( πœ‹ π‘Ÿ ( 2 𝑛 βˆ’ 1 ) , 2 π‘Ÿ ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • C ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 0 ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • D ( πœ‹ π‘Ÿ ( 2 𝑛 βˆ’ 1 ) , 2 π‘Ÿ ) , ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 0 ) onde 𝑛 Γ© um inteiro
  • E ( 2 𝑛 πœ‹ π‘Ÿ , 2 π‘Ÿ ) onde 𝑛 Γ© um inteiro

Q16:

Determine todas as equaçáes possΓ­veis das tangentes Γ  curva π‘₯ = 3 𝑑 + 1 2 , 𝑦 = 2 𝑑 + 1 3 que passa pelo ponto ( 4 , 3 ) .

  • A 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 1 , 𝑦 = βˆ’ π‘₯ + 7
  • B 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 1
  • C 𝑦 = βˆ’ 2 π‘₯ + 1 1
  • D 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 1 , 𝑦 = βˆ’ 2 π‘₯ + 1 1
  • E 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 1 , 𝑦 = βˆ’ π‘₯ + 7 , 𝑦 = βˆ’ 2 π‘₯ + 1 1

Q17:

Encontre o valor de π‘š em que a curva π‘₯ = 8 π‘š + 5 π‘š + π‘š βˆ’ 1   , 𝑦 = 5 π‘š βˆ’ π‘š + 2  tem uma tangente vertical.

  • A 1 4 , 1 6
  • B 1 1 0
  • C 1 4
  • D βˆ’ 1 6 , βˆ’ 1 4
  • E 1 6

Q18:

Determine a equação da reta tangente Γ  curva π‘₯ = 𝑛 + 9 𝑛  , 𝑦 = 𝑛  para 𝑛 = βˆ’ 6 .

  • A 4 𝑦 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 1 6 2 = 0
  • B 𝑦 + 4 π‘₯ + 3 6 = 0
  • C βˆ’ 4 𝑦 βˆ’ π‘₯ + 1 2 6 = 0
  • D 𝑦 βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 1 0 8 = 0

Q19:

Determine uma equação da reta tangente Γ  curva π‘₯ = s e n πœ‹ 𝑑 , 𝑦 = 𝑑  + 𝑑 no ponto ( 0 , 2 ) .

  • A 𝑦 = βˆ’ 3 πœ‹ π‘₯ + 2
  • B 𝑦 = βˆ’ πœ‹ 3 π‘₯ + 2
  • C 𝑦 = πœ‹ 3 π‘₯ + 2
  • D 𝑦 = βˆ’ 3 πœ‹ π‘₯ + 2
  • E 𝑦 = 3 πœ‹ π‘₯ + 2

Q20:

Determine a equação da reta perpendicular Γ  curva π‘₯ = 3 πœƒ c o s , 𝑦 = √ 2 + πœƒ s e n em πœƒ = 3 πœ‹ 4 .

  • A 𝑦 βˆ’ 1 3 π‘₯ βˆ’ 4 √ 2 3 = 0
  • B 𝑦 + 1 3 π‘₯ βˆ’ 5 √ 2 3 = 0
  • C 1 3 𝑦 βˆ’ π‘₯ = 0
  • D βˆ’ 1 3 𝑦 βˆ’ π‘₯ + √ 2 = 0

Q21:

Determine a equação da reta tangente Γ  curva π‘₯ = βˆ’ 9 c o s s e c πœƒ , 𝑦 = 4 c o t g πœƒ βˆ’ 5 c o s s e c πœƒ em πœƒ = 5 πœ‹ 3 .

  • A βˆ’ 3 π‘₯ + 𝑦 + 1 6 √ 3 = 0
  • B βˆ’ π‘₯ 3 + 𝑦 = 0
  • C 3 π‘₯ + 𝑦 βˆ’ 2 0 √ 3 = 0
  • D π‘₯ 3 + 𝑦 βˆ’ 4 √ 3 = 0

Q22:

Determine a equação da reta tangente Γ  curva π‘₯ = 5 πœƒ βˆ’ 2 c o t g , 𝑦 = 4 πœƒ + √ 2 πœƒ s e n s e c  no ponto πœƒ = πœ‹ 4 .

  • A βˆ’ 3 π‘₯ 5 + 𝑦 βˆ’ 2 9 5 = 0
  • B 5 π‘₯ 3 + 𝑦 βˆ’ 9 = 0
  • C π‘₯ + 4 𝑦 βˆ’ 3 5 = 0
  • D 3 π‘₯ 5 + 𝑦 βˆ’ 2 9 5 = 0

Q23:

Determine a equação da reta tangente Γ  curva π‘₯ = 9 πœƒ c o s , 𝑦 = √ 2 + 3 πœƒ s e n em πœƒ = 3 πœ‹ 4 .

  • A 1 3 𝑦 βˆ’ π‘₯ βˆ’ √ 2 = 0
  • B 𝑦 βˆ’ 1 3 π‘₯ βˆ’ 5 √ 2 3 = 0
  • C βˆ’ 1 3 𝑦 βˆ’ π‘₯ = 0
  • D 𝑦 + 1 3 π‘₯ βˆ’ 4 √ 2 3 = 0

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