Atividade: Teorema de Green

Nesta atividade, nós vamos praticar o teorema de Green para calcular integrais de linha como a integral da área da região que ela delimita no plano.

Q1:

Seja 𝐢 a circunferΓͺncia com equação π‘₯ + 𝑦 = 1   . Use o Teorema de Green para calcular ο…‡ 2 𝑦 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ 𝑦  d d , onde 𝐢 Γ© percorrido no sentido anti-horΓ‘rio.

  • A 5 πœ‹
  • B βˆ’ 1 0 πœ‹
  • C 1 0 πœ‹
  • D βˆ’ 5 πœ‹
  • E πœ‹

Q2:

Use o teorema de Green para calcular a integral da linha ο…‡ ο€Ή π‘₯ βˆ’ 𝑦  π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 𝑦    d d , onde 𝐢 Γ© o limite da regiΓ£o 𝑅 =  ( π‘₯ , 𝑦 ) 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 , 2 π‘₯ ≀ 𝑦 ≀ 2 π‘₯  :  , e a curva 𝐢 Γ© percorrido no sentido anti-horΓ‘rio.

  • A βˆ’ 1 6 1 5
  • B βˆ’ 8 1 5
  • C 8 1 5
  • D 1 6 1 5
  • E0

Q3:

Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ο…‡ π‘₯ 𝑦 π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 𝑦   d d , onde 𝐢 Γ© o limite de 𝑅 =  ( π‘₯ , 𝑦 ) 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 , π‘₯ ≀ 𝑦 ≀ π‘₯  :  , percorrido no sentido anti-horΓ‘rio.

  • A βˆ’ 1 1 2
  • B0
  • C βˆ’ 5 1 2
  • D 1 1 2
  • E 5 1 2

Q4:

Seja 𝐢 o limite do triΓ’ngulo com vΓ©rtices ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) e ( 0 , 4 ) . Use o Teorema de Green para calcular ο…‡ ο€Ί 𝑒 + 𝑦  π‘₯ + ο€Ί 𝑒 + π‘₯  𝑦        d d , onde 𝐢 Γ© percorrido no sentido anti-horΓ‘rio.

Q5:

Calcule ο…‡ ο€Ή π‘₯ + 𝑦  π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 𝑦    d d , em que 𝐢 π‘₯ = 𝑑 , 𝑦 = 𝑑 : c o s s e n e 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

Q6:

Calcule ο…‡ π‘₯ π‘₯ + 𝑦 𝑦  d d , em que 𝐢 π‘₯ = 2 𝑑 , 𝑦 = 3 𝑑 : c o s s e n e 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

Q7:

Seja 𝐢 o limite do retΓ’ngulo com vΓ©rtices ( 1 , βˆ’ 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( βˆ’ 1 , 1 ) , e ( βˆ’ 1 , βˆ’ 1 ) . Use o Teorema de Green para calcular ο…‡ 𝑒 𝑦 π‘₯ + ο€Ή 𝑦 + 𝑒 𝑦  𝑦     s e n d c o s d , onde 𝐢 Γ© percorrido no sentido anti-horΓ‘rio.

Q8:

Use o teorema de Green para determinar as condiçáes em π‘Ž , 𝑏 , 𝑐 , e 𝑑 para o campo vetorial βƒ— 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 𝑦 , 𝑐 π‘₯ + 𝑑 𝑦 ) ser conservativo. Nesse caso, qual Γ© a função potencial 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) para βƒ— 𝐹 que satisfaz 𝑓 ( 0 , 0 ) = 0 ?

  • A 𝑐 = 𝑏 , 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘Ž 2 π‘₯ + 2 𝑏 π‘₯ 𝑦 + 𝑑 2 𝑦  
  • B 𝑐 = βˆ’ 𝑏 , 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘Ž 2 π‘₯ βˆ’ 𝑏 π‘₯ 𝑦 + 𝑑 2 𝑦  
  • C 𝑐 = βˆ’ 𝑏 , 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘Ž 2 π‘₯ βˆ’ 2 𝑏 π‘₯ 𝑦 + 𝑑 2 𝑦  
  • D 𝑐 = 𝑏 , 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘Ž 2 π‘₯ + 𝑏 π‘₯ 𝑦 + 𝑑 2 𝑦  
  • E 𝑐 = 𝑏 , 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘Ž π‘₯ + 𝑏 π‘₯ 𝑦 + 𝑑 𝑦  

Q9:

A figura mostra o grΓ‘fico de 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 3 ο€Ό π‘₯ + 1 3  ( π‘₯ βˆ’ 1 ) sobre o intervalo [ 0 , 1 ] . Seja 𝑅 a regiΓ£o sombreada e 𝐢 seu limite, traΓ§ado no sentido anti-horΓ‘rio. Seja βƒ— 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 𝑦 βƒ— 𝚀 + 𝑦 βƒ— πš₯ .

Use o teorema de Green para calcular ο…‡ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d .

Calcule ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ   d , onde 𝐢  Γ© a reta de π‘Ž a 𝑏 .

Calcule ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ   d , onde 𝐢  Γ© a curva de 𝑏 a 𝑐 .

Calcule ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ   d , onde 𝐢  Γ© a reta de 𝑐 a π‘Ž .

Q10:

A figura mostra os passos para produzir uma curva 𝐢 . ComeΓ§a como o limite do quadrado unitΓ‘rio na Figura (a). Na Figura (b), removemos um quarto quadrado da Γ‘rea do quadrado em (a). Na Figura (c), adicionamos um quarto quadrado da Γ‘rea que removemos em (b). Na Figura (d), removemos um quarto quadrado da Γ‘rea do quadrado que adicionamos (c). Se continuarmos a fazer isso indefinidamente, obteremos a curva 𝐢 . Seja 𝑅 a regiΓ£o cercada por 𝐢 .

Ao somar uma sΓ©rie adequada, encontre a Γ‘rea da regiΓ£o 𝑅 . DΓͺ sua resposta como uma fração.

  • A 1 4
  • B 3 4
  • C 1 2
  • D 4 5
  • E 2 3

Considere o campo vetorial βƒ— 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ( 𝑦 , 2 π‘₯ ) . Qual Γ© a função πœ• βƒ— 𝐹 πœ• π‘₯ βˆ’ πœ• βƒ— 𝐹 πœ• 𝑦   ?

Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d , onde 𝐢 Γ© a curva acima.

  • A 8 5
  • B 3 4
  • C 4 5
  • D 1 4
  • E 1 5

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