Atividade: Teorema de Green

Nesta atividade, nós vamos praticar o teorema de Green para calcular integrais de linha como a integral da área da região que ela delimita no plano.

Q1:

Use o teorema de Green para determinar as condiçáes em π‘Ž, 𝑏, 𝑐, e 𝑑 para o campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯,𝑦)=(π‘Žπ‘₯+𝑏𝑦,𝑐π‘₯+𝑑𝑦) ser conservativo. Nesse caso, qual Γ© a função potencial 𝑓(π‘₯,𝑦) para ⃗𝐹 que satisfaz 𝑓(0,0)=0?

  • A𝑐=βˆ’π‘,𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘Ž2π‘₯βˆ’π‘π‘₯𝑦+𝑑2π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • B𝑐=𝑏,𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘Žπ‘₯+𝑏π‘₯𝑦+π‘‘π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • C𝑐=𝑏,𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘Ž2π‘₯+2𝑏π‘₯𝑦+𝑑2π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • D𝑐=𝑏,𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘Ž2π‘₯+𝑏π‘₯𝑦+𝑑2π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • E𝑐=βˆ’π‘,𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘Ž2π‘₯βˆ’2𝑏π‘₯𝑦+𝑑2π‘¦οŠ¨οŠ¨

Q2:

Utilize o teorema de Green para determinar ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d, em que 𝐢 Γ© a circunferΓͺncia de raio π‘Ÿ e centro na origem e ⃗𝐹(π‘₯,𝑦)=(2π‘₯+5𝑦,2π‘₯+7𝑦).

  • Aβˆ’2πœ‹π‘ŸοŠ¨
  • B5πœ‹π‘ŸοŠ¨
  • C3πœ‹π‘ŸοŠ¨
  • Dβˆ’5πœ‹π‘ŸοŠ¨
  • Eβˆ’3πœ‹π‘ŸοŠ¨

Q3:

A figura mostra o grΓ‘fico de 𝑓(π‘₯)=βˆ’3ο€Όπ‘₯+13(π‘₯βˆ’1) sobre o intervalo [0,1]. Seja 𝑅 a regiΓ£o sombreada e seu limite 𝐢, traΓ§ado no sentido anti-horΓ‘rio. Seja ⃗𝐹(π‘₯;𝑦)=𝑦⃗𝑖+𝑦⃗𝑗.

Use o teorema de Green para calcular ο…‡βƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d.

Calcule ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŽ d, onde 𝐢 Γ© a reta de π‘Ž a 𝑏.

Calcule ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŽ‘d, onde 𝐢 Γ© a curva de 𝑏 a 𝑐.

Calcule ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŽ’d, onde 𝐢 Γ© a reta de 𝑐 a π‘Ž.

Q4:

A figura mostra as etapas para produzir uma curva 𝐢 . ComeΓ§a como o limite do quadrado unitΓ‘rio na Figura (a). Na Figura (b), removemos um quarto quadrado da Γ‘rea do quadrado em (a). Na Figura (c), adicionamos um quarto quadrado da Γ‘rea que removemos em (b). Na Figura (d), removemos um quarto quadrado da Γ‘rea do quadrado que adicionamos (c). Se continuarmos a fazer isso indefinidamente, obteremos a curva 𝐢. Seja 𝑅 a regiΓ£o delimitada por 𝐢.

Somando uma sΓ©rie adequada, encontre a Γ‘rea da regiΓ£o 𝑅. DΓͺ sua resposta como uma fração.

  • A14
  • B45
  • C12
  • D23
  • E34

Considere o campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯;𝑦)=(𝑦;2π‘₯). Qual Γ© a função πœ•βƒ—πΉπœ•π‘₯βˆ’πœ•βƒ—πΉπœ•π‘¦οŠ¨οŠ§?

Use o teorema de Green para calcular a integral da linha ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d, onde 𝐢 Γ© a curva acima.

  • A45
  • B14
  • C34
  • D85
  • E15

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