Lição de casa da aula: Relacionando o Triângulo de Pascal e o Coeficiente de Expansão do Binômio Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o triângulo de Pascal para encontrar os coeficientes da expansão algébrica de qualquer expressão binomial da forma (a + x) ^ n.

Questão 1

O Ricardo tem vindo a explorar a relação entre o triângulo de Pascal e o binómio de Newton. Ele reparou que cada linha do triângulo de Pascal pode ser utilizado para determinar os coeficientes do binómio de Newton de (𝑥+𝑦), como se mostra na figura. Por exemplo, a quinta linha do triângulo de Pascal pode ser utilizada para determinar os coeficientes da expansão de (𝑥+𝑦).

Calculando a linha seguinte do triângulo de Pascal, determine o coeficiente da expansão de (𝑥+𝑦).

  • A1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • B2, 8, 12, 8, 2
  • C1, 7, 21, 34, 34, 21, 7, 1
  • D1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • E1, 6, 8, 20, 8, 1

O Ricardo pretende agora calcular os coeficientes para cada um dos termos da expansão de (2𝑥+𝑦). Substituindo 2𝑥 na expressão em cima, ou outra, calcule todos os coeficientes da expansão.

  • A8, 64, 24, 8, 1
  • B8, 32, 24, 8, 1
  • C16, 64, 24, 8, 1
  • D16, 32, 24, 8, 1
  • E8, 32, 24, 8, 1

Questão 2

Renato sabe que ele pode usar a 6ª linha do triângulo de Pascal para calcular os coeficientes da expansão (𝑎+𝑏).

Calcule os números na 6ª linha do triângulo de Pascal e, portanto, escreva os coeficientes da expansão (𝑎+𝑏).

  • A1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • B2, 6, 15, 20, 15, 6, 2
  • C1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • D1, 5, 10, 10, 5, 1
  • E1, 3, 3, 1

Agora, considerando as diferentes potências de 𝑎 e 𝑏 e utilizando o triângulo de Pascal, calcule os coeficientes da expansão (2𝑎2𝑏).

  • A32, 160, 320, 320, 160, 32
  • B64, 160, 320, 320, 160, 64
  • C32, 160, 320, 320, 160, 32
  • D64, 160, 320, 640, 160, 64
  • E32, 160, 320, 320, 160, 32

Questão 3

A figura é uma foto parcialmente preenchida do triângulo de Pascal. Ao detectar padrões, ou de outra forma, encontrar os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, e 𝑑.

  • A𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=21, e 𝑑=10
  • B𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=15, e 𝑑=10
  • C𝑎=9, 𝑏=12, 𝑐=21, e 𝑑=10
  • D𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=21, e 𝑑=11
  • E𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=20, e 𝑑=11

Questão 4

Expanda totalmente a expressão (2+3𝑥).

  • A1024+7680𝑥+34560𝑥+103680𝑥+217728𝑥+326592𝑥+349920𝑥+524880𝑥+393660𝑥+196830𝑥+59049𝑥
  • B1024+15360𝑥+34560𝑥+46080𝑥+40320𝑥+24192𝑥+10080𝑥+2880𝑥+540𝑥+60𝑥+3𝑥
  • C1024+15360𝑥+103680𝑥+414720𝑥+1088640𝑥+1959552𝑥+2449440𝑥+2099520𝑥+1180980𝑥+393660𝑥+59049𝑥
  • D1024+5120𝑥+11520𝑥+15360𝑥+13440𝑥+8064𝑥+3360𝑥+960𝑥+180𝑥+20𝑥+𝑥
  • E10240+69120𝑥+276480𝑥+725760𝑥+1306368𝑥+1632960𝑥+1399680𝑥+787320𝑥+262440𝑥+39366𝑥+59049𝑥

Questão 5

Escreva os coeficientes dos termos que resultam da expansão de (𝑥+𝑦).

  • A1,3,3,1
  • B3,6,3
  • C1,2,2,1
  • D3,6,6,3
  • E1,4,6,4,1

Questão 6

Determine a soma dos coeficientes dos termos da expansão de 𝑥+1𝑥.

  • A2
  • B2
  • C0
  • D2

Questão 7

Responda às seguintes questões para a expressão (1+𝑘𝑥).

Sabendo que o coeficiente de 𝑥 é 160 e que 𝑘 é positivo, determine 𝑘.

  • A𝑘=16
  • B𝑘=410
  • C𝑘=4
  • D𝑛=16
  • E𝑘=2

Em seguida, utilizando o valor de 𝑘, determine os primeiros três termos por ordem crescente de potências de 𝑥 da expressão.

  • A1+20𝑥+160𝑥
  • B120𝑥+160𝑥
  • C1+80𝑥+2560𝑥
  • D1+2010𝑥+4010𝑥
  • E1+10𝑥+40𝑥

Questão 8

Escreva os coeficientes dos termos que resultam da expansão de (𝑥+𝑦).

  • A1,5,10,5,1
  • B1,3,3,1
  • C1,2,1
  • D1,4,4,1
  • E1,4,6,4,1

Questão 9

Determine o coeficiente de 𝑥 na expansão de (25𝑥).

Questão 10

Encontre o coeficiente de 𝑥 na expansão de 𝑥+2𝑥𝑥2𝑥.

Questão 11

Encontre o coeficiente de 𝑥 em (1𝑥)(52𝑥).

Questão 12

Determine o coeficiente de 𝑥 na expansão de (2+3𝑥).

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