Atividade: Relacionando o Triângulo de Pascal e o Coeficiente de Expansão do Binômio

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o triângulo de Pascal para encontrar os coeficientes da expansão algébrica de qualquer expressão binomial da forma (a + x) ^ n.

Q1:

O Martim tem vindo a explorar a relação entre o triângulo de Pascal e o binómio de Newton. Ele reparou que cada linha do triângulo de Pascal pode ser utilizado para determinar os coeficientes do binómio de Newton de (𝑥+𝑦), como se mostra na figura. Por exemplo, a quinta linha do triângulo de Pascal pode ser utilizada para determinar os coeficientes da expansão de (𝑥+𝑦).

Calculando a linha seguinte do triângulo de Pascal, determine o coeficiente da expansão de (𝑥+𝑦).

  • A1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • B2, 8, 12, 8, 2
  • C1, 7, 21, 34, 34, 21, 7, 1
  • D1, 6, 8, 20, 8, 1
  • E1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

O Martim pretende agora calcular os coeficientes para cada um dos termos da expansão de (2𝑥+𝑦). Substituindo 2𝑥 na expressão em cima, ou outra, calcule todos os coeficientes da expansão.

  • A8, 64, 24, 8, 1
  • B8, 32, 24, 8, 1
  • C16, 64, 24, 8, 1
  • D8, 32, 24, 8, 1
  • E16, 32, 24, 8, 1

Q2:

Determine o coeficiente de 𝑎 na expansão de 𝑎+1𝑎𝑎+1𝑎.

Q3:

Mark sabe que ele pode usar a 6ª linha do triângulo de Pascal para calcular os coeficientes da expansão (𝑎+𝑏).

Calcule os números na 6ª linha do triângulo de Pascal e, portanto, escreva os coeficientes da expansão (𝑎+𝑏).

  • A1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • B2, 6, 15, 20, 15, 6, 2
  • C1, 3, 3, 1
  • D1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • E1, 5, 10, 10, 5, 1

Agora, considerando as diferentes potências de 𝑎 e 𝑏 e utilizando o triângulo de Pascal, calcule os coeficientes da expansão (2𝑎2𝑏).

  • A64, 160, 320, 320, 160, 64
  • B64, 160, 320, 640, 160, 64
  • C32, 160, 640, 640, 160, 32
  • D32, 160, 320, 320, 160, 32
  • E2, 10, 20, 20, 10, 2

Q4:

A figura é uma foto parcialmente preenchida do triângulo de Pascal. Ao detectar padrões, ou de outra forma, encontrar os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, e 𝑑.

  • A 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 1 5 , 𝑐 = 2 0 , e 𝑑=11
  • B 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 1 5 , 𝑐 = 2 1 , e 𝑑=11
  • C 𝑎 = 6 , 𝑏 = 1 1 , 𝑐 = 1 5 , e 𝑑=10
  • D 𝑎 = 6 , 𝑏 = 1 1 , 𝑐 = 2 1 , e 𝑑=10
  • E 𝑎 = 9 , 𝑏 = 1 2 , 𝑐 = 2 1 , e 𝑑=10

Q5:

Expanda totalmente a expressão (2+3𝑥).

  • A 1 0 2 4 + 5 1 2 0 𝑥 + 1 1 5 2 0 𝑥 + 1 5 3 6 0 𝑥 + 1 3 4 4 0 𝑥 + 8 0 6 4 𝑥 + 3 3 6 0 𝑥 + 9 6 0 𝑥 + 1 8 0 𝑥 + 2 0 𝑥 + 𝑥
  • B 1 0 2 4 + 1 5 3 6 0 𝑥 + 3 4 5 6 0 𝑥 + 4 6 0 8 0 𝑥 + 4 0 3 2 0 𝑥 + 2 4 1 9 2 𝑥 + 1 0 0 8 0 𝑥 + 2 8 8 0 𝑥 + 5 4 0 𝑥 + 6 0 𝑥 + 3 𝑥
  • C 1 0 2 4 + 1 5 3 6 0 𝑥 + 1 0 3 6 8 0 𝑥 + 4 1 4 7 2 0 𝑥 + 1 0 8 8 6 4 0 𝑥 + 1 9 5 9 5 5 2 𝑥 + 2 4 4 9 4 4 0 𝑥 + 2 0 9 9 5 2 0 𝑥 + 1 1 8 0 9 8 0 𝑥 + 3 9 3 6 6 0 𝑥 + 5 9 0 4 9 𝑥
  • D 1 0 2 4 + 7 6 8 0 𝑥 + 3 4 5 6 0 𝑥 + 1 0 3 6 8 0 𝑥 + 2 1 7 7 2 8 𝑥 + 3 2 6 5 9 2 𝑥 + 3 4 9 9 2 0 𝑥 + 5 2 4 8 8 0 𝑥 + 3 9 3 6 6 0 𝑥 + 1 9 6 8 3 0 𝑥 + 5 9 0 4 9 𝑥
  • E 1 0 2 4 0 + 6 9 1 2 0 𝑥 + 2 7 6 4 8 0 𝑥 + 7 2 5 7 6 0 𝑥 + 1 3 0 6 3 6 8 𝑥 + 1 6 3 2 9 6 0 𝑥 + 1 3 9 9 6 8 0 𝑥 + 7 8 7 3 2 0 𝑥 + 2 6 2 4 4 0 𝑥 + 3 9 3 6 6 𝑥 + 5 9 0 4 9 𝑥

Q6:

Encontre o coeficiente de 𝑥 na expansão de (2𝑥+5).

Q7:

Use o triângulo de Pascal para expandir a expressão (𝑥+𝑦).

  • A 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 + 9 𝑥 𝑦 + 4 𝑥 𝑦 + 𝑦
  • B 𝑥 + 3 𝑥 𝑦 + 6 𝑥 𝑦 + 4 𝑥 𝑦 + 𝑦
  • C 𝑥 + 3 𝑥 𝑦 + 9 𝑥 𝑦 + 3 𝑥 𝑦 + 𝑦
  • D 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 + 6 𝑥 𝑦 + 4 𝑥 𝑦 + 𝑦
  • E 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 + 6 𝑥 𝑦 + 4 𝑥 𝑦 + 𝑦

Q8:

Use o triângulo de Pascal para expandir a expressão 𝑥+1𝑥.

  • A 𝑥 + 4 𝑥 + 6 + 1 𝑥 + 1 𝑥
  • B 𝑥 + 6 𝑥 + 6 + 4 𝑥 + 1 𝑥
  • C 𝑥 + 4 𝑥 + 6 + 4 𝑥 + 1 𝑥
  • D 𝑥 + 4 𝑥 + 6 + 4 𝑥 + 1 𝑥
  • E 𝑥 + 4 𝑥 + 6 + 4 𝑥 + 1 𝑥

Q9:

Use o triângulo de Pascal para expandir a expressão (3+𝑥).

  • A 𝑥 + 1 2 𝑥 + 5 4 𝑥 + 9 0 𝑥 + 8 1
  • B 𝑥 + 1 2 𝑥 + 5 4 𝑥 + 1 0 8 𝑥 + 8 1
  • C 𝑥 + 4 𝑥 + 1 8 𝑥 + 3 6 𝑥 + 2 7
  • D 𝑥 + 1 2 𝑥 + 5 4 𝑥 + 1 0 8 𝑥
  • E 𝑥 + 9 𝑥 + 8 1 𝑥 + 8 1 𝑥 + 8 1

Q10:

Escreva os primeiros 5 termos da expansão de (2+𝑥) em potências crescentes de 𝑥.

  • A 2 6 2 1 4 4 + 1 1 7 9 6 4 8 𝑥 + 3 3 4 2 3 3 6 𝑥 + 6 6 8 4 6 7 2 𝑥 + 1 0 0 2 7 0 0 8 𝑥
  • B 2 6 2 1 4 4 + 4 7 1 8 5 9 2 𝑥 + 4 0 1 0 8 0 3 2 𝑥 + 2 1 3 9 0 9 5 0 4 𝑥 + 8 0 2 1 6 0 6 4 0 𝑥
  • C 4 7 1 8 5 9 2 + 2 0 0 5 4 0 1 6 𝑥 + 5 3 4 7 7 3 7 6 𝑥 + 1 0 0 2 7 0 0 8 0 𝑥 + 2 8 0 7 5 6 2 2 4 𝑥
  • D 2 6 2 1 4 4 + 2 3 5 9 2 9 6 𝑥 + 1 0 0 2 7 0 0 8 𝑥 + 2 6 7 3 8 6 8 8 𝑥 + 5 0 1 3 5 0 4 0 𝑥
  • E 2 6 2 1 4 4 + 2 2 2 8 2 2 4 𝑥 + 8 9 1 2 8 9 6 𝑥 + 2 2 2 8 2 2 4 0 𝑥 + 3 8 9 9 3 9 2 0 𝑥

Q11:

Na expansão de um binômio, determine qual das seguintes equivale à relação 2(𝑢)=𝑢+𝑢coecientedecoecientedecoecientede.

  • A 2 ( 𝑢 ) = 𝑢 + 𝑢 c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e
  • B 2 ( 𝑢 ) = 𝑢 + 𝑢 c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e
  • C 2 ( 𝑢 ) = 𝑢 + 𝑢 c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e
  • D 2 ( 𝑢 ) = 𝑢 + 𝑢 c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e c o e c i e n t e d e

Q12:

Use o triângulo de Pascal para determinar os coeficientes dos termos que resultam da expansão de (𝑥+𝑦).

  • A 1 , 6 , 7 , 1 3 , 7 , 6 , 1
  • B 1 , 5 , 1 0 , 1 0 , 5 , 1
  • C 1 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 1
  • D 1 , 6 , 1 5 , 2 0 , 1 5 , 6 , 1
  • E 1 , 3 , 6 , 1 0 , 1 5 , 2 1 , 2 8

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