Atividade: Relacionando o Triângulo de Pascal e o Coeficiente de Expansão do Binômio

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o triângulo de Pascal para encontrar os coeficientes da expansão algébrica de qualquer expressão binomial da forma (a + x) ^ n.

Q1:

O Francisco tem vindo a explorar a relação entre o triângulo de Pascal e o binómio de Newton. Ele reparou que cada linha do triângulo de Pascal pode ser utilizado para determinar os coeficientes do binómio de Newton de ( 𝑥 + 𝑦 ) 𝑛 , como se mostra na figura. Por exemplo, a quinta linha do triângulo de Pascal pode ser utilizada para determinar os coeficientes da expansão de ( 𝑥 + 𝑦 ) 4 .

Calculando a linha seguinte do triângulo de Pascal, determine o coeficiente da expansão de ( 𝑥 + 𝑦 ) 6 .

  • A1, 6, 8, 20, 8, 1
  • B1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • C1, 7, 21, 34, 34, 21, 7, 1
  • D1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • E2, 8, 12, 8, 2

O Francisco pretende agora calcular os coeficientes para cada um dos termos da expansão de ( 2 𝑥 + 𝑦 ) 4 . Substituindo 2 𝑥 na expressão em cima, ou outra, calcule todos os coeficientes da expansão.

  • A16, 32, 24, 8, 1
  • B8, 64, 24, 8, 1
  • C16, 64, 24, 8, 1
  • D8, 32, 24, 8, 1
  • E8, 32, 24, 8, 1

Q2:

Mark sabe que ele pode usar a 6ª linha do triângulo de Pascal para calcular os coeficientes da expansão ( 𝑎 + 𝑏 ) 5 .

Calcule os números na 6ª linha do triângulo de Pascal e, portanto, escreva os coeficientes da expansão ( 𝑎 + 𝑏 ) 5 .

  • A1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • B1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • C1, 3, 3, 1
  • D1, 5, 10, 10, 5, 1
  • E2, 6, 15, 20, 15, 6, 2

Agora, considerando as diferentes potências de 𝑎 e 𝑏 e utilizando o triângulo de Pascal, calcule os coeficientes da expansão ( 2 𝑎 2 𝑏 ) 5 .

  • A32, 160, 320, 320, 160, 32
  • B64, 160, 320, 640, 160, 64
  • C2, 10, 20, 20, 10, 2
  • D64, 160, 320, 320, 160, 64
  • E32, 160, 640, 640, 160, 32

Q3:

A figura é uma foto parcialmente preenchida do triângulo de Pascal. Ao detectar padrões, ou de outra forma, encontrar os valores de 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , e 𝑑 .

  • A 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 1 5 , 𝑐 = 2 0 , e 𝑑 = 1 1
  • B 𝑎 = 6 , 𝑏 = 1 1 , 𝑐 = 2 1 , e 𝑑 = 1 0
  • C 𝑎 = 6 , 𝑏 = 1 1 , 𝑐 = 1 5 , e 𝑑 = 1 0
  • D 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 1 5 , 𝑐 = 2 1 , e 𝑑 = 1 1
  • E 𝑎 = 9 , 𝑏 = 1 2 , 𝑐 = 2 1 , e 𝑑 = 1 0

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