Lição de casa da aula: Fórmulas de Redução para Integração Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a derivar fórmulas de redução e utilizá-las para calcular integrais.

Q1:

Algumas fΓ³rmulas de integração imediata relacionam integrais que envolvem um parΓ’metro inteiro. Seja 𝐼=ο„Έπ‘₯π‘’οŠοŠο— para 𝑛=0,1,2,….

Quanto é 𝐼?

  • Aπ‘₯𝑒+C
  • B𝑒+C
  • Cπ‘₯𝑒+C
  • D𝑒+C
  • Eπ‘₯+C

Utilize 𝑒=𝑒, dd𝑣=π‘₯π‘₯ e integração por partes para deduzir a relação entre 𝐼 e 𝐼. Elimine denominadores, se necessΓ‘rio.

  • A(π‘›βˆ’1)𝐼=π‘₯𝑒+πΌοŠοŠοŠ±οŠ§ο—οŠοŠ°οŠ§
  • B(𝑛+1)𝐼=π‘₯𝑒+πΌοŠοŠοŠ°οŠ§ο—οŠοŠ°οŠ§
  • C(𝑛+1)𝐼=π‘₯π‘’βˆ’πΌοŠοŠοŠ°οŠ§ο—οŠοŠ°οŠ§
  • D𝐼=π‘₯π‘’βˆ’πΌοŠοŠοŠ°οŠ§ο—οŠοŠ°οŠ§
  • E(π‘›βˆ’1)𝐼=π‘₯π‘’βˆ’πΌοŠοŠοŠ±οŠ§ο—οŠοŠ°οŠ§

A partir da resposta anterior, determine a fórmula para 𝐼 em ordem a 𝐼.

  • A𝑛𝐼=π‘₯π‘’βˆ’πΌοŠοŠο—οŠοŠ±οŠ§
  • B𝐼=π‘₯π‘’βˆ’π‘›πΌοŠοŠο—οŠοŠ±οŠ§
  • C𝐼𝑛=π‘₯𝑒+πΌοŠοŠο—οŠοŠ±οŠ§
  • D𝐼𝑛=π‘₯π‘’βˆ’πΌοŠοŠο—οŠοŠ±οŠ§
  • E𝐼=π‘₯𝑒+π‘›πΌοŠοŠο—οŠοŠ±οŠ§

Calcule o integral indefinido ο„Έπ‘₯𝑒π‘₯οŠ©ο—d.

  • Aπ‘₯π‘’βˆ’3π‘₯𝑒+2π‘₯π‘’βˆ’π‘’+οŠ©ο—οŠ¨ο—ο—ο—C
  • Bπ‘₯π‘’βˆ’3π‘₯𝑒+6π‘₯π‘’βˆ’6𝑒+οŠ©ο—οŠ¨ο—ο—ο—C
  • Cπ‘₯π‘’βˆ’3π‘₯π‘’βˆ’6π‘₯π‘’βˆ’6𝑒+οŠ©ο—οŠ¨ο—ο—ο—C
  • Dπ‘₯π‘’βˆ’3π‘₯𝑒+6π‘₯𝑒+6𝑒+οŠ©ο—οŠ¨ο—ο—ο—C
  • Eπ‘₯π‘’βˆ’3π‘₯π‘’βˆ’2π‘₯π‘’βˆ’2𝑒+οŠ©ο—οŠ¨ο—ο—ο—C

Q2:

A tabela a seguir lista as integrais 𝐼=ο„Έπ‘₯π‘₯π‘₯lnd para 𝑛=0,1, e 2.

𝑛012
𝐼π‘₯(π‘₯βˆ’1)+𝐾ln14π‘₯(2π‘₯βˆ’1)+𝐾ln19π‘₯(3π‘₯βˆ’1)+𝐾ln

Use a tabela para prever uma fórmula para 𝐼 e depois verifique isso diferenciando.

  • A𝐼=1(𝑛+1)π‘₯((𝑛+1)π‘₯βˆ’1)+𝐾ln
  • B𝐼=1(π‘›βˆ’1)π‘₯((π‘›βˆ’1)π‘₯βˆ’1)+𝐾ln
  • C𝐼=1(𝑛+1)π‘₯((𝑛+1)π‘₯βˆ’1)+𝐾ln
  • D𝐼=1𝑛π‘₯(𝑛π‘₯βˆ’1)+𝐾ln
  • E𝐼=1(𝑛+1)π‘₯(𝑛π‘₯βˆ’1)+𝐾ln

Escreva o 𝑒 e d𝑣 com o qual vocΓͺ pode provar a fΓ³rmula usando a integração por partes.

  • A𝑒=π‘₯ln, dd𝑣=π‘₯π‘₯
  • B𝑒=π‘₯, dlnd𝑣=π‘₯π‘₯

Q3:

Calcule a integral indefinida ο„Έ(π‘₯)senοŠͺ.

  • A132(π‘₯)+14(2π‘₯)+38π‘₯+sensenc
  • B132(π‘₯)βˆ’14(2π‘₯)+38π‘₯+sensenc
  • C132(4π‘₯)+14(2π‘₯)+38π‘₯+sensenc
  • D132(4π‘₯)βˆ’14(2π‘₯)+38π‘₯+sensenc
  • E132(4π‘₯)βˆ’14(π‘₯)+38π‘₯+sensenc

Q4:

Calcule a integral indefinida ο„Έπ‘₯(12+π‘₯)d.

  • Aπ‘₯24(12+π‘₯)+112(π‘₯)+arctanc
  • Bπ‘₯24(12+π‘₯)+148√3ο€Ώπ‘₯2√3+arctanc
  • Cπ‘₯24(12+π‘₯)+148√3ο€»π‘₯24+arctanc
  • Dπ‘₯24(12+π‘₯)+124ο€Ώπ‘₯2√3+arctanc
  • Eπ‘₯12(12+π‘₯)+148√3ο€Ώπ‘₯2√3+arctanc

Q5:

Calcule a integral indefinida ο„Έπ‘₯𝑒π‘₯οŠ©οŠ¨ο—d.

  • A12π‘₯𝑒+2π‘₯𝑒+2π‘₯𝑒+2𝑒+οŠ©οŠ¨ο—οŠ¨οŠ¨ο—οŠ¨ο—οŠ¨ο—c
  • B12π‘₯𝑒+34π‘₯𝑒+34π‘₯𝑒+38𝑒+οŠ©οŠ¨ο—οŠ¨οŠ¨ο—οŠ¨ο—οŠ¨ο—c
  • C12π‘₯π‘’βˆ’2π‘₯𝑒+2π‘₯π‘’βˆ’2𝑒+οŠ©οŠ¨ο—οŠ¨οŠ¨ο—οŠ¨ο—οŠ¨ο—c
  • D12π‘₯π‘’βˆ’2π‘₯𝑒+2π‘₯π‘’βˆ’2π‘₯𝑒+οŠ©οŠ¨ο—οŠ¨ο—οŠ¨οŠ¨ο—οŠ©οŠ¨ο—c
  • E12π‘₯π‘’βˆ’34π‘₯𝑒+34π‘₯π‘’βˆ’38𝑒+οŠ©οŠ¨ο—οŠ¨οŠ¨ο—οŠ¨ο—οŠ¨ο—c

Q6:

Para calcular a fΓ³rmula de redução de 𝐼=ο„Έπ‘₯π‘₯secd, utilizaremos integração por partes.

Quais sΓ£o as funçáes 𝑒 e d𝑣?

  • A𝑒=π‘₯sec e d𝑣=1
  • B𝑒=π‘₯sec e dsec𝑣=π‘₯
  • C𝑒=π‘₯sec e dsec𝑣=π‘₯
  • D𝑒=1 e dsec𝑣=π‘₯
  • E𝑒=π‘₯sec e dsec𝑣=π‘₯

Qual Γ© a fΓ³rmula de redução de 𝐼=ο„Έπ‘₯π‘₯secd?

  • A𝐼=1π‘›βˆ’1π‘₯π‘₯+π‘›βˆ’2π‘›βˆ’1𝐼tgsec, 𝑛>2
  • B𝐼=1π‘›βˆ’1π‘₯π‘₯βˆ’πΌοŠοŠοŠ±οŠ¨οŠοŠ±οŠ¨tgsec, 𝑛>2
  • C𝐼=1π‘›βˆ’1π‘₯π‘₯βˆ’π‘›βˆ’2π‘›βˆ’1𝐼tgsec, 𝑛>2
  • D𝐼=1π‘›βˆ’1π‘₯π‘₯+π‘›βˆ’2π‘›βˆ’1𝐼tgsec, 𝑛>2
  • E𝐼=π‘₯π‘₯+π‘›βˆ’2π‘›βˆ’1𝐼tgsec, 𝑛>2

Q7:

A fim de provar que a fΓ³rmula de redução para 𝐼=ο„Έπ‘₯π‘₯π‘₯arctgd Γ© 𝐼=π‘₯𝑛+1π‘₯βˆ’1𝑛+1ο„Έπ‘₯1+π‘₯π‘₯arctgd, usamos integração por partes uma vez. Quais sΓ£o as funçáes recomendadas escolhidas para 𝑒 e d𝑣?

  • A𝑒=π‘₯π‘₯arctg e d𝑣=1
  • B𝑒=π‘₯ e darctg𝑣=π‘₯
  • C𝑒=π‘₯arctg e d𝑣=π‘₯
  • D𝑒=π‘₯π‘₯arctg e d𝑣=π‘₯
  • E𝑒=π‘₯π‘₯arctg e d𝑣=π‘₯

Q8:

Qual Γ© a fΓ³rmula de redução de 𝐼=ο„Έπ‘₯β‹…π‘₯π‘₯οŠοŽ•ο‰οŠο‰sencosd?

  • A𝐼=π‘₯β‹…π‘₯𝑛+π‘šβˆ’π‘šβˆ’1𝑛+π‘šπΌοŠοŽ•ο‰οŠοŠ°οŠ§ο‰οŠ±οŠ§οŠοŽ•ο‰οŠ±οŠ¨sencos
  • B𝐼=π‘₯β‹…π‘₯𝑛+π‘š+π‘š+1𝑛+π‘šπΌοŠοŽ•ο‰οŠοŠ°οŠ§ο‰οŠ±οŠ§οŠοŽ•ο‰οŠ±οŠ¨sencos
  • C𝐼=π‘₯β‹…π‘₯𝑛+π‘š+π‘šβˆ’1𝑛+π‘šπΌοŠοŽ•ο‰οŠοŠ°οŠ§ο‰οŠ°οŠ§οŠοŽ•ο‰οŠ±οŠ¨sencos
  • D𝐼=π‘₯β‹…π‘₯𝑛+π‘š+π‘šβˆ’1𝑛+π‘šπΌοŠοŽ•ο‰οŠοŠ°οŠ§ο‰οŠ±οŠ§οŠοŽ•ο‰οŠ±οŠ¨sencos
  • E𝐼=π‘₯β‹…π‘₯𝑛+π‘š+π‘šβˆ’1𝑛+π‘šπΌοŠοŽ•ο‰οŠοŠ±οŠ§ο‰οŠ±οŠ§οŠοŽ•ο‰οŠ±οŠ¨sencos

Usando essa fΓ³rmula de redução, encontre o valor de πΌοŠ¨οŽ•οŠ¨.

  • A𝐼=ο„Έπ‘₯β‹…π‘₯π‘₯=π‘₯β‹…π‘₯4+14ο€Όπ‘₯βˆ’122π‘₯+οˆοŠ¨οŽ•οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ©sencosdsencossenC
  • B𝐼=ο„Έπ‘₯β‹…π‘₯π‘₯=π‘₯β‹…π‘₯4+ο€Όπ‘₯βˆ’122π‘₯+οˆοŠ¨οŽ•οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ©sencosdsencossenC
  • C𝐼=ο„Έπ‘₯β‹…π‘₯π‘₯=π‘₯β‹…π‘₯4βˆ’14ο€Όπ‘₯βˆ’122π‘₯+οˆοŠ¨οŽ•οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ©sencosdsencossenC
  • D𝐼=ο„Έπ‘₯β‹…π‘₯π‘₯=π‘₯β‹…π‘₯4βˆ’18ο€Όπ‘₯βˆ’122π‘₯+οˆοŠ¨οŽ•οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ©sencosdsencossenC
  • E𝐼=ο„Έπ‘₯β‹…π‘₯π‘₯=π‘₯β‹…π‘₯4+18ο€Όπ‘₯βˆ’122π‘₯+οˆοŠ¨οŽ•οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ©sencosdsencossenC

Q9:

Com vista a calcular a fΓ³rmula de redução de 𝐼=ο„Έπ‘₯π‘₯cosd, utilizaremos integração por partes.

Quais sΓ£o as funçáes para 𝑒 e d𝑣?

  • A𝑒=π‘₯cos e d𝑣=1
  • B𝑒=π‘₯cos e dcos𝑣=π‘₯
  • C𝑒=1 e dcos𝑣=π‘₯
  • D𝑒=π‘₯cos e dcos𝑣=π‘₯
  • E𝑒=π‘₯cos e dcos𝑣=π‘₯

Qual Γ© a fΓ³rmula de redução de 𝐼=ο„Έπ‘₯π‘₯cosd?

  • A𝐼=π‘₯π‘₯+π‘›βˆ’1π‘›πΌοŠοŠοŠ±οŠ§οŠοŠ±οŠ¨sencos, 𝑛>0
  • B𝐼=1𝑛π‘₯π‘₯+π‘›βˆ’1π‘›πΌοŠοŠοŠ±οŠ§οŠοŠ±οŠ¨sencos, 𝑛>0
  • C𝐼=1𝑛π‘₯π‘₯βˆ’π‘›βˆ’1π‘›πΌοŠοŠοŠ±οŠ§οŠοŠ±οŠ¨sencos, 𝑛>0
  • D𝐼=1𝑛π‘₯π‘₯+𝐼sencos, 𝑛>0
  • E𝐼=1π‘›βˆ’1π‘₯π‘₯+π‘›βˆ’1π‘›πΌοŠοŠοŠ±οŠ§οŠοŠ±οŠ¨sencos, 𝑛>0

Esta aula inclui 27 variações de questões adicionais para assinantes.

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