Atividade: Matriz de Payoff em Teoria dos Jogos

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a teoria dos jogos, que está utilizando uma matriz para representar payoffs em um jogo como uma aplicação de métodos de álgebra linear e matricial.

Q1:

Jogadores 𝑅 e 𝐢 jogam um jogo no qual ambos dizem "cara" ou "coroa" ao mesmo tempo. Eles usam a matriz de payoff  βˆ’ 2 2 1 βˆ’ 1  , onde a primeira linha e coluna representam "caras" e a segunda linha e coluna representam "coroas". Descreva as regras de payoff para este jogo.

  • ASe os dois jogadores disserem "cara", o jogador 𝐢 ganha 2 pontos do jogador 𝑅 ; se ambos os jogadores disserem "coroa", o jogador 𝐢 ganha 1 ponto do jogador 𝑅 ; e se ambos os jogadores disserem lados diferentes, o jogador 𝑅 ganha 1 ponto do jogador 𝐢 se ele disser "coroa" ou 2 pontos se ele disser "cara".
  • BSe os dois jogadores disserem "cara", o jogador 𝐢 ganha 1 ponto do jogador 𝑅 ; se ambos os jogadores disserem "coroa", o jogador 𝐢 ganha 2 pontos do jogador 𝑅 ; e se ambos os jogadores disserem lados diferentes, o jogador 𝑅 ganha 1 ponto do jogador 𝐢 se ele disser "coroa" ou 2 pontos se ele disser "cara".
  • CSe os dois jogadores disserem "cara", o jogador 𝐢 ganha 1 ponto do jogador 𝑅 ; se ambos os jogadores disserem "coroa", o jogador 𝐢 ganha 2 pontos do jogador 𝑅 ; e se ambos os jogadores disserem lados diferentes, o jogador 𝑅 ganha 2 pontos do jogador 𝐢 se ele disser "coroa" ou 1 ponto se ele disser "cara".
  • DSe os dois jogadores disserem "cara", o jogador 𝐢 ganha 2 pontos do jogador 𝑅 ; se ambos os jogadores disserem "coroa", o jogador 𝐢 ganha 1 ponto do jogador 𝑅 ; e se ambos os jogadores disserem lados diferentes, o jogador 𝑅 ganha 2 pontos do jogador 𝐢 se ele disser "coroa" ou 1 ponto se ele disser "cara".
  • ESe os dois jogadores disserem "cara", o jogador 𝐢 ganha 2 pontos do jogador 𝑅 ; se ambos os jogadores disserem "coroa", o jogador 𝐢 ganha 2 pontos do jogador 𝑅 ; e se ambos os jogadores disserem lados diferentes, o jogador 𝑅 ganha 1 ponto do jogador 𝐢 se ele disser "coroa" ou 1 ponto se ele disser "cara".

Q2:

Qual é a definição de um ponto de sela de uma matriz de payoff?

  • Auma entrada que Γ© o maior mΓ­nimo de linha e o maior mΓ­nimo de coluna ao mesmo tempo
  • Buma entrada que Γ© o menor mΓ‘ximo de linha e o menor mΓ‘ximo de coluna ao mesmo tempo
  • Cuma entrada que Γ© o maior mΓ­nimo de linha e o menor mΓ‘ximo de coluna ao mesmo tempo

Q3:

Use dominΓ’ncia para reduzir a matriz de payoff  1 1 1 0 2 3 4  .

  • A [ 1 ]
  • B [ 4 ]
  • C [ 1 2 ] 
  • D [ 2 ]
  • E [ 1 0 4 ] 

Quais sΓ£o as estratΓ©gias Γ³timas para o jogador 𝑅 (linha) e jogador 𝐢 (coluna)?

  • A 𝑅 = [ 0 1 ] , 𝐢 = [ 1 0 0 ] 
  • B 𝑅 = [ 0 1 ] , 𝐢 = [ 0 1 1 ] 
  • C 𝑅 = [ 1 1 ] , 𝐢 = [ 1 0 0 ] 
  • D 𝑅 = [ 1 0 ] , 𝐢 = [ 1 0 0 ] 
  • E 𝑅 = [ 0 1 ] , 𝐢 = [ 1 0 1 ] 

Q4:

O que vocΓͺ pode concluir se a segunda linha da matriz de payoff 𝑃 nΓ£o domina a quarta linha?

  • AExiste uma coluna 𝑗 com 𝑃 β‰₯ 𝑃  οŽ•  οŠͺ οŽ•  .
  • BExiste uma coluna 𝑗 com 𝑃 > 𝑃  οŽ•  οŠͺ οŽ•  .
  • CExiste uma coluna 𝑗 com 𝑃 ≀ 𝑃  οŽ•  οŠͺ οŽ•  .
  • DExiste uma coluna 𝑗 com 𝑃 < 𝑃  οŽ•  οŠͺ οŽ•  .

Q5:

Suponha que a segunda linha nΓ£o domine a primeira linha da matriz de payoff  π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑  . Se 𝑐 > π‘Ž , o que vocΓͺ pode concluir?

  • A 𝑑 = 𝑏
  • B 𝑑 > 𝑏
  • C 𝑑 ≀ 𝑏
  • D 𝑑 < 𝑏
  • E 𝑑 β‰₯ 𝑏

Q6:

Suponha que a primeira linha domine a segunda linha em uma matriz de payoff 𝑃 . O que isso significa em termos de entradas?

  • ACada entrada na primeira linha Γ© menor que o elemento abaixo dela: 𝑃 < 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑗 .
  • BCada entrada na primeira linha Γ© menor ou igual ao elemento abaixo dela: 𝑃 ≀ 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑗 .
  • CCada entrada na primeira linha Γ© maior que o elemento abaixo dela: 𝑃 > 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑗 .
  • DCada entrada na primeira linha Γ© maior ou igual ao elemento abaixo dela: 𝑃 β‰₯ 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑗 .

Q7:

Um jogo Γ© dado por uma matriz payoff 3 Γ— 4 . O que se entende por uma estratΓ©gia para o jogador 𝐢 (coluna)?

  • Auma matriz 3 Γ— 1 de entradas nΓ£o negativas que somam 3
  • Buma matriz 1 Γ— 3 de entradas nΓ£o negativas que somam 1
  • Cuma matriz 1 Γ— 4 de entradas nΓ£o negativas que somam 4
  • Duma matriz 4 Γ— 1 de entradas nΓ£o negativas que somam 1

Q8:

Utilize a dominΓ’ncia para reduzir a matriz de payoff ⎑ ⎒ ⎒ ⎣ 2 βˆ’ 4 9 1 1 0 βˆ’ 1 βˆ’ 1 βˆ’ 3 1 1 βˆ’ 1 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ ⎦ .

  • A  2 βˆ’ 4 1 1 
  • B  2 βˆ’ 4 9 1 1 0 βˆ’ 1 βˆ’ 1 3 
  • C  2 βˆ’ 4 9 1 1 0 
  • D  βˆ’ 4 9 1 0 
  • E  2 βˆ’ 4 9 βˆ’ 1 βˆ’ 1 βˆ’ 3 

Q9:

Um jogo Γ© dado por uma matriz de payoff 3 Γ— 4 . O que significa uma estratΓ©gia para o jogador 𝑅 (linha)?

  • Auma matriz 3 Γ— 1 de entradas nΓ£o negativas que somam 3
  • Buma matriz 4 Γ— 1 de entradas nΓ£o negativas que somam 1
  • Cuma matriz 1 Γ— 4 de entradas nΓ£o negativas que somam 4
  • Duma matriz 1 Γ— 3 de entradas nΓ£o negativas que somam 1

Q10:

Suponha que a segunda coluna domina a primeira coluna de uma matriz de payoff 𝑃 . O que significa para as entradas de 𝑃 ?

  • ATodas as entradas da segunda coluna sΓ£o maiores que as entradas Γ  sua esquerda: 𝑃 > 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑖 .
  • BTodas as entradas da segunda coluna sΓ£o maiores ou iguais Γ s entradas Γ  sua esquerda: 𝑃 β‰₯ 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑖 .
  • CTodas as entradas da segunda coluna sΓ£o menores que as entradas Γ  sua esquerda: 𝑃 < 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑖 .
  • DTodas as entradas da segunda coluna sΓ£o menores ou iguais Γ s entradas Γ  sua esquerda: 𝑃 ≀ 𝑃  οŽ•   οŽ•  para cada 𝑖 .

Q11:

O que Γ© uma estratΓ©gia pura para um jogador em um jogo com uma matriz de payoff?

  • AΓ‰ uma com todas as entradas iguais a 1.
  • BΓ‰ uma com uma entrada que Γ© igual a 0, enquanto todas as outras sΓ£o iguais a 1.
  • CΓ‰ uma com todas as entradas iguais a 0.
  • DΓ‰ uma com uma entrada que Γ© igual a 1, enquanto todas as outras sΓ£o iguais a 0.
  • EΓ‰ uma com trΓͺs entradas iguais a 1, enquanto todas as outras sΓ£o iguais a 0.

Q12:

A matriz de payoff 𝑃 =  βˆ’ 4 9 1 0  nΓ£o pode ser reduzida.

Qual Γ© o maior mΓ­nimo de linha?

  • A 𝑃 = 9  οŽ• 
  • B 𝑃 = βˆ’ 4  οŽ• 
  • C 𝑃 = 1  οŽ• 
  • D 𝑃 = 0  οŽ• 
  • E | 𝑃 | = βˆ’ 9

Qual Γ© o menor mΓ‘ximo de coluna?

  • A 𝑃 = 1  οŽ• 
  • B 𝑃 = 0  οŽ• 
  • C 𝑃 = 9  οŽ• 
  • D 𝑃 = βˆ’ 4  οŽ• 
  • E | 𝑃 | = βˆ’ 9

Esta matriz de payoff tem um ponto de sela?

  • Asim
  • BnΓ£o

Q13:

Qual das seguintes Γ© uma estratΓ©gia para um jogador em um jogo com uma matriz de payoff 4 Γ— 4 ?

  • A [ 0 , 8 βˆ’ 0 , 3 0 0 , 2 ] 
  • B [ βˆ’ 0 , 5 βˆ’ 0 , 3 0 βˆ’ 0 , 2 ] 
  • C [ 0 , 5 0 , 3 0 , 1 0 , 2 ] 
  • D [ 0 , 5 0 , 3 0 0 , 2 ] 
  • E [ 0 , 6 0 0 0 , 8 ] 

Q14:

Dois jogadores, 𝑅 e 𝐢 estΓ£o jogando um jogo. Em cada turno, o jogador 𝑅 tem trΓͺs movimentos possΓ­veis: π‘Ÿ  , π‘Ÿ  , e π‘Ÿ  , e o jogador 𝐢 tem quatro movimentos possΓ­veis: 𝑐  , 𝑐  , 𝑐  , e 𝑐 οŠͺ .

A entrada 𝑀  οŽ•  da matriz de payoff 𝑀 =  2 1 βˆ’ 2 2 βˆ’ 1 1 βˆ’ 1 2 βˆ’ 2 0 0 0  representa quanto jogador 𝑅 Γ© pago pelo jogador 𝐢 se 𝑅 usa movimento π‘Ÿ  e 𝐢 usa movimento 𝑐  .

Se o jogador 𝑅 escolhe mover π‘Ÿ  e o jogador 𝐢 escolhe mover 𝑐  , quem ganha?

  • Anenhum dos dois
  • Bjogador 𝑅
  • Cjogador 𝐢

Se o jogador 𝑅 escolhe mover π‘Ÿ  e o jogador 𝐢 escolhe mover 𝑐  , quem ganha?

  • Anenhum dos dois
  • Bjogador 𝑅
  • Cjogador 𝐢

Se o jogador 𝐢 pensa que o jogador 𝑅 vai escolher π‘Ÿ  , ele deveria escolher 𝑐  ou 𝑐  ?

  • A 𝑐 
  • B 𝑐 

Qual movimento o jogador 𝐢 deveria escolher se ele acha que aquele jogador 𝑅 vai escolher π‘Ÿ  ?

  • A 𝑐 
  • B 𝑐 οŠͺ
  • C 𝑐 
  • D 𝑐 

Explique por que o jogador 𝐢 nunca deve escolher 𝑐  .

  • Aporque hΓ‘ uma chance de que nenhum dos jogadores ganhe
  • Bporque seja o que 𝑅 escolha, 𝑐  serΓ‘ pelo menos tΓ£o bom quanto 𝑐 
  • Cporque seja o que 𝑅 escolha, 𝑐 οŠͺ serΓ‘ pelo menos tΓ£o bom quanto 𝑐 
  • Dporque seja o que 𝑅 escolha, 𝑐  serΓ‘ pelo menos tΓ£o bom quanto 𝑐 

Que outro movimento nunca serÑ usado pelo jogador 𝐢 ?

  • A 𝑐 
  • B 𝑐 
  • C 𝑐 οŠͺ

Qual seria a matriz de payoff para o mesmo jogo se os jogadores 𝑅 e 𝐢 trocassem de papΓ©is para que os movimentos do jogador 𝐢 fossem listados ao longo das linhas em vez disso?

  • A ⎑ ⎒ ⎒ ⎣ βˆ’ 2 βˆ’ 1 2 βˆ’ 1 1 0 2 βˆ’ 1 0 βˆ’ 2 2 1 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ ⎦
  • B ⎑ ⎒ ⎒ ⎣ βˆ’ 2 1 2 βˆ’ 1 βˆ’ 1 0 2 1 0 βˆ’ 2 βˆ’ 2 1 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ ⎦
  • C ⎑ ⎒ ⎒ ⎣ 2 βˆ’ 1 βˆ’ 2 1 1 0 βˆ’ 2 βˆ’ 1 0 2 2 βˆ’ 1 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ ⎦
  • D  βˆ’ 2 2 βˆ’ 1 βˆ’ 2 1 1 βˆ’ 1 βˆ’ 2 2 0 0 βˆ’ 1 
  • E  2 βˆ’ 2 1 2 βˆ’ 1 βˆ’ 1 1 2 βˆ’ 2 0 0 1 

Q15:

Jogador 𝑅 usa uma estratΓ©gia da forma [ π‘₯ 1 βˆ’ π‘₯ ] , onde 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 , para um jogo com matriz de payoff  βˆ’ 4 9 1 0  .

Para qual valor de π‘₯ sΓ£o [ 1 0 ]  e [ 0 1 ]  ambas as estratΓ©gias Γ³timas para o jogador 𝐢 ?

  • A 3 4
  • B 1 9
  • C 9 1 4
  • D 1 1 4
  • E 4 9

Qual Γ© o resultado esperado neste caso?

  • A 9 1 4
  • B 1 1 4
  • C 3 4
  • D 1 9
  • E 4 9

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