Atividade: Definição Formal de um Limite

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a definição formal de um limite para encontrar o valor de delta para um determinado epsilon.

Q1:

Encontre o maior 𝛿>0 tal que se |π‘₯βˆ’5|<𝛿, entΓ£o |||1π‘₯βˆ’15|||<110. DΓͺ sua resposta como uma fração.

  • A 2 5 3
  • B 5 3 3
  • C 4 7 1 0
  • D 5 3
  • E 1 2 5 5

Q2:

Encontre o maior 𝛿>0 tal que se |π‘₯βˆ’5|<𝛿 , entΓ£o |||1π‘₯βˆ’15|||<πœ€. DΓͺ sua resposta como uma fração envolvendo πœ€.

  • A 2 5 πœ€ 5 πœ€ + 1
  • B 2 5 πœ€ + 1 0 5 πœ€ + 1
  • C βˆ’ 2 5 πœ€ 5 πœ€ + 1
  • D 5 5 πœ€ + 1
  • E βˆ’ 2 5 πœ€ + 1 0 5 πœ€ + 1

Q3:

Encontre o maior π‘Ž>0 tal que se |π‘₯βˆ’π‘Ž|<π‘Ž, entΓ£o |||1π‘₯βˆ’1π‘Ž|||<πœ€. DΓͺ sua resposta como uma fração envolvendo πœ€ e π‘Ž.

  • A π‘Ž πœ€ + 1 π‘Ž πœ€ 
  • B π‘Ž πœ€ βˆ’ 2 π‘Ž π‘Ž πœ€ + 1 
  • C π‘Ž πœ€ + 2 π‘Ž π‘Ž πœ€ + 1 
  • D π‘Ž πœ€ π‘Ž πœ€ + 1 
  • E π‘Ž πœ€ βˆ’ 1 π‘Ž πœ€ 

Q4:

Na figura, temos o grΓ‘fico 𝑦=𝑓(π‘₯) que Γ© crescente e cΓ΄ncavo para cima. PrΓ³ximo a (π‘₯,𝑦) estΓ£o os pontos (π‘Ž,𝑦+π‘˜) e (𝑏,π‘¦βˆ’π‘˜) para um pequeno π‘˜>0.

Qual ponto estΓ‘ mais perto de π‘₯ ao longo do eixo horizontal, π‘Ž ou 𝑏?

  • A 𝑏
  • B π‘Ž

Qual Γ© a distΓ’ncia 𝛿 entre o ponto mais prΓ³ximo e π‘₯ da sua resposta acima? DΓͺ uma expressΓ£o que envolva 𝑓 e valores absolutos.

  • A | | π‘₯ βˆ’ 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) + π‘˜ ) | |  
  • B | | π‘₯ + 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) + π‘˜ ) | |  
  • C | | π‘₯ βˆ’ 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) βˆ’ π‘˜ ) | |  
  • D | | π‘₯ + 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) βˆ’ π‘˜ ) | |  

Use suas respostas acima para encontrar 𝛿 de tal modo que |π‘’βˆ’1|<0,1 sempre que |π‘₯βˆ’0|<𝛿. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

Q5:

A figura mostra o grΓ‘fico de 𝑓(π‘₯)=2π‘₯ em torno do ponto (π‘₯,𝑦) em que π‘₯>0 e 𝑦=𝑓(π‘₯). PrΓ³ximos estΓ£o os pontos ο€Όπ‘Ž,𝑦+12 e 𝑏,π‘¦βˆ’12.

A partir do grΓ‘fico, observando o eixo Oπ‘₯, quais dos pontos π‘Ž e 𝑏 estΓ‘ mais proximo de π‘₯? Seja este nΓΊmero 𝑝.

  • A π‘Ž
  • B 𝑏

Quanto Γ© π‘Ž em termos de π‘₯?

  • A 4 π‘₯ 4 + π‘₯
  • B 4 + π‘₯ 2 π‘₯
  • C 2 π‘₯ 4 + π‘₯
  • D 4 π‘₯
  • E 4 + π‘₯ 4 π‘₯

Afirma-se que se π‘₯>0 e 2π‘₯>12, entΓ£o |||2π‘₯βˆ’2π‘₯|||<12βˆ— desde que |π‘₯βˆ’π‘₯|<π›Ώβˆ— seja verdadeira para todo o 𝛿 pequeno. Qual Γ© o maior 𝛿?

  • A π‘₯ + 4 π‘₯
  • B π‘₯ π‘₯ + 4
  • C π‘₯ π‘₯ + 2 
  • D π‘₯ + 4 π‘₯ 
  • E π‘₯ π‘₯ + 4 

A condição 2π‘₯>12 garante a veracidade da figura. O mesmo 𝛿 resulta se π‘₯β‰₯4?

  • Asim
  • BnΓ£o

Parece que todos os argumentos dependem do facto de o grΓ‘fico da função 𝑓 ter concavidade voltada para cima. Seja 𝑓(π‘₯)=π‘’οŠ±ο—. Determine 𝛿>0 tal que |𝑓(π‘₯)βˆ’π‘“(π‘₯)|<14βˆ— para |π‘₯βˆ’π‘₯|<π›Ώβˆ—. Assuma que π‘₯ Γ© positivo.

  • A 𝛿 = 2 π‘₯ βˆ’ 4 + ( 4 + 𝑒 ) l n l n 
  • B 𝛿 = ( 4 + 𝑒 ) βˆ’ ( 4 ) l n l n  
  • C 𝛿 = ( 4 + 𝑒 ) βˆ’ ( 4 ) l n l n 
  • D 𝛿 = 2 π‘₯ βˆ’ 4 + ( 4 + 𝑒 ) l n l n  
  • E 𝛿 = ( 4 + 𝑒 ) + ( 4 ) l n l n 

Q6:

O grΓ‘fico de 𝑓(π‘₯)=5βˆ’(π‘₯βˆ’2) Γ© cΓ΄ncavo para baixo e decrescente quando π‘₯>2. Queremos encontrar o mΓ‘ximo 𝛿 de modo que, por um dado πœ€>0, segue que se |π‘₯βˆ’3|<𝛿 entΓ£o |𝑓(π‘₯)βˆ’π‘“(3)|<πœ€. Esse 𝛿 serΓ‘, evidentemente, uma função de πœ€.

Qual Γ© a função inversa prΓ³xima de π‘₯=3? DΓͺ uma expressΓ£o para 𝑓(π‘₯).

  • A 2 βˆ’ √ 5 + π‘₯
  • B 2 + √ π‘₯ βˆ’ 5
  • C 2 + √ 5 βˆ’ π‘₯
  • D 2 βˆ’ √ 5 βˆ’ π‘₯
  • E 2 + √ 5 + π‘₯

Usando a concavidade do grΓ‘fico de 𝑓, determine qual ponto Γ© mais prΓ³ximo de 3, 𝑓(4+πœ€) ou 𝑓(4βˆ’πœ€), ao longo do eixo horizontal. (NΓ£o os calcule e considere apenas pequenos πœ€.)

  • A 𝑓 ( 4 βˆ’ πœ€ )  
  • B 𝑓 ( 4 + πœ€ )  

De suas respostas acima, encontre uma expressΓ£o - em termos de πœ€- para o maior 𝛿 de modo que se |π‘₯βˆ’3|<𝛿 entΓ£o 4βˆ’πœ€<𝑓(π‘₯)<4+πœ€.

  • A 1 βˆ’ √ 1 βˆ’ πœ€
  • B 2 + √ 1 βˆ’ πœ€
  • C √ 1 + πœ€ βˆ’ 1
  • D 2 + √ 1 + πœ€

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