Atividade: Definição Formal de um Limite

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a definição formal de um limite para encontrar o valor de delta para um determinado epsilon.

Q1:

Encontre o maior 𝛿 > 0 tal que se | π‘₯ βˆ’ 5 | < 𝛿 , entΓ£o | | | 1 π‘₯ βˆ’ 1 5 | | | < 1 1 0 . DΓͺ sua resposta como uma fração.

  • A 2 5 3
  • B 1 2 5 5
  • C 4 7 1 0
  • D 5 3
  • E 5 3 3

Q2:

Encontre o maior 𝛿 > 0 tal que se | π‘₯ βˆ’ 5 | < 𝛿 , entΓ£o | | | 1 π‘₯ βˆ’ 1 5 | | | < πœ€ . DΓͺ sua resposta como uma fração envolvendo πœ€ .

  • A 2 5 πœ€ + 1 0 5 πœ€ + 1
  • B 5 5 πœ€ + 1
  • C βˆ’ 2 5 πœ€ 5 πœ€ + 1
  • D 2 5 πœ€ 5 πœ€ + 1
  • E βˆ’ 2 5 πœ€ + 1 0 5 πœ€ + 1

Q3:

Encontre o maior 𝛿 > 0 tal que se | π‘₯ βˆ’ π‘Ž | < π‘Ž , entΓ£o | | | 1 π‘₯ βˆ’ 1 π‘Ž | | | < πœ€ . DΓͺ sua resposta como uma fração envolvendo πœ€ e π‘Ž .

  • A π‘Ž πœ€ + 2 π‘Ž π‘Ž πœ€ + 1 
  • B π‘Ž πœ€ + 1 π‘Ž πœ€ 
  • C π‘Ž πœ€ βˆ’ 2 π‘Ž π‘Ž πœ€ + 1 
  • D π‘Ž πœ€ π‘Ž πœ€ + 1 
  • E π‘Ž πœ€ βˆ’ 1 π‘Ž πœ€ 

Q4:

Na figura, temos o grΓ‘fico 𝑦 = 𝑓 ( π‘₯ ) que Γ© crescente e cΓ΄ncavo para cima. PrΓ³ximo a ( π‘₯ , 𝑦 ) estΓ£o os pontos ( π‘Ž , 𝑦 + π‘˜ ) e ( 𝑏 , 𝑦 βˆ’ π‘˜ ) para um pequeno π‘˜ > 0 .

Qual ponto estΓ‘ mais perto de π‘₯ ao longo do eixo horizontal, π‘Ž ou 𝑏 ?

  • A π‘Ž
  • B 𝑏

Qual Γ© a distΓ’ncia 𝛿 entre o ponto mais prΓ³ximo e π‘₯ da sua resposta acima? DΓͺ uma expressΓ£o que envolva 𝑓 e valores absolutos.

  • A | | π‘₯ + 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) βˆ’ π‘˜ ) | |  
  • B | | π‘₯ + 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) + π‘˜ ) | |  
  • C | | π‘₯ βˆ’ 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) βˆ’ π‘˜ ) | |  
  • D | | π‘₯ βˆ’ 𝑓 ( 𝑓 ( π‘₯ ) + π‘˜ ) | |  

Use suas respostas acima para encontrar 𝛿 de tal modo que | 𝑒 βˆ’ 1 | < 0 , 1  sempre que | π‘₯ βˆ’ 0 | < 𝛿 . DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

Q5:

A figura mostra o grΓ‘fico de 𝑓 ( π‘₯ ) = 2 π‘₯ em torno do ponto ( π‘₯ , 𝑦 ) em que π‘₯ > 0 e 𝑦 = 𝑓 ( π‘₯ ) . PrΓ³ximos estΓ£o os pontos ο€Ό π‘Ž , 𝑦 + 1 2  e ο€Ό 𝑏 , 𝑦 βˆ’ 1 2  .

A partir do grΓ‘fico, observando o eixo O π‘₯ , quais dos pontos π‘Ž e 𝑏 estΓ‘ mais proximo de π‘₯ ? Seja este nΓΊmero 𝑝 .

  • A π‘Ž
  • B 𝑏

Quanto Γ© π‘Ž em termos de π‘₯ ?

  • A 4 π‘₯ 4 + π‘₯
  • B 2 π‘₯ 4 + π‘₯
  • C 4 + π‘₯ 2 π‘₯
  • D 4 + π‘₯ 4 π‘₯
  • E 4 π‘₯

Afirma-se que se π‘₯ > 0 e 2 π‘₯ > 1 2 , entΓ£o | | | 2 π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ | | | < 1 2 βˆ— desde que | π‘₯ βˆ’ π‘₯ | < 𝛿 βˆ— seja verdadeira para todo o 𝛿 pequeno. Qual Γ© o maior 𝛿 ?

  • A π‘₯ π‘₯ + 2 
  • B π‘₯ + 4 π‘₯ 
  • C π‘₯ π‘₯ + 4 
  • D π‘₯ π‘₯ + 4
  • E π‘₯ + 4 π‘₯

A condição 2 π‘₯ > 1 2 garante a veracidade da figura. O mesmo 𝛿 resulta se π‘₯ β‰₯ 4 ?

  • AnΓ£o
  • Bsim

Parece que todos os argumentos dependem do facto de o grΓ‘fico da função 𝑓 ter concavidade voltada para cima. Seja 𝑓 ( π‘₯ ) = 𝑒   . Determine 𝛿 > 0 tal que | 𝑓 ( π‘₯ ) βˆ’ 𝑓 ( π‘₯ ) | < 1 4 βˆ— para | π‘₯ βˆ’ π‘₯ | < 𝛿 βˆ— . Assuma que π‘₯ Γ© positivo.

  • A 𝛿 = 2 π‘₯ βˆ’ 4 + ( 4 + 𝑒 ) l n l n  
  • B 𝛿 = 2 π‘₯ βˆ’ 4 + ( 4 + 𝑒 ) l n l n 
  • C 𝛿 = ( 4 + 𝑒 ) βˆ’ ( 4 ) l n l n  
  • D 𝛿 = ( 4 + 𝑒 ) βˆ’ ( 4 ) l n l n 
  • E 𝛿 = ( 4 + 𝑒 ) + ( 4 ) l n l n 

Q6:

O grΓ‘fico de 𝑓 ( π‘₯ ) = 5 βˆ’ ( π‘₯ βˆ’ 2 )  Γ© cΓ΄ncavo para baixo e decrescente quando π‘₯ > 2 . Queremos encontrar o mΓ‘ximo 𝛿 de modo que, por um dado πœ€ > 0 , segue que se | π‘₯ βˆ’ 3 | < 𝛿 entΓ£o | 𝑓 ( π‘₯ ) βˆ’ 𝑓 ( 3 ) | < πœ€ . Esse 𝛿 serΓ‘, evidentemente, uma função de πœ€ .

Qual Γ© a função inversa prΓ³xima de π‘₯ = 3 ? DΓͺ uma expressΓ£o para 𝑓 ( π‘₯ )   .

  • A 2 + √ 5 + π‘₯
  • B 2 βˆ’ √ 5 βˆ’ π‘₯
  • C 2 βˆ’ √ 5 + π‘₯
  • D 2 + √ 5 βˆ’ π‘₯
  • E 2 + √ π‘₯ βˆ’ 5

Usando a concavidade do grΓ‘fico de 𝑓 , determine qual ponto Γ© mais prΓ³ximo de 3, 𝑓 ( 4 + πœ€ )   ou 𝑓 ( 4 βˆ’ πœ€ )   , ao longo do eixo horizontal. (NΓ£o os calcule e considere apenas pequenos πœ€ .)

  • A 𝑓 ( 4 βˆ’ πœ€ )  
  • B 𝑓 ( 4 + πœ€ )  

De suas respostas acima, encontre uma expressΓ£o - em termos de πœ€ - para o maior 𝛿 de modo que se | π‘₯ βˆ’ 3 | < 𝛿 entΓ£o 4 βˆ’ πœ€ < 𝑓 ( π‘₯ ) < 4 + πœ€ .

  • A √ 1 + πœ€ βˆ’ 1
  • B 1 βˆ’ √ 1 βˆ’ πœ€
  • C 2 + √ 1 + πœ€
  • D 2 + √ 1 βˆ’ πœ€

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