Atividade: Valores Esperados de Variáveis Aleatórias Discretas

Nesta atividade, nós vamos praticar a calcular o valor esperado de uma tabela e um gráfico e aprender a calcular a variação para uma distribuição de probabilidade.

Q1:

Calcule o valor esperado da variável aleatória 𝑋cuja distribuição de probabilidade é mostrada.

Q2:

A função na tabela apresentada é a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋. Determine o valor de 𝑎.

𝑥 0 1 2 3 4
𝑓 ( 𝑥 ) 2 𝑎 0,3 0,3 𝑎 𝑎

Q3:

A função na tabela dada é uma função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋. Encontre o valor esperado de 𝑋.

𝑥 1 3 4 6
𝑓 ( 𝑥 ) 1 0 2 7 8 𝑎 6 𝑎 1 9
  • A 2 8 6 2 7
  • B 5 8 2 7
  • C 7 6 2 7
  • D15

Q4:

A tabela de frequências mostra o número de carros que 65 famílias têm.

Número de Carros 1 2 3 4
Frequência 10 35 15 5

Determine a médio do número de carros por família.

  • A 2 2 9
  • B 1 3 2
  • C 2 9 2
  • D 1 3 2 9
  • E 2 9 1 3

Estes dados podem ser interpretados como uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória discreta 𝑋, como se mostra. Determine o valor de 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑.

𝑥 1 2 3 4
𝑝 ( ) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
  • A 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 9 1 3 , 𝑑 = 1 1 3
  • B 𝑎 = 1 1 0 , 𝑏 = 2 3 5 , 𝑐 = 1 5 , 𝑑 = 4 5
  • C 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 9 1 3 , 𝑑 = 4 1 3
  • D 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 3 1 3 , 𝑑 = 1 1 3
  • E 𝑎 = 1 1 1 3 , 𝑏 = 6 1 3 , 𝑐 = 1 0 1 3 , 𝑑 = 1 2 1 3

Calcule o valor esperado de 𝑋.

  • A 2 9 1 3
  • B 2 9 2
  • C 2 2 9
  • D 1 3 2
  • E 1 3 2 9

Q5:

A tabela mostra a distribuição de probabilidade de um dado cúbico equilibrado. Determine 𝐸(𝑋).

𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑝 ( ) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

Q6:

A variável aleatória discreta 𝑋 tem a distribuição de probabilidade mostrada.

𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑝 ( ) 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1 𝑘

Encontre o valor de 𝑘.

Portanto, determine o valor esperado de 𝑋.

Q7:

Um experimento produz a variável aleatória discreta 𝑋 que tem a distribuição de probabilidade mostrada. Se um número muito alto de estudos fosse realizado, qual seria a média provável de todos os resultados?

𝑥 2 3 4 5
𝑝 ( 𝑥 ) 0,1 0,3 0,2 0,4

Q8:

Calcule o valor esperado da variável aleatória 𝑋 cuja distribuição de probabilidade é mostrada.

Q9:

Determine o valor esperado da variável aleatória 𝑋 cuja distribuição de probabilidade é a que se apresenta.

Q10:

A função na tabela é a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋. Sabendo que o valor esperado de 𝑋 é 4, determine os valores de 𝑎 e 𝑏.

𝑥 1 3 𝑏 5 6
𝑓 ( 𝑥 ) 0,2 0,2 𝑎 0,2 0,3
  • A 𝑎 = 0 , 1 , 𝑏 = 3
  • B 𝑎 = 0 , 𝑏 = 3
  • C 𝑎 = 0 , 1 , 𝑏 = 4
  • D 𝑎 = 0 , 2 , 𝑏 = 5

Q11:

A função na tabela dada é uma função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋. Encontre o valor de 𝑎.

𝑥 2 3 4 5
𝑓 ( 𝑥 ) 7 𝑎 5 𝑎 9 𝑎 3 𝑎
  • A0
  • B 1 1 2
  • C 1 2 4
  • D 1 7

Q12:

Uma experiência que produz uma variável aleatória discreta 𝑋 tem a distribuição de probabilidade apresentada.

𝑥 2 3 4 5
𝑝 ( 𝑥 ) 0,1 0,3 0,2 0,4

Calcule 𝐸(𝑋).

Calcule 𝐸𝑋.

A variância de 𝑋 pode ser calculada utilizando a fórmula Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋). Calcule Var(𝑋) com 2 casas decimais.

Q13:

A função na tabela apresentada é a função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋. Sabendo que o valor esperado de 𝑋 é 25457, determine o valor de 𝐵.

𝑥 1 2 𝐵 7
𝑓 ( 𝑥 ) 8 𝑎 3 𝑎 1 3 8 𝑎

Q14:

Determine o valor esperado da variável aleatória 𝑋 cuja distribuição de probabilidade é a apresentada.

Q15:

Melissa tinha uma roleta com dez seções iguais rotuladas com os números de 1 a 10. Ela girou 300 vezes e registrou os resultados em uma tabela de frequência.

Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frequência 35 27 22 11 24 28 33 35 49 36

Se a roleta fosse justa, quantas vezes você esperaria ver cada número se você a girasse 300 vezes?

Indique se a roleta é tendenciosa e por quê.

  • AA roleta é tendenciosa porque os números não aparecem exatamente 30 vezes cada.
  • BA roleta é tendenciosa porque o número 4 aparece apenas com a metade da frequência esperada e o número 9 aparece com muito mais freqüência do que o esperado.
  • CA roleta não é tendenciosa porque a maioria dos números apareceu em torno de 30 vezes.

Q16:

A função na tabela dada é uma função de probabilidade de uma variável aleatória discreta 𝑋. Encontre o valor esperado de 𝑋.

𝑥 0 1 2 3 4
𝑓 ( 𝑥 ) 0,1 𝑎 0,1 0,4 0,2

Q17:

Seja que 𝑋 denote uma variável aleatória discreta que pode levar os valores 1,𝑀,1e. Dado que 𝑋 tem função de distribuição de probabilidade 𝑓(𝑥)=𝑥+26, encontre o valor esperado de 𝑋.

  • A 1 3
  • B1
  • C 8 3
  • D 2 3

Q18:

Seja que 𝑋 denote uma variável aleatória discreta que pode levar os valores 1, 2, 3, 4, e 5. Dado que 𝑃(𝑋=1)=733, 𝑃(𝑋=2)=833, 𝑃(𝑋=3)=111, e 𝑃(𝑋=4)=133, encontre o valor esperado de 𝑋.

  • A16
  • B 1 4 4 1 1
  • C 1 0 6 3 3
  • D 1 2 1 1

Q19:

Seja 𝑋 uma variável aleatória discreta que toma os valores 4, 5, 8 e 10. Sabendo que 𝑃(𝑋=4)=427, 𝑃(𝑋=5)=527 e 𝑃(𝑋=8)=827, determine o valor esperado de 𝑋. Apresente a resposta com duas casas decimais.

Q20:

Seja que 𝑋 denote uma variável aleatória discreta que pode levar os valores 2, 0, e 5. Dado que a expectativa de 𝑋 é 0,03 e 𝑃(𝑋=2)=925, encontre 𝑃(𝑋=5).

  • A 5 1 1 0 0
  • B 3 2 0
  • C 1 6 2 5
  • D 9 2 5

Q21:

A variável aleatória discreta 𝑋 tem a distribuição de probabilidade dada.

𝑥 1 2 3 4
𝑝 ( ) 𝑘 1 𝑘 2 𝑘 3 𝑘 4

Encontre o valor de 𝑘.

  • A 1 1 0
  • B 1 2 1 3
  • C 6 1 1
  • D 2 5 1 2
  • E 1 2 2 5

Então, determine o valor esperado de 𝑋.

  • A 2 4 1 1
  • B 4 8 1 3
  • C 2 5 3
  • D 2 5
  • E 4 8 2 5

Q22:

Uma variável aleatória discreta 𝑋 tem uma distribuição de probabilidade uniforme tal que 𝑃(𝑋=𝑥)=111, em que 𝑥{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Determine 𝐸(𝑋).

Q23:

23 alunos fizeram um exame; 7 alunos conseguiram nota 3, 8 alunos conseguiram nota 8, e 8 alunos conseguiram nota 2. Dado que 𝑋 denota o número de notas recebidas, encontrar o valor esperado de 𝑋. Se necessário, arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

Q24:

Em um experimento, Milena vai girar uma roleta justa de quatro lados numerados de 1 a 4. Priscila diz que o valor esperado do experimento é 2,5. Milena discorda quando diz que é impossível girar 2,5 e sugere que o valor esperado é 3. Quem está correta e por quê?

  • APriscila está correta porque o valor esperado é o resultado médio de um experimento após um grande número de tentativas, que é de 2,5 neste caso.
  • BMilena está correta porque o valor esperado é o resultado médio de um experimento após um grande número de tentativas, que é de 2,5 neste caso. No entanto, isso não pode ser obtido no controle giratório, portanto, ele deve ser arredondado para o número inteiro mais próximo, que é 3.

Q25:

Em um experimento, Lúcia rola dois dados de seis lados e adiciona os números. A distribuição de probabilidade do experimento é mostrada.

𝑥 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑝 ( ) 1 3 6 2 3 6 𝑎 4 3 6 𝑏 𝑐 5 3 6 𝑑 3 3 6 2 3 6 1 3 6

Encontre o valor de 𝑎, 𝑏, 𝑐, e 𝑑.

  • A 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 1 3 6 , 𝑑 = 4 3 6
  • B 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 6 3 6 , 𝑑 = 7 3 6
  • C 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 1 3 6 , 𝑑 = 3 3 6
  • D 𝑎 = 5 3 6 , 𝑏 = 3 3 6 , 𝑐 = 6 3 6 , 𝑑 = 4 3 6
  • E 𝑎 = 3 3 6 , 𝑏 = 5 3 6 , 𝑐 = 6 3 6 , 𝑑 = 4 3 6

Qual é o valor esperado do experimento?

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