Pop Video: Já se Perguntou Por Que Cortar um Cone dá Uma Elipse? Isso é Maravilhosamente Inteligente!

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Suponha que você goste de matemática. E você teve que escolher apenas uma prova para mostrar a alguém para explicar por que a matemática é bonita. Algo que pode ser apreciado por qualquer pessoa de uma ampla variedade de origens, enquanto ainda captura o espírito de progresso e inteligência em matemática. O que você escolheria?

Bem, depois que eu publiquei um vídeo na última palestra de Fineman, sobre porque os planetas orbitam em elipses, publicado como um vídeo convidado no MinutePhysics. Alguém no Reddit perguntou por que a definição de uma elipse dada naquele vídeo, as duas tachinhas clássicas em uma peça de construção de cordas, é a mesma da definição que envolve fatiar um cone. Bem, meu amigo, você perguntou sobre uma das minhas provas favoritas de todos os tempos. Uma adorável parte da geometria 3D, que, apesar de exigir quase nenhum histórico, ainda captura o espírito da inventividade matemática.

Para o contexto e para garantir que estamos todos na mesma página, há pelo menos três maneiras principais de definir geometricamente uma elipse. Uma é dizer que você faz um círculo e apenas o estica em uma dimensão. Por exemplo, talvez você considere todos os pontos como coordenadas 𝑥, 𝑦. E o que você faz é multiplicar apenas a coordenada 𝑥 por algum fator especial para todos os pontos. Outra são as duas tachinhas clássicas em uma peça de construção de cordas. Onde você enrola uma corda em torno de duas tachinhas presas em um pedaço de papel e a estica com um lápis. E, em seguida, traça mantendo a corda esticada o tempo todo.

O que você está desenhando ao fazer isso é o conjunto de todos os pontos. Para que a soma das distâncias entre cada ponto do lápis e os dois pontos da tachinha permaneça constante. Esses dois pontos de tachinha são chamados de foco da elipse. E o que estamos dizendo aqui é que essa propriedade de soma focal constante pode ser usada para definir o que é uma elipse. E ainda outra maneira de definir uma elipse é cortar um cone com um plano em ângulo. Um ângulo menor que a inclinação do próprio cone. A curva dos pontos onde este plano e o cone se cruzam forma uma elipse. É por isso que você costuma ouvir elipses chamadas de seção cônica.

Agora, é claro, uma elipse não é apenas uma curva. É uma família de curvas, variando de um círculo perfeito a algo infinitamente esticado. A forma específica de uma elipse é normalmente quantificada com um número chamado excentricidade. Que às vezes eu apenas leio na minha cabeça como esmagamento. Um círculo tem excentricidade zero. E quanto mais esmagada a elipse, mais próxima sua excentricidade fica do número um. Por exemplo, a órbita da Terra tem uma excentricidade de 0.0167, esmagamento muito baixo. Ou seja, está quase perto de ser apenas um círculo. Enquanto o cometa Halley tem uma órbita com excentricidade 0.9671, esmagamento muito alto.

Na definição de tachinha de uma elipse com base na soma constante das distâncias de cada ponto aos dois focos. Essa excentricidade é determinada pela distância entre as duas tachinhas. Especificamente, é a distância entre os focos divididos pelo comprimento do eixo mais longo da elipse. Para fatiar um cone, a excentricidade é determinada pela inclinação do plano que você usou para fatiar. E você pode justificadamente perguntar, especialmente se você é um usuário do Reddit, por que diabos essas três definições têm algo a ver uma com a outra? Quero dizer, claro, meio que faz sentido que cada uma produza uma volta esticada e vagamente oval. Mas por que a família de curvas produzidas por esses três métodos totalmente diferentes tem exatamente as mesmas formas?

Em particular, quando eu era mais jovem, lembro-me de me sentir realmente surpreso que cortar um cone produziria uma forma tão simétrica. Você pode pensar que a parte da interseção mais abaixo poderia inchar e produzir uma forma de ovo mais desigual. Mas não, a curva de interseção é uma elipse, a mesma curva evidentemente simétrica que você obteria apenas esticando um círculo ou traçando em volta de duas tachinhas. Mas é claro que a matemática tem tudo a ver com provas. Então, como você demonstra firmemente que essas três famílias de curvas são realmente iguais? Por exemplo, vamos focar nossa atenção em apenas uma dessas equivalências. Ou seja, cortar um cone nos dará uma curva que também pode ser desenhada usando a construção de tachinhas.

O que você precisa mostrar aqui é que existem dois pontos de tachinhas em algum lugar dentro desse plano de fatiamento. De modo que a soma das distâncias de qualquer ponto da curva de interseção até esses dois pontos permaneça constante. Não importa onde você esteja nessa curva de interseção. Vi pela primeira vez o truque para mostrar por que isso é verdade no magnífico livro de Paul Lockhart, Measurement. O que eu recomendo para qualquer pessoa jovem ou idosa que precise de um lembrete do fato de que a matemática é uma forma de arte. O golpe de gênio ocorre no primeiro passo, que consiste em introduzir duas esferas nessa imagem, uma acima da planície e outra abaixo dela. Cada uma delas é do tamanho certo. Para ser tangente ao cone ao longo de um círculo de pontos e tangente ao plano em apenas um ponto. Porque você pensa em fazer isso, de todas as coisas, é uma pergunta difícil de responder, e que voltaremos a fazer.

Agora, digamos que você tenha uma mente particularmente divertida que adora se envolver com a forma como diferentes objetos geométricos se encaixam. Mas assim que esses medos aparecerem aqui, aposto que você pode provar o resultado desejado. Aqui, ajudarei você a passar por isso. Mas a qualquer momento, se você se sentir inspirado, faça uma pausa e tente continuar sem mim. Primeiro, essas esferas introduziram dois pontos especiais dentro da curva, os pontos em que são tangentes ao plano. Um palpite tão razoável pode ser que esses dois pontos de tangência sejam os pontos de foco. Isso significa que você deseja desenhar linhas a partir desses focos até algum ponto ao longo da elipse. E, finalmente, o objetivo é entender qual é a soma das distâncias dessas duas linhas. Ou, pelo menos, para entender por que essa soma não depende de onde você está ao longo da elipse.

Lembre-se, o que torna essas linhas especiais é que cada uma delas não toca apenas uma das esferas. Na verdade, é tangente a essa esfera no ponto em que toca. E, em geral, para qualquer problema de matemática, você deseja usar os recursos definidores de todos os objetos envolvidos. Outro exemplo aqui é o que define as esferas. Não é apenas o fato de serem tangentes ao plano. Mas elas também são tangentes ao cone, cada uma em algum círculo de pontos de tangência. Então, você precisará usar esses dois círculos de pontos de tangência de alguma forma. Mas como exatamente? Uma coisa que você pode fazer é desenhar uma linha reta do círculo superior até o inferior ao longo do cone.

E há algo em fazer isso que lembra vagamente a propriedade de tachinhas de soma constante e, portanto, promissor. Veja bem, ela passa pela elipse. E assim, cortando essa linha no ponto em que cruza a elipse, você pode pensar nela como a soma de dois segmentos de reta. Cada um atingindo o mesmo ponto na elipse. E você pode fazer isso através de vários pontos diferentes da elipse, dependendo de onde você está ao redor do cone. Sempre obtendo dois segmentos de reta com uma soma constante. Ou seja, seja qual for a distância da linha reta do círculo superior ao círculo inferior.

Então você entende o que quero dizer sobre ser vagamente análogo à propriedade das tachinhas. E que todo ponto da elipse nos dá duas distâncias cuja soma é uma constante. Concedidos esses comprimentos não estão nos pontos focais. Eles estão no grande e no pequeno círculo. Mas talvez isso o leve a fazer a seguinte conjectura. A distância de um determinado ponto nesta elipse, essa curva de interseção, diretamente para o grande círculo é, você conjectura, igual à distância do ponto em que essa grande esfera é tangente ao plano, nosso primeiro ponto de foco proposto. Da mesma forma, talvez a distância desse ponto na elipse ao pequeno círculo seja igual à distância desse ponto ao segundo ponto de foco proposto, onde a pequena esfera toca o plano.

Então isso é verdade? Bem, sim. Aqui, vamos dar um nome a esse ponto que temos na elipse 𝑄. A chave é que a reta de 𝑄 ao primeiro foco proposto é tangente à grande esfera. E a reta de 𝑄 reta ao longo do cone também é tangente à grande esfera. Aqui, vamos ver uma imagem diferente para obter mais clareza. Se você tiver várias retas desenhadas de um ponto comum para uma esfera, todas elas são tangentes a essa esfera. Provavelmente, é possível ver apenas pela simetria da configuração que todas essas retas precisam ter o mesmo comprimento. Na verdade, incentivo você a tentar provar isso sozinho ou, caso contrário, fazer uma pausa e refletir sobre a prova que deixei na tela.

Mas, olhando para a nossa configuração de corte de cone, sua conjectura estaria correta. As duas retas que se estendem do ponto 𝑄 na elipse tangente à esfera grande têm o mesmo comprimento. Da mesma forma, a reta de 𝑄 até o segundo ponto de foco proposto é tangente à pequena esfera, assim como a reta de 𝑄 reta ao longo do cone. Então essas duas também têm o mesmo comprimento. E assim, a soma das distâncias de 𝑄 até os dois pontos de foco propostos é a mesma da distância em linha reta do pequeno círculo até o grande círculo ao longo do cone, passando por 𝑄. E claramente, isso não depende de qual ponto da elipse você escolheu para 𝑄. Bada boom, bada bing, cortar o cone é o mesmo que a construção de tachinhas. Como a curva resultante possui a propriedade de soma focal constante.

Agora, essa prova foi encontrada pela primeira vez por Germinal-G-Germinal-Germa-, que se importa com Dandelin, um cara chamado Dandelin em 1822. Portanto, essas duas esferas às vezes são chamadas de esferas Dandelin. Você também pode usar o mesmo truque para mostrar por que cortar um cilindro em ângulo dará uma elipse. E se você se sentir confortável com a afirmação de que projetar uma forma de um plano para outro plano inclinado tem o efeito de simplesmente esticar essa forma. Isso também mostra por que a definição de uma elipse como um círculo esticado é a mesma que as outras duas. Mais lição de casa. Então, por que eu acho que essa prova é uma representante tão boa para a matemática? Que, se você tivesse que mostrar apenas uma coisa para explicar a um entusiasta não matemático por que você ama o assunto, por que essa seria uma boa candidata?

A razão óbvia é que é substantiva e bonita sem exigir muito histórico. Mais do que isso, reflete uma característica comum da matemática que às vezes não existe uma maneira única e mais fundamental de definir algo. Que o que importa mais é mostrar equivalências. E mais do que isso, a prova em si envolve um momento chave da construção criativa, adicionando as duas esferas. Enquanto a maioria deixa espaço para uma abordagem agradável, sistemática e baseada em princípios. E esse tipo de construção criativa é, eu acho, um dos aspectos mais instigantes da descoberta matemática. E você pode, compreensivelmente, perguntar de onde vem essa ideia.

De fato, falando sobre essa prova específica, eis o que Paul Lockhart diz em Measurement. Como as pessoas apresentam argumentos tão engenhosos? É o mesmo que as pessoas inventam com Madame Bovary ou Mona Lisa. Não tenho ideia de como isso acontece. Só sei que, quando isso acontece comigo, me sinto muito feliz. Eu concordo, mas acho que podemos dizer pelo menos um pouco mais sobre isso. Embora seja engenhoso, talvez possamos decompor como alguém que mergulhou em vários outros problemas de geometria pode estar particularmente preparado para pensar em adicionar essas esferas específicas.

Primeiro, uma tática comum em geometria é relacionar um comprimento a outro. E nesse problema, você sabe desde o início que ser capaz de relacionar esses dois comprimentos aos focos com outros dois comprimentos, especialmente aqueles que se alinham, seria algo útil. Mesmo assim, no início, você nem sabe onde estão os pontos de foco. E mesmo que não esteja exatamente claro como você faz isso, jogar esferas na imagem não é tão louco.

Novamente, se você construiu um relacionamento com a geometria através da prática. Você estaria familiarizado com a maneira que relacionar um comprimento a outro acontece o tempo todo quando círculos e esferas estão na imagem. Porque ele corta diretamente para a característica definidora do que significa ser um círculo ou uma esfera. E este é obviamente um exemplo muito específico. Mas o que quero dizer é que muitas vezes você pode ver vislumbres de engenhosidade. Não como milagres inexplicáveis, mas como resíduo da experiência. E quando você o faz, a ideia de gênio passa de fascinante para ativamente inspiradora.