Vídeo: Estimando os Porcentuais Populacionais de uma Distribuição Normal em um Contexto

As massas de uma população de melros são normalmente distribuídas com média de 103 g e desvio padrão de 11 g. Para o inteiro mais próximo, que porcentagem de melros tem massa menor que 110 g? Para o décimo mais próximo, que porcentagem de melros tem massa maior que 124 g? Para o número inteiro mais próximo, que porcentagem de melros tem massa entre 95 e 120 g?

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Transcrição do vídeo

As massas de uma população de melros são normalmente distribuídas com média de 103 gramas e desvio padrão de 11 gramas. Este é um contexto de uma pergunta com várias partes; a primeira parte é “para o número inteiro mais próximo, que porcentagem de melros tem menos de 110 gramas?”

Vamos chamar a distribuição das massas da população de melros 𝑋. Nos é dito na pergunta que 𝑋 é normalmente distribuída. Então segue uma distribuição normal com média 𝜇 e variância 𝜎 ao quadrado. E ainda nos é dito que a média é de 103 gramas e o desvio padrão é de 11 gramas. Então a variância é 11 ao quadrado.

Então, agora que interpretamos o contexto da pergunta, podemos responder a primeira parte. Foi pedido para encontrar a porcentagem de melros que têm uma massa de menos de 110 gramas. Outra maneira de perguntar isso é dizer qual é a probabilidade de que, se sortearmos um melro aleatoriamente da população, obtemos um melro com uma massa de menos de 110 gramas?

Acabei de escrever esta observação. Agora, por que essa observação é útil? Bem, porque temos a distribuição das massas dos melros, sabemos que essa variável aleatória 𝑋, que é a distribuição das massas dos melros, é normalmente distribuída com média de 103 e desvio-padrão 11 ou variância de 11 ao quadrado. Assim, a proporção que procuramos é a probabilidade de que 𝑋 seja menor que 110.

Como você encontra essa probabilidade de que 𝑋 é menor que 110? Bem, existem três possibilidades, dependendo da sua calculadora. A primeira possibilidade é que a calculadora que você está usando fornece uma probabilidade para qualquer distribuição normal. Existe então uma maneira de entrar com a média 103, o desvio padrão 11 e o limite superior 110 na sua calculadora. E isso calcula a probabilidade sem que você tenha que fazer mais nenhum trabalho.

Você também pode ser obrigado a dar o limite inferior do intervalo que você deseja encontrar a probabilidade de. Nesse caso, matematicamente falando, o limite inferior é menos infinito. Mas, na prática, podemos substituir esse menos infinito por um número realmente negativo, digamos, menos 1000000, e obteremos a resposta correta na prática. E se sua calculadora lhe permite fazer isso, então você deve obter uma resposta de 0.73773, algo, algo, algo; continua. E para a porcentagem inteira mais próxima, isso é 74%.

Bem, isso é ótimo se sua calculadora puder fornecer a probabilidade de qualquer distribuição normal, mas nem todas as calculadoras têm essa funcionalidade. Algumas delas dão apenas a probabilidade para a distribuição normal padrão. Ainda queremos encontrar a probabilidade de que a variável aleatória 𝑋 seja menor que 110, mas nossa calculadora só nos permite encontrar probabilidades a partir da distribuição normal padrão, a qual chamamos 𝑍 distribuída normalmente com média zero e desvio padrão um.

Precisamos transformar a nossa questão sobre 𝑋 em uma questão sobre 𝑍. Bem, acontece que se 𝑋 é normalmente distribuído com média 𝜇 e variância 𝜎 ao quadrado, em outras palavras com desvio padrão 𝜎, então 𝑍 que é 𝑋 menos 𝜇, a média, sobre 𝜎, o desvio padrão, tem a distribuição normal padrão essa é a distribuição normal com média zero e desvio padrão ou variância um. E podemos usar esse fato para mudar nossa questão sobre a probabilidade de 𝑋 estar em algum intervalo em uma questão sobre 𝑍 estar em algum intervalo, o que, é claro, podemos resolver usando nossa calculadora.

A probabilidade de que 𝑋 é menor que 110 é igual à probabilidade de que 𝑋 menos 103 é menor que 110 menos 103. Isto não é um fato sobre probabilidade tanto quanto é um fato sobre inequações. Então, essas duas inequações têm o mesmo conjunto de soluções e descrevem o mesmo evento. E assim as probabilidades desses dois eventos iguais serão as mesmas.

Simplificando, percebemos que esta é a probabilidade de que 𝑋 menos 103 seja menor que sete. E dividindo ambos os lados da inequação por 11, é claro que não temos que inverter a inequação porque 11 é positivo, entendemos que isso é igual à probabilidade de que 𝑋 menos 103 sobre 11 seja menor que sete sobre 11.

Mais uma vez, não há nenhuma probabilidade inteligente acontecendo; isto é apenas sobre inequações sendo iguais ou equivalentes. E a razão pela qual foi útil reescrever essa inequação desta forma é porque 𝑋 estava normalmente distribuído com média 103 e desvio padrão 11. E nós sabemos que para isso 𝑋 menos 103 sobre 11 é normalmente distribuído com média zero e desvio padrão ou variância 1. Portanto, esta é a probabilidade de que a distribuição normal padrão 𝑍 seja menor que sete sobre 11. E assim porque nossa calculadora nos permite fazer perguntas sobre a probabilidade de uma distribuição normal padrão 𝑍 estar em algum intervalo, podemos usar nossa calculadora daqui para a frente.

Neste caso, novamente, o limite inferior sobre o intervalo é implicitamente menos infinito. E você pode ser obrigado a escolher algum número muito pequeno para tomar o lugar do menos infinito quando você o coloca na sua calculadora. Qualquer número menor do que o menos quatro fará isso aqui. E, claro, você deve obter a mesma resposta que as pessoas cuja calculadora permitiu que pulassem esse processo, ou seja, 0.73773, e assim por diante, o que é claro é de 74% para a porcentagem inteira mais próxima.

Se, por qualquer motivo, você não puder usar sua calculadora para essa pergunta, o processo é muito semelhante ao momento em que a calculadora fornece apenas a probabilidade da distribuição normal padrão. Ainda precisamos descobrir que a proporção que procuramos é a probabilidade de uma distribuição normal padrão 𝑍 ser menor que sete sobre 11.

Mas agora, em vez de usar uma calculadora para encontrar essa probabilidade, temos que usar tabelas de valores. E estas tabelas de valores esperançosamente para esta parte da questão normalmente dão a probabilidade de que 𝑍 é menor que algum número. Essas tabelas não têm valores para pontuações 𝑍 como sete sobre 11. Por isso, temos que usar uma aproximação decimal, neste caso, 0.63. Tabelas melhores terão mais casas decimais em sua pontuação 𝑍 e, portanto, probabilidades mais precisas. Mas se usarmos uma tabela relativamente básica com apenas duas casas decimais permitidas na pontuação 𝑍, então teremos uma probabilidade de 0.7357, o que obviamente ainda é de 74% para a porcentagem inteira mais próxima.

Agora que resolvemos a primeira parte da questão, podemos passar para a segunda parte. Para o décimo mais próximo, que porcentagem de melros tem massas maiores que 124 gramas?

Lembramos que 𝑋, a distribuição das massas dos melros, é normalmente distribuída com média de 103 e desvio padrão 11. E a proporção de melros com massas maiores que 124 gramas é a mesma que a probabilidade de que se você selecionar um melro aleatório da população, sua massa será maior que 124 gramas. Portanto, o número que procuramos é a probabilidade de que 𝑋 seja maior que 124. Essa é a probabilidade de que 𝑋 esteja entre 124 e infinito.

E se escolhermos um número muito grande, digamos 10 elevado a sete, para tomar o lugar do infinito, então se a nossa calculadora permitir, podemos inserir os limites inferior e superior para este intervalo juntamente com a média e o desvio padrão da nossa distribuição normal. E percebemos que essa probabilidade é de aproximadamente 0.028125, e assim por diante, que é de 2.8% até o décimo mais próximo de um por cento. Essa é a nossa resposta final para essa parte se tivermos a sorte de ter uma calculadora com essa funcionalidade. Se não tivermos tanta sorte, podemos usar o fato de que, 𝑋 menos sua média, 103, dividido por seu desvio padrão, 11, é normalmente distribuído com média zero e desvio padrão um e, portanto, variância um. Essa é a distribuição normal padrão que muitas calculadoras que não permitem distribuições arbitrárias normais permitem.

Para fazer uso deste fato, precisamos reescrever a inequação dentro de nossa probabilidade na forma de algo que é menor que 𝑋 menos 103 sobre 11 é menor do que outra coisa. Então, 𝑋 menos 103 sobre 11 está entre dois valores, que precisamos encontrar. Podemos pegar a primeira coisa da inequação: 124 é menor que 𝑋, subtrair 103 de ambos os lados para obter 21 é menor que 𝑋 menos 103, e então dividir por 11. Assim, obtemos 21 sobre 11 é menor que 𝑋 menos 103 sobre 11. E podemos fazer a mesma coisa para o lado direito: 𝑋 é menor que o infinito. Não é necessário muito cálculo aqui se 𝑋 for menor que o infinito. E tudo o que podemos dizer é que 𝑋 menos 103 é menor que infinito e, portanto, 𝑋 menos 103 sobre 11 é menor que infinito.

Então, apenas substituindo a inequação que tivemos por essa inequação equivalente, percebemos que a probabilidade que estamos procurando é a probabilidade de 21 sobre 11 é menor que 𝑋 menos 103 sobre 11 é menor que o infinito. E, é claro, sua distribuição de 𝑋 menos 103 sobre 11, que é convencionalmente chamada 𝑍, é normalmente distribuída com média zero e desvio padrão um. Este 21 sobre 11 é chamado de valor 𝑍. E inserindo-o e algum número adequadamente grande no lugar do infinito em sua calculadora, você deve obter a mesma resposta de antes; isto é, 0.028125 e assim por diante. E então a resposta para o décimo mais próximo é de 2.8%.

Como alternativa, você pode fazer isso com uma tabela de valores para a distribuição normal padrão em vez de uma calculadora. Queremos achar a probabilidade de que 𝑍 é maior que 21 sobre 11, mas nossas tabelas apenas dão a probabilidade de que 𝑍 é menor que algum valor. Portanto, usamos o fato de que a probabilidade de que 𝑍 é maior que 21 sobre 11 é igual a um menos a probabilidade de que 𝑍 seja menor que 21 sobre 11. Você pode pensar que o sinal menor que aqui deve ser menor que ou igual a estritamente, mas na verdade não importa, porque a probabilidade de que 𝑍 é igual a 21 sobre 11 é zero.

Uma distribuição normal é uma distribuição contínua. E para qualquer distribuição contínua, a probabilidade de que a distribuição assuma um determinado valor é zero, há apenas probabilidades positivas em intervalos de valores. Para usar uma tabela de valores, temos que escrever nosso valor 𝑍 como um número decimal com um certo número de casas decimais, dependendo da precisão da tabela. Então, pegamos nosso valor 𝑍 de 21 sobre 11 e o aproximamos de 1.91. Observando isso em nossa tabela, descobrimos que a probabilidade é um menos 0.9719, que é 0.0281. E assim, novamente, obtemos uma resposta de 2.8 por cento para o décimo mais próximo de um por cento.

E finalmente, para o inteiro mais próximo, que porcentagem de melros tem massa entre 95 e 120 gramas?

Então, 𝑋 é normalmente distribuído com média 103 e desvio padrão 11. E queremos encontrar a probabilidade de que 𝑋 esteja entre 95 e 120. Se tivermos uma calculadora que permita tal coisa, podemos simplesmente colocar o desvio padrão médio com limites inferior e superior para intervalos e obter uma resposta de 0.70535, e assim por diante, que é escrito como uma porcentagem para a porcentagem mais próxima de 71%. Se nossa calculadora só nos permite encontrar probabilidades a partir da distribuição normal padrão com média zero e desvio padrão um, então precisamos pensar na distribuição de 𝑋 menos 103 sobre 11, que é distribuída com a distribuição normal padrão.

A região em que estamos interessados ​​é 95 é menor que 𝑋 que é menor que 120. Tomando apenas a primeira parte disso, a inequação 95 é menor que 𝑋, e subtraindo 103 de ambos os lados, temos que menos oito é menor que 𝑋 menos 103. E então menos oito sobre 11 é menor que oito menos 103 sobre 11. Aqui, dividimos os dois lados por 11.

Concentrando-se agora no lado direito dessa inequação, 𝑋 é menor que 120, é o mesmo procedimento. Então, 𝑋 é menor que 120, e então 𝑋 menos 103 é menor que 17, e então 𝑋 menos 103 sobre 11 é menor que 17 sobre 11. E então apenas substituindo essa inequação pela equivalente, temos a probabilidade de que menos oito sobre 11 é menor que 𝑋 menos 103 sobre 11 que é menor que 17 sobre 11. E se deixarmos 𝑍 ser a distribuição 𝑋 menos 103 sobre 11 como sua convenção, então temos a probabilidade de que menos oito sobre 11 seja menor que 𝑍 que seja menor que 17 sobre 11. E com essa distribuição normal padrão, obtemos a mesma resposta de 0.70535, e assim por diante, que é de 71% para a porcentagem inteira mais próxima.

Alternativamente, usando tabelas de valores, temos que reescrever nossas pontuações 𝑍, menos oito sobre 11 e 17 sobre 11, como decimais com duas casas decimais. E isso é igual à probabilidade de 𝑍 ser menor que 1.55 menos a probabilidade de que 𝑍 é menor que menos 0.73. A maneira mais fácil de entender por que isso é verdade é usar um gráfico da curva da distribuição normal. A probabilidade corresponde à área da região sombreada entre nossos dois valores 𝑍: menos 0.73 e 1.55.

E isso é igual à área da região roxa, que é a probabilidade de 𝑍 ser menor que 1.55 menos a área da região laranja, que é a probabilidade de que 𝑍 ser menor que menos 0.73. Observando esses dois valores em nossas tabelas, o que podemos fazer porque as tabelas fornecem a probabilidade de que 𝑍 é menor do que um número, obtemos 0.9394 menos 0.2327, que é 0.7067, que como uma porcentagem para a porcentagem mais próxima é como os outros métodos deu de 71 por cento.

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