Lesson Video: Derivadas de Segunda Ordem e de Ordem Superiores

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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar derivadas de funções de segunda e de maior ordem, incluindo aquelas que exigem uma variedade de regras para derivação. Nesse estágio, você deve se sentir à vontade para derivar as funções polinomiais e trigonométricas e aplicar a regra da cadeia, a regra do produto e a regra do quociente. Vamos usar essas habilidades para descobrir como encontrar derivadas de segunda e de maior ordem.

Como a derivada de uma função 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 é em si uma função em 𝑥, isso significa que podemos tomar a derivada da derivada, ou a derivada de 𝑓 linha de 𝑥. Isso é conhecido como a segunda derivada da função. E é denotado como 𝑓 linha linha de 𝑥, ou d dois 𝑦 por d𝑥 dois, ou d dois 𝑦 por d𝑥 quadrado, usando a notação de Leibniz.

Essa ideia pode ser continuada para encontrar as terceira, quarta, quinta e sucessivas derivações da função original. Depois da terceira derivada, não continuamos a usar a notação linha, pois ela começa a ficar um pouco incômoda. E, em vez disso, denotamos como a 𝑛-ésima derivada conforme mostrado. Geralmente, executamos este processo de maneira sequencial, derivando cada função em 𝑥 tal que a 𝑛-ésima derivada da função é igual à derivada de 𝑛 menos a primeira derivada da função.

Também é útil notar que há alguns casos em que podemos derivar uma fórmula geral para uma derivada arbitrária de 𝑛-ésima ordem. E nós vamos considerar isso mais tarde. Há também várias aplicações de derivadas de segunda e de maior ordem, embora não consideremos essas derivações neste vídeo, apenas nos concentrando nos processos conforme necessário. Vamos considerar primeiro um exemplo simples que envolve encontrar a segunda derivada de uma função polinomial.

Dado que 𝑦 é igual a seis 𝑥 à potência de cinco mais três 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 mais seis, determine a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥.

Aqui nos foi dada uma função em 𝑥. E estamos sendo solicitados a encontrar d dois 𝑦 por d𝑥 ao quadrado. Para fazer isso, vamos derivar uma vez para encontrar d𝑦 por d𝑥 e depois derivar isso novamente para encontrar a segunda derivada. Lembramos que podemos derivar uma função da forma 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 para algum número racional constante 𝑛, que não é igual a zero e alguma constante 𝑎. E temos 𝑛𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Em outras palavras, tomamos emprestado o expoente de 𝑥 e fazemos dele o coeficiente da derivada. E então, subtraímos um do expoente.

Neste caso especial em que 𝑛 é igual a zero, na verdade temos uma constante. Vamos chamar isso 𝑏. E a derivada de uma constante é zero. Isso nos ajudará a encontrar a primeira derivada de nossa função. A derivada de seis 𝑥 elevado a cinco vai ser cinco vezes seis 𝑥. E então, subtraímos um do expoente. Cinco menos um é quatro. Isso é 30𝑥 elevado a quatro. Vamos repetir isso para derivar três 𝑥 ao quadrado. Vai ser duas vezes três 𝑥. E então, subtraímos um do expoente. Dois menos um é um. Então, a derivada de três 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 é seis 𝑥.

A derivada de menos sete 𝑥 é uma vez menos sete 𝑥 elevado a zero. Bem, isso é apenas menos sete. E, claro, seis é uma constante, então a derivada de seis é zero. d𝑦 por d𝑥 então, a primeira derivada de nossa equação, é 30𝑥 elevado a quatro mais seis 𝑥 menos sete. Vamos derivar cada parte dessa expressão mais uma vez para encontrar a segunda derivada.

Nós vamos fazer isso parte por parte. A derivada de 30𝑥 elevado a quatro é quatro vezes 30𝑥 elevado a três. A derivada de seis 𝑥 é seis. E a derivada de menos sete é zero. Simplificando totalmente, e vemos que a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é 120𝑥 ao cubo mais seis.

Neste exemplo, vimos como poderíamos aplicar uma derivação repetida para nos ajudar a encontrar a segunda derivada de uma função polinomial. Em seguida, veremos como podemos calcular a segunda derivada de um exemplo um pouco mais complicado em um determinado ponto.

Determine o valor da segunda derivada da função 𝑦 é igual a 12𝑥 menos oito sobre 𝑥 em um, quatro.

Nós temos uma equação para 𝑦 em termos de 𝑥. E estamos sendo solicitados a encontrar o valor da segunda derivada no ponto com as coordenadas cartesianas um, quatro. Começaremos então simplesmente encontrando uma expressão para a segunda derivada. Para fazer isso, vamos derivar nossa função uma vez para encontrar d𝑦 por d𝑥 e derivar em relação a 𝑥 mais uma vez. Pode ajudar, antes de fazermos, escrever 𝑦 como 12𝑥 menos oito 𝑥 elevado a menos um. Então, derivamos como usual.

A derivada de 12𝑥 em relação a 𝑥 é simplesmente 12. E a derivada de menos oito 𝑥 elevado a menos um é menos menos um vezes oito 𝑥 elevado a menos dois. E tenha muito cuidado. Um erro comum aqui é identificar o menos um e pensar que quando subtrairmos um, chegamos a zero. Quando simplificamos isso, vemos que a primeira derivada é 12 mais oito 𝑥 elevado a menos dois. Vamos repetir esse processo para encontrar a segunda derivada.

A derivada de 12 é zero. E então, quando derivamos oito 𝑥 elevado a menos dois em relação a 𝑥, obtemos menos dois vezes oito 𝑥 elevado a menos três. Isso é menos 16𝑥 elevado a menos três. E, claro, podemos alterar isso de volta para menos 16 sobre 𝑥 ao cubo, se quisermos.

Precisamos determinar o valor da segunda derivada em um, quatro. Esta é uma coordenada cartesiana. Tem um valor 𝑥 de um e um valor 𝑦 de quatro. Então, vamos substituir 𝑥 é igual a um em nossa equação para a segunda derivada. Isso nos dá menos 16 sobre um ao cubo, que é menos 16. Em nosso próximo exemplo, aprenderemos como podemos aplicar as regras padrão de derivação para nos ajudar a encontrar segundas derivadas.

Dado que 𝑦 é igual a três 𝑥 ao quadrado menos cinco sobre dois 𝑥 ao quadrado mais sete, determine a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥.

Aqui temos um quociente. É o resultado da divisão de uma função por outra função. Podemos, portanto, usar a regra do quociente para nos ajudar a encontrar a primeira derivada. Isto diz que para duas funções deriváveis ​​𝑢 e 𝑣, a derivada de 𝑢 sobre 𝑣 em relação a 𝑥 é igual a 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado.

Como 𝑢 é o numerador, vamos deixar 𝑢 ser igual a três 𝑥 ao quadrado menos cinco. E podemos ver que 𝑣 deve ser igual a dois 𝑥 ao quadrado mais sete. Para poder usar a regra do quociente, vamos derivar cada um deles em relação a 𝑥. Quando derivamos 𝑢 em relação a 𝑥, obtemos seis 𝑥. E d𝑣 por d𝑥 é igual a quatro 𝑥. 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥 é dois 𝑥 ao quadrado mais sete vezes seis 𝑥. Subtraímos então o produto de 𝑢 e d𝑣 por d𝑥. São três 𝑥 ao quadrado menos cinco vezes quatro 𝑥. E, claro, isso é tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Isso é dois 𝑥 ao quadrado mais sete ao quadrado.

Distribuindo os parênteses no numerador de nossa fração, obtemos 12𝑥 ao cubo mais 42𝑥 menos 12𝑥 ao cubo mais 20𝑥. E então, vamos manter o denominador como está. E vemos que a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é 62𝑥 sobre dois 𝑥 ao quadrado mais sete ao quadrado.

Para encontrar a segunda derivada, precisaremos derivar isso novamente. Vamos limpar algum espaço. Mais uma vez, estamos tentando derivar um quociente, por isso vamos usar a regra de quociente. Desta vez, vamos 𝑢 ser igual a 62𝑥 e 𝑣 ser igual a dois 𝑥 ao quadrado mais sete ao quadrado. d𝑢 por d𝑥 é bastante simples. É 62. Mas e o d𝑣 por d𝑥?

Bem, podemos usar um caso especial da regra da cadeia chamada regra geral da potência. Isto diz que se 𝑝 é alguma função de 𝑥 e 𝑛 é alguma constante racional não igual a zero, então a derivada de 𝑝 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é 𝑛 vezes 𝑝 elevado a 𝑛 menos um vezes d𝑝 por d𝑥. Isto significa que d𝑣 por d𝑥 é duas vezes esta função em 𝑥, que é dois 𝑥 ao quadrado mais sete elevado a um, vezes a derivada de dois 𝑥 ao quadrado mais sete em relação a 𝑥, que é quatro 𝑥.

E quando simplificamos isso, vemos que d𝑣 por d𝑥 é oito 𝑥 vezes dois 𝑥 ao quadrado mais sete. Desta vez, 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥 é dois 𝑥 ao quadrado mais sete ao quadrado vezes 62 menos 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado. A chave aqui é identificar que o denominador de nossa fração se torna dois 𝑥 ao quadrado mais sete elevado a quatro. E isso significa que podemos dividir por um fator comum de dois 𝑥 ao quadrado mais sete. E isso nos deixa com dois 𝑥 ao quadrado mais sete ao cubo no denominador e 62 vezes dois 𝑥 ao quadrado mais sete menos 62𝑥 vezes oito 𝑥 no numerador.

Podemos tirar um fator de 62 no numerador. E então, quando subtraímos oito 𝑥 vezes 𝑥 de dois 𝑥 ao quadrado, obtemos menos seis 𝑥 ao quadrado. E a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é 62 vezes sete menos seis ao quadrado sobre dois 𝑥 ao quadrado mais sete ao cubo. Agora que já vimos como encontrar a segunda derivada, analisaremos o uso de derivadas de ordem superior para resolver problemas.

Dado que 𝑦 é igual a 𝑎𝑥 ao cubo mais 𝑏𝑥 ao quadrado, a terceira derivada de 𝑦 é menos 18, e a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 calculada em 𝑥 é igual a dois é menos 14, encontre 𝑎 e 𝑏.

Aqui, temos uma equação para 𝑦 em termos de 𝑥 e algumas informações sobre a segunda derivada e a terceira derivada, denotadas como 𝑦 linha linha linha. Para responder a essa pergunta, vamos começar apenas encontrando uma equação para a segunda e terceira derivadas de 𝑦 em relação a 𝑥.

Derivando 𝑦 em relação a 𝑥, temos três 𝑎𝑥 ao quadrado mais dois 𝑏𝑥. Para encontrar a segunda derivada, vamos derivar a equação da segunda derivada. Isso é duas vezes três 𝑎𝑥 mais dois 𝑏. Isso simplifica para seis 𝑎𝑥 mais dois 𝑏. Mais uma vez, para encontrar a terceira derivada, derivamos a segunda derivada em relação a 𝑥. Como dois 𝑏 é uma constante, a terceira derivada é seis 𝑎.

Dizem que a segunda derivada calculada em 𝑥 é igual a dois é menos 14. Então, vamos substituir 𝑥 é igual a dois em nossa equação para a segunda derivada e configurá-la igual a menos 14. Isso é seis vezes dois mais dois 𝑏 é igual a menos 14, ou 12𝑎 mais dois 𝑏 é menos 14. Da mesma forma, somos informados de que a terceira derivada é igual a menos 18. Portanto, podemos dizer que seis 𝑎 deve ser igual a menos 18.

Observe que esta última equação tem uma única variável, para que possamos resolvê-la normalmente. Podemos dividir os dois lados dessa equação por seis. E quando fazemos, vemos que 𝑎 é igual a menos três. Podemos pegar esse valor e substituí-lo na equação que formamos usando a segunda derivada. Isso dá 12 multiplicado por menos três mais dois 𝑏 igual a menos 14. 12 multiplicado por menos três é menos 36. Adicionamos 36 a ambos os lados de nossa equação para obter dois 𝑏 igual a 22. E dividimos por dois para obter 𝑏 igual a 11. 𝑎 é igual a menos três e 𝑏 é igual a 11.

No nosso exemplo final, consideraremos um caso em que podemos derivar uma fórmula geral para uma derivada arbitrária de 𝑛-ésima ordem.

Encontre a 51ª derivada do seno de 𝑥 em relação a 𝑥 encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão em que ocorrem.

Vamos começar então encontrando as primeiras derivadas do seno de 𝑥 em relação a 𝑥. Podemos citar o resultado padrão que d por d𝑥 do seno de 𝑥 é cos de 𝑥. Isto significa encontrar a segunda derivada do seno de 𝑥, precisamos derivar cos de 𝑥 em relação a 𝑥.

Aqui, podemos citar outro resultado padrão. A derivada de cos de 𝑥 em relação a 𝑥 é menos sen de 𝑥. Então, a segunda derivada do sen de 𝑥 em relação a 𝑥 é menos sen de 𝑥. Similarmente, a terceira derivada será encontrada pela derivação de menos sen de 𝑥 em relação a 𝑥. E nós podemos usar a constante regra múltipla aqui para pegar a constante de menos um fora da derivada e nos concentrar em derivar o sen de 𝑥.

Já vimos que a derivada do sen de 𝑥 em relação a 𝑥 que é cos de 𝑥. Então, isso significa que a terceira derivada de sen de 𝑥 em relação a 𝑥 é menos cos de 𝑥. A quarta derivada do sen de 𝑥 será a derivada de menos cos de 𝑥 em relação a 𝑥. Mais uma vez, usaremos a constante regra múltipla aqui e tomaremos a constante de menos um fora da derivada e nos concentraremos em derivar cos de 𝑥, que agora sabemos ser menos sen de 𝑥.

Então, a quarta derivada é o menos menos sen de 𝑥, que é sen de 𝑥 positivo. E nós realmente não precisamos fazer mais. Podemos ver que temos um ciclo. A quinta derivada do sen de 𝑥 vai ser cos de 𝑥. E a sexta derivada vai voltar a menos sen de 𝑥, e assim por diante. Então, qual é a regra geral?

Bem, podemos dizer que, para valores inteiros de 𝑘, a quarta 𝑘-ésima derivada do sen de 𝑥 é sen de 𝑥. A quarta 𝑘-ésima derivada mais a primeira derivada de sen de 𝑥 é cos de 𝑥. A quarta derivada 𝑘 mais a segunda derivada de sen de 𝑥 é menos sen de 𝑥. E a quarta derivada 𝑘 mais a terceira derivada do sen de 𝑥 é menos cos de 𝑥.

Estamos tentando encontrar a 51ª derivada. E podemos escrever 51 como quatro vezes 12 mais três. Então, isso significa que a 51ª derivada do sen de 𝑥 será a mesma que a quarta derivada 𝑘 mais a terceira derivada. É menos cos de 𝑥.

É útil saber que, como as derivadas de sen e cos são tão intimamente relacionadas, também podemos derivar uma fórmula geral para a 𝑛-ésima derivada de cos de 𝑥. A quarta 𝑘-ésima derivada de cos de 𝑥 é cos de 𝑥. A quarta derivada 𝑘 mais a primeira derivada de cos de 𝑥 é menos sen de 𝑥. A quarta derivada 𝑘 mais a segunda derivada de cos de 𝑥 é menos cos de 𝑥. E a quarta derivada 𝑘 mais a terceira derivada de cos de 𝑥 é sen de 𝑥.

Neste vídeo, vimos que podemos usar as regras padrão de derivação para encontrar derivadas de segunda e de maior ordem. Vimos que geralmente executamos esse processo de maneira sequencial, embora haja ocasiões em que podemos usar padrões para gerar regras para derivadas de ordem superior.