Lesson Video: Determinando a Equação de uma Reta Dados o seu Declive e um Ponto na Reta

Video Transcript

Neste vídeo, vamos ver como determinar a equação de uma reta de várias formas quando obtemos duas informações específicas, o declive da reta e um ponto que está na reta.

Primeiro, lembremo-nos das diferentes formas que podemos utilizar para escrever a equação de uma reta. A primeira forma é referida como a forma canónica, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. As letras 𝑚 e 𝑐 têm significados específicos aqui. 𝑚 representa o declive da reta. Então, por cada unidade que se mover na horizontal, a reta moveria 𝑚 unidades para cima. Se 𝑚 for negativo, então, para cada unidade que percorrer na horizontal, a reta moverá 𝑚 unidades para baixo. 𝑐 representa a interseção com O𝑦, que é o valor onde a reta interseta o eixo O𝑦.

A segunda forma frequentemente solicitada é a forma de ponto e declive de uma reta, 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 um. Aqui, 𝑚 refere-se ao declive da reta da maneira que acabámos de descrever. 𝑥 um, 𝑦 um referem-se às coordenadas de um ponto na reta. Este é um ponto genérico em qualquer lugar ao longo do comprimento da reta, não especificamente na interseção com O𝑦. Neste vídeo, vamos determinar as equações de retas em ambas as formas.

Uma reta 𝐿 tem um declive de três e passa pelo ponto três, quatro. Calcule a equação da reta, dando a sua resposta na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐.

Então, temos duas informações na questão aqui. Em primeiro lugar, dizem-nos que a reta tem um declive de três. E também nos dizem que passa pelo ponto três, quatro. Somos solicitados fornecer a nossa resposta na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐, que é a forma canónica.

Vamos começar. Precisamos de calcular os valores de 𝑚 e 𝑐, o declive e a interseção com O𝑦. Na verdade, temos o declive na questão. Dizem-nos que é três. Assim, imediatamente, podemos escrever parte da equação da reta. É 𝑦 igual a três 𝑥 mais 𝑐. Agora precisamos de descobrir o valor 𝑐 da interseção com O𝑦. Ora, dizem-nos que esta reta passa pelo ponto três, quatro. Isto significa que quando 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a quatro. E, portanto, temos um par de valores para 𝑥 e 𝑦 que podemos substituir nesta equação para determinar o valor de 𝑐. Então, substituo o valor quatro em 𝑦 e o valor três em 𝑥. Isso dá-me uma equação que eu posso resolver. Agora, tenho que quatro é igual a nove mais 𝑐. E se eu subtrair nove nos dois membros desta equação, tenho que 𝑐 é igual a menos cinco. Finalmente, só preciso de substituir o valor de 𝑐 na minha equação da reta.

E temos a nossa resposta para a questão, a equação da reta é 𝑦 igual a três 𝑥 menos cinco.

Determine, na forma de ponto e declive, a equação da reta com declive dois sétimos que passa pelo ponto A, um, menos 10.

Temos duas informações sobre essa reta. Dizem que tem um declive de dois sétimos e dizem-nos que o ponto com coordenadas um, menos 10 está nesta reta. Também nos pedem que demos a nossa resposta na forma de ponto e declive. Esta é a forma 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 um. Então, para o fazer, precisamos apenas de lembrar o que 𝑚, 𝑥 um e 𝑦 um representam nesta forma da equação da reta. 𝑚 representa o declive da reta, e é nos dito que é igual a dois sétimos. Portanto, podemos substituir o valor de dois sétimos em 𝑚. 𝑥 um e 𝑦 um representam as coordenadas de um ponto na reta. E, portanto, podemos substituir o valor um em 𝑥 um e o valor menos 10 em 𝑦.

Então, temos 𝑦 menos menos 10 igual a dois sétimos 𝑥 menos um. Nós não precisamos de fazer muito mais trabalho com isto, já que esta é a forma que nos pediram para a nossa resposta. Mas podemos arrumar um pouco o membro esquerdo, 𝑦 menos menos 10 simplifica 𝑦 mais 10.

Portanto, a nossa resposta para a questão é que, na forma de ponto e declive, a equação desta reta é 𝑦 mais 10 igual a dois sétimos de 𝑥 menos um.

Qual é a equação da reta com interseção com O𝑥 de menos três e interseção com O𝑦 de quatro?

Portanto, temos duas informações sobre esta reta. Conhecemos ambos a sua interseção com O𝑥 e sua interseção com O𝑦. Então, a reta é algo assim. Não nos pediram para dar a nossa resposta numa forma específica, por isso vou escolher utilizar a forma canónica, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Agora, imediatamente, posso preencher algumas das informações aqui. Lembre-se, 𝑐 representa a interseção com O𝑦 da reta, e disseram-me que é igual a quatro. Portanto, a equação desta reta é da forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais quatro.

Em seguida, preciso de calcular o valor de 𝑚, o declive desta reta. O declive da reta pode ser calculado utilizando a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥, ou 𝑦 um menos 𝑦 dois sobre 𝑥 um menos 𝑥 dois, onde 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois são as coordenadas de dois pontos na reta. Agora, tenho as coordenadas de dois pontos na reta. Se a interseção com O𝑥 da reta é menos três, isto significa que o ponto com coordenadas menos três, zero está na reta. Se a interseção com O𝑦 é quatro, então o ponto com coordenadas zero, quatro também está na reta. Então tenho os dois pontos que preciso para calcular este declive. Não importa qual dos dois pontos escolho para ser 𝑥 um, 𝑦 um e qual escolho para ser 𝑥 dois, 𝑦 dois, desde que seja consistente com a ordem em que eu subtraio os valores de 𝑦 e os valores de 𝑥. Eu escolhi escrever os pontos nesta ordem. E, portanto, o meu declive é quatro menos zero sobre zero menos menos três. Isto dá-me um declive de quatro terços.

Então agora posso substituir o valor deste declive na equação da minha reta. Tenho então que 𝑦 é igual a quatro terços 𝑥 mais quatro. Agora, às vezes, isto pode ser uma forma aceitável de deixar minha resposta. Mas dado que este declive é uma fração, eu preferiria que esta resposta não tivesse nenhuma fração nela. Então, para lidar com isto, vou escolher multiplicar a equação por três. Assim, multiplicando cada termo nesta equação por três, tenho que três 𝑦 é igual a quatro 𝑥 mais 12. Não se esqueça de multiplicar esta interseção com O𝑦 por três também; este é um erro comum. Por fim, optarei por agrupar os termos em 𝑦 e em 𝑥 no mesmo membro da equação. Vou subtrair quatro 𝑥 a ambos os membros.

Isto dá a minha resposta final para o problema na forma em que escolho deixá-la, três 𝑦 menos quatro 𝑥 igual a 12.

Escreva a equação representada pelo gráfico apresentado. Dê a sua resposta na forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 igual a 𝑐.

Então, deram-me um gráfico da reta de que estou à procura da equação. Não me pediram para dar a equação numa forma específica, então optarei por trabalhar utilizando a forma ponto e declive. Para determinar a equação da reta, preciso de saber duas coisas. Preciso de saber o declive da reta, 𝑚. E preciso de saber as coordenadas de um ponto na reta, 𝑥 um, 𝑦 um. Então, vamos ver este gráfico atentamente.

Consigo ver imediatamente que a interseção com O𝑦 da reta é menos nove, o que significa que a reta passa pelo ponto com coordenadas zero, menos nove. Se eu olhar ao longo da reta, também posso ver que passa por este ponto aqui. Este ponto tem as coordenadas quatro, menos seis. Assim, posso utilizar estes dois pontos para calcular o declive da reta. Então, o declive da reta é a variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥. Ou pode referir-se a isto talvez como vertical dividida por horizontal. Utilizando os dois pontos que podemos ver aqui nesta reta, dá-me um cálculo para o declive de menos seis menos nove sobre quatro menos zero. Este cálculo simplifica para três sobre quatro. Então tenho o declive da reta e posso substituí-lo na minha equação. Tenho agora 𝑦 menos 𝑦 um igual a três quartos 𝑥 menos 𝑥 um.

Agora posso escolher utilizar qualquer um destes dois pontos que conheço na reta como 𝑥 um, 𝑦 um. Para simplificar, vou utilizar o ponto zero, menos nove, pois um dos valores dentro desta coordenada é zero. Então, substituindo os valores de 𝑥 um, 𝑦 um, agora tenho 𝑦 menos menos nove igual a três quartos de 𝑥 menos zero. Isto simplifica dois 𝑦 mais nove igual a três quartos de 𝑥.

Agora, se olhar para a questão, posso ver que me pediram a resposta na forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 igual a 𝑐. E, embora a questão não o indique, é comum que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 representem inteiros. Assim, a fim de obter a minha resposta para esta forma, a primeira coisa que preciso de fazer é multiplicar tudo na equação por quatro, pois isso irá remover o quatro do denominador da fração no segundo membro. Ao fazer isso, agora tenho a equação da reta como quatro 𝑦 mais 36 igual a três 𝑥. No entanto, a forma solicitada tem os termos em 𝑥 e em 𝑦 no mesmo membro da equação. Então, o passo final é subtrair quatro 𝑦 a ambos os membros.

Isso dá então a minha resposta para o problema na forma pedida. A equação da reta é três 𝑥 menos quatro 𝑦 igual a 36.

Escreva a equação representada pelo gráfico apresentado. Dê a sua resposta na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏.

Então, isso está representado de forma ligeiramente diferente como normalmente vemos na forma canónica de uma reta. Geralmente vemos como 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Mas a letra não faz diferença; seja 𝑏 ou 𝑐, refere-se apenas à interseção com O𝑦 da reta. Olhando para o gráfico, podemos ver que a interseção com O𝑦 desta reta é dois. E, portanto, o valor de 𝑏 deve ser dois. Portanto, posso começar esta questão escrevendo que a equação desta reta 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais dois.

Agora preciso de determinar o valor de 𝑚, que é o declive da reta. Para o fazer, preciso de dois pontos que estejam na reta. Eu já tenho um ponto que tem as coordenadas zero, dois. E se eu olhar atentamente para o gráfico, posso ver que há outro ponto aqui. Eu escolhi este ponto porque tem coordenadas inteiras e suas coordenadas são três, menos dois. Assim, utilizo estas duas coordenadas para calcular o declive da reta. O declive, lembre-se, é determinado calculando a variação nas coordenadas em 𝑦 dividida pela variação nas coordenadas em 𝑥. Agora, poderia fazer isso formalmente utilizando 𝑦 um menos 𝑦 dois sobre 𝑥 um menos 𝑥 dois, ou poderia apenas olhar para o gráfico que temos aqui. Se olhar para o triângulo que desenhei abaixo da reta, a parte horizontal deste triângulo dá-nos a variação em 𝑥. E posso ver então que a variação em 𝑥 é de três unidades. Novamente, olhando para o triângulo, a parte vertical dá-me a variação em 𝑦. E posso ver que 𝑦 muda de dois para menos dois. E, portanto, há uma variação em 𝑦 de menos quatro unidades. É muito importante que escreva isto como menos quatro e não quatro porque está a diminuir.

Portanto, agora temos todas as informações relevantes para calcular o declive desta reta. Assim, o declive da reta é variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥, é menos quatro sobre três ou menos quatro terços. Por fim, preciso de substituir este valor no declive da equação da minha reta.

Tenho então 𝑦 igual a menos quatro terços 𝑥 mais dois. Não me pediram para fazer mais nada com a equação desta reta em termos de reorganização. Então, é assim que vou deixar a minha resposta final.

Em resumo, vimos duas formas diferentes da equação de uma reta. A forma canónica, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. E a forma de ponto e declive, 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 um. Também vimos como determinar a equação de uma reta em cada uma destas duas formas quando temos duas informações específicas: o declive da reta e as coordenadas de um ponto na reta.