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Neste vídeo, aprenderemos como resolver uma equação trigonométrica utilizando fatorização ou fazendo o quadrado. As equações que veremos envolverão pelo menos uma das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. Antes de examinarmos estes novos métodos, familiarizar-nos-emos com a resolução de equações trigonométricas simples.
Recordamos que as equações da forma sen 𝜃 igual a 𝑘, cos de dois 𝜃 igual a 𝑘, tan de 𝜃 menos 30 igual a 𝑘 podem ser resolvidas utilizando um gráfico ou um diagrama CAST. Também devemos recordar algumas propriedades principais relacionadas com as funções seno, cosseno e tangente. O seno do ângulo 𝜃 é igual ao seno de 180 graus menos 𝜃. O cos de 𝜃 graus é igual ao cos de 360 graus menos 𝜃. E o tan de qualquer ângulo 𝜃 é igual ao tan de 180 graus mais 𝜃.
Antes de resolver uma equação trigonométrica, geralmente é útil considerar quantas soluções esperamos que a equação tenha. Podemos identificar o número de vezes que uma função trigonométrica é igual a um valor específico num determinado intervalo, desenhando uma reta horizontal no gráfico nesse valor e contando o número de vezes que essa reta interseta o gráfico. Por exemplo, se quisermos determinar o número de soluções para a equação sen 𝑥 igual a 0.5 no intervalo em que 𝑥 é maior ou igual a zero e menor ou igual a 360 graus, desenhamos uma reta horizontal em 𝑦 igual a 0.5. Como esta reta horizontal interseta o gráfico duas vezes no intervalo dado, podemos concluir que a equação sen 𝑥 igual a 0.5 tem duas soluções no intervalo 𝑥 maior ou igual a zero e menor ou igual a 360 graus.
Veremos agora um exemplo mais complexo deste tipo de problema. Antes de fazer isso, também precisamos de recordar uma das principais identidades trigonométricas. Esta identidade define a relação entre as três funções trigonométricas. Para qualquer ângulo 𝜃, o tan de 𝜃 é igual ao seno de 𝜃 dividido pelo cos de 𝜃. Vamos agora ver um exemplo em que precisamos de utilizar esta identidade.
Se 𝑥 é maior ou igual a zero graus e menor ou igual a 360 graus, então qual é o número de soluções da equação quatro sen 𝑥 é igual ao tan de 𝑥.
Esta equação envolve duas razões trigonométricas: seno e tangente. Lembramos que podemos escrever a função tangente em termos das funções seno e cosseno. O tan de 𝑥 é igual ao sen de 𝑥 sobre o cos de 𝑥. Substituindo isto no segundo membro da nossa equação, temos quatro sen 𝑥 igual a sen 𝑥 sobre cos 𝑥. Em seguida, podemos subtrair sen 𝑥 sobre cos 𝑥 de ambos os membros, dando-nos quatro sen 𝑥 menos sen 𝑥 sobre cos 𝑥 igual a zero.
Nesta fase, podemos ser tentados a dividir a equação pelo fator partilhado sen 𝑥. No entanto, fazer isto pode resultar na perda de algumas soluções se o fator pelo qual dividimos for igual a zero. Isto significa que, em vez disso, fatorizaremos sen 𝑥 no primeiro membro da equação. Isto dá-nos sen 𝑥 multiplicado por quatro menos um sobre cos 𝑥 igual a zero.
Agora temos um produto igual a zero. E a única maneira de um produto ser igual a zero é se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Isto significa que precisamos de resolver as duas equações sen 𝑥 igual a zero e quatro menos um sobre cos 𝑥 igual a zero. Recordando o gráfico da função seno como apresentado, vemos que sen 𝑥 é igual a zero três vezes no intervalo em que 𝑥 é maior ou igual a zero e menor ou igual a 360 graus. Estas soluções são zero, 180 e 360 graus. No entanto, nesta questão, estamos interessados apenas no número de soluções. sen 𝑥 é igual a zero três vezes entre zero e 360 graus, inclusive.
Vamos agora considerar a segunda equação, quatro menos um sobre cos 𝑥 igual a zero. Multiplicando por cos de 𝑥 nos dá quatro cos de 𝑥 menos um igual a zero. Podemos então adicionar um a ambos os membros, de modo que quatro cos 𝑥 seja igual a um e, finalmente, dividir por quatro de modo que o cos de 𝑥 seja igual a um quarto.
Recordando o gráfico da função cosseno e desenhando uma reta horizontal no gráfico em 𝑦 igual a um quarto, descobrimos que existem dois valores de 𝑥 no intervalo 𝑥 maior ou igual a zero e menor ou igual a 360 graus para o qual o cos de 𝑥 é igual a um quarto. Embora possamos calcular estes valores exatos, não precisamos de o fazer nesta questão. No entanto, é claro que estes não são os mesmos valores para os quais sen 𝑥 é igual a zero, pois uma das soluções está entre zero e 90 graus e a segunda solução está entre 270 e 360 graus.
Podemos, portanto, concluir que existem cinco soluções para a equação quatro sen 𝑥 igual a tan 𝑥 entre zero e 360 graus, inclusive. A resposta correta é cinco.
Agora, veremos um exemplo em que precisamos de determinar todas as soluções de uma equação trigonométrica mais complexa por fatorização.
Determine o conjunto de valores que satisfazem tan ao quadrado 𝜃 mais tan 𝜃 igual a zero, onde 𝜃 é maior ou igual a zero graus e menor do que 180 graus.
Após uma inspeção, notamos que esta é uma equação quadrática em tan 𝜃. Podemos começar por fatorizar o primeiro membro da nossa equação. Isto dá-nos tan 𝜃 multiplicado por tan 𝜃 mais um igual a zero. Estabelecendo cada um destes fatores igual a zero, temos tan 𝜃 igual a zero ou tan 𝜃 mais um igual a zero. Subtraindo um de ambos os membros da nossa segunda equação, agora temos duas soluções: o tan de 𝜃 é igual a zero ou o tan de 𝜃 é igual a menos um.
A seguir, chamamos a atenção para o gráfico da função tangente, como se apresenta. Embora o tenhamos desenhado para valores de 𝜃 entre zero e 360 graus, é importante observar nesta questão que estamos à procura apenas de soluções maiores ou iguais a zero e menores do que 180 graus. Podemos ver no gráfico que o tan de 𝜃 é igual a zero em zero graus. Isto também é verdadeiro para 180 e 360 graus. No entanto, estes dois valores não estão no conjunto de valores para 𝜃. A equação tan 𝜃 igual a zero, portanto, tem uma solução em que 𝜃 é igual a zero graus.
Se desenharmos uma reta horizontal no nosso gráfico em 𝑦 igual a um, vemos que esta interseta o gráfico de 𝑦 igual a tan 𝜃 uma vez entre zero e 180 graus. Este valor fica entre 90 e 180 graus. Considerando a equação tan 𝜃 igual a menos um, podemos tomar a inversa da tangente de ambos os membros. Isto dá-nos 𝜃 igual à inversa da tan de menos um.
Digitar isto na nossa calculadora dá-nos 𝜃 igual a menos 45 graus. Este valor está, no entanto, fora do intervalo necessário para 𝜃. Recordando a periodicidade da função tangente, podemos determinar a segunda solução para a equação adicionando 180 graus. Isto acontece porque tan de 𝜃 é igual à tan de 180 graus mais 𝜃. Precisamos de adicionar 180 a menos 45. Isto dá-nos uma resposta de 135 graus, que está dentro do intervalo necessário para 𝜃. Esta é, portanto, uma segunda solução válida.
No gráfico, podemos ver que não há outras soluções tais que 𝜃 seja maior ou igual a zero e menor do que 180 graus. Podemos, portanto, concluir que o conjunto de valores que satisfazem tan ao quadrado 𝜃 mais tan 𝜃 igual a zero são zero graus e 135 graus.
É importante observar nesta fase que um erro comum será dividir a equação inicial por tan 𝜃. Isto significará, no entanto, perder uma das soluções da equação original, pois é possível que tan 𝜃 seja igual a zero. Na verdade, esta foi uma das equações que fomos solicitados resolver. Também devemos tomar nota do intervalo no qual estamos à procura de soluções. É comum que o intervalo seja 𝜃 maior ou igual a zero e menor ou igual a 360 graus. No entanto, como nesta questão, nem sempre é este o caso. Valores adicionais podem ser soluções válidas para a equação. Mas se estiverem fora do intervalo especificado, não estão corretos no contexto do problema.
Antes de olhar para um exemplo final, precisamos de considerar uma segunda identidade trigonométrica. Esta identidade é conhecida como identidade pitagórica. E afirma que, para todos os valores de 𝜃, sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. Esta identidade pode ser utilizada para resolver alguns tipos específicos de equações trigonométricas. No exemplo final, precisaremos de utilizá-la após fazer o quadrado de ambos os membros da equação. É importante observar, no entanto, que fazer o quadrado de ambos os membros de uma equação pode ser arriscado se não tomarmos muito cuidado. Isto acontece porque fazer o quadrado e determinar a raiz quadrada não são operações um-para-um. Ao fazer o quadrado, podemos criar uma solução extra. Portanto, se precisarmos de resolver uma equação trigonométrica fazendo o quadrado, devemos verificar subsequentemente todas as nossas soluções na equação original para garantir que não obtivemos nenhum valor estranho.
Ao fazer o quadrado de ambos os membros, ou caso contrário, resolva a equação quatro sen 𝜃 menos quatro cos 𝜃 é igual à raiz quadrada de três, onde 𝜃 é maior do que zero graus e menor ou igual a 360 graus. Tenha cuidado para remover quaisquer soluções estranhas. Dê as suas respostas com duas casas decimais.
A questão aconselha que abordemos o problema fazendo o quadrado de ambos os membros da equação. Fazendo isto, obtemos quatro sen 𝜃 menos quatro cos 𝜃 tudo ao quadrado igual a raiz de três ao quadrado. Distribuir os parênteses e depois reunir termos semelhantes no primeiro membro dá-nos 16 sen ao quadrado 𝜃 menos 32 sen 𝜃 cos 𝜃 mais 16 cos ao quadrado 𝜃. No segundo membro, a raiz de três ao quadrado é igual a três.
Em seguida, recordamos a identidade pitagórica, que afirma que sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. Simplificar ainda mais o primeiro membro dá-nos 16 multiplicado por sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 menos 32 sen 𝜃 cos 𝜃. Substituindo sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 por um dá-nos a equação 16 menos 32 sen 𝜃 cos 𝜃 igual a três. Subtrair 16 de ambos os membros desta equação dá-nos menos 32 sen 𝜃 cos 𝜃 é igual a menos 13. Podemos então dividir por menos 32, de modo que sen 𝜃 cos 𝜃 seja igual a 13 sobre 32.
Agora temos duas equações nas duas variáveis sen 𝜃 e cos 𝜃. Isto significa que o sistema de equações pode ser resolvido simultaneamente. Adicionando quatro cos 𝜃 a ambos os membros da nossa equação original, temos quatro sen 𝜃 igual à raiz de três mais quatro cos 𝜃. Dividindo ambos os membros desta equação por quatro, temos sen 𝜃 igual a raiz de três mais quatro cos 𝜃 todos divididos por quatro.
Depois de limpar algum espaço, agora consideraremos como podemos resolver este sistema de equações. Começaremos por substituir a expressão por sen 𝜃 na equação dois na equação um. Isto dá-nos a raiz de três mais quatro cos 𝜃 sobre quatro multiplicado por cos 𝜃 igual a 13 sobre 32. Podemos simplificar esta equação desembaraçando primeiro os parênteses. Podemos então multiplicar por 32, dando-nos oito raiz de três cos 𝜃 mais 32 cos ao quadrado 𝜃 igual a 13. Finalmente, subtraindo 13 de ambos os membros desta equação, temos a equação do segundo grau em termos de cos 𝜃 como se apresenta.
Isto pode ser resolvido utilizando a fórmula resolvente, onde 𝑎 é 32, 𝑏 é oito raiz de três e 𝑐 é menos 13. Substituir estes valores e depois simplificar dá-nos cos de 𝜃 igual a menos três mais ou menos a raiz quadrada de 29 tudo dividido por oito. Fazendo a inversa do cosseno de ambos os membros com raiz positiva de 29, obtemos 𝜃 igual a 62.829 e assim por diante. Com duas casas decimais, isto é igual a 62.83 graus. Fazendo a inversa do cosseno da nossa equação com raiz negativa de 29, obtemos 𝜃 igual a 152.829 e assim por diante. Isto arredonda para 152.83 graus com duas casas decimais.
Pediram-nos para dar todas as soluções maiores ou iguais a zero graus e menores ou iguais a 360 graus. Portanto, precisamos de considerar a simetria da função cosseno tal que o cos de 𝜃 seja igual ao cos de 360 graus menos 𝜃. Subtrair cada um dos nossos valores de 360 graus dá-nos outras soluções de 297.17 graus e 207.17 graus com duas casas decimais.
Portanto, determinámos quatro soluções possíveis para a equação dada. No entanto, recordaram-nos na questão de remover quaisquer soluções estranhas, estas soluções extra que foram criadas quando fizemos o quadrado da nossa equação original. Precisamos de substituir cada uma das nossas quatro soluções na equação inicial para verificar se são válidas.
A equação inicial era quatro sen 𝜃 menos quatro cos 𝜃 igual a raiz de três. Substituir 𝜃 igual a 62.83 no primeiro membro da nossa equação dá-nos uma resposta de raiz de três. Isto significa que esta é uma solução válida. No entanto, quando substituímos 𝜃 igual a 152.83 graus no primeiro membro da nossa equação, não obtemos a raiz de três. Isto significa que esta não é uma solução válida. Repetindo este processo para 207.17 graus e 297.17 graus, vemos que 207.17 é uma solução válida, enquanto a quarta resposta de 297.17 não é. Podemos, portanto, concluir que existem duas soluções que satisfazem a equação no intervalo de 𝜃 dado, que são 62.83 e 207.17 graus.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos neste vídeo que algumas equações trigonométricas podem ser resolvidas por fatorização. É extremamente importante que quaisquer fatores comuns sejam fatorizados e não divididos, pois isso evitará a perda potencial de soluções se estes fatores forem iguais a zero. Também vimos que algumas equações trigonométricas podem ser resolvidas fazendo o quadrado dos dois membros. Sempre que utilizamos esta abordagem, é importante evitar a criação de soluções estranhas. Podemos verificar isto substituindo quaisquer soluções na equação original.
Vimos que as duas identidades tan de 𝜃 é igual ao sen de 𝜃 dividido pelo cos de 𝜃 e sen ao quadrado mais cos ao quadrado 𝜃 igual a um podem ser úteis na resolução de equações trigonométricas. Finalmente, os gráficos de funções trigonométricas, as suas propriedades e o diagrama CAST podem ser utilizados para determinar soluções adicionais após a determinação de um ângulo principal.
