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Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações que envolvem módulos. Vamos rever como resolver expressões com módulo, por exemplo, o módulo de menos quatro. Em seguida, veremos como resolvemos equações com módulo. Por exemplo, trabalharemos com o problema em que temos que resolver o módulo de 𝑥 mais três igual ao módulo de dois 𝑥 menos seis.
Mas primeiro, vamos rever o módulo. O módulo é a distância de um número a zero numa reta numérica. Então, digamos, por exemplo, que estamos a considerar o valor quatro. O valor quatro estará a uma distância de quatro unidades de zero. A seguir, vamos considerar menos quatro. Quando estamos a considerar a distância, a distância será um valor não negativo. E sabemos que menos quatro também estará a uma distância de quatro unidades de zero.
Escrevemos o módulo de uma expressão assim. Tem a expressão dentro de duas linhas verticais. Então, para o módulo de quatro, bem, são quatro unidades de zero. O módulo de menos quatro será de quatro unidades. Ambos os valores estarão à mesma distância de quatro de zero na reta numérica. Também podemos escrever o módulo um pouco mais formalmente. Podemos dizer que o módulo de um valor 𝑝 igual a 𝑝 se 𝑝 for maior ou igual a zero e o módulo de 𝑝 igual a menos 𝑝 se 𝑝 for menor que zero.
Por exemplo, podemos dizer que o módulo de cinco é igual a cinco porque cinco é maior ou igual a zero. E poderemos dizer que o módulo de menos cinco é igual a menos cinco porque menos cinco é menor do que zero. E, claro, sabemos que menos cinco é equivalente a cinco.
Agora podemos utilizar estas informações sobre módulos para nos ajudar a resolver equações. Vamos dar uma olhadela na nossa primeira questão.
Qual é o conjunto-solução da equação cujo módulo de 𝑥 é igual a 94?
Devemos começar por observar que estas duas retas verticais em cada lado de 𝑥 indicam o módulo. Lembramos que o módulo de 𝑥 é igual a 𝑥 se 𝑥 for maior ou igual a zero ou é igual a menos 𝑥 se 𝑥 for menor do que zero. Então, quando temos o módulo de 𝑥 igual a 94, realmente temos duas opções diferentes para 𝑥. Quando 𝑥 é maior ou igual a zero, teremos 𝑥. Portanto, a equação será 𝑥 igual a 94. Quando 𝑥 é menor do que zero, teremos menos 𝑥. Portanto, a nossa equação será menos 𝑥 igual a 94. Podemos resolver esta segunda equação multiplicando por menos um, o que nos dá que 𝑥 deve ser igual a menos 94.
Então, vamos verificar se as nossas soluções são válidas. Obtemos que 𝑥 é igual a 94, o que ocorre quando 𝑥 é maior ou igual a zero. E 94 é maior ou igual a zero, então funcionará. E a seguir, obtivemos a solução de que 𝑥 deve ser igual a menos 94. E isto ocorre quando 𝑥 é menor do que zero. Portanto, ambas as nossas soluções são válidas. Então, vamos escrevê-las como um conjunto-solução. Podemos, portanto, dar a resposta de que o conjunto-solução da equação de módulo de 𝑥 igual a 94 é o conjunto que contém 94 e menos 94.
A seguir, veremos como podemos resolver uma equação que envolve um módulo que também tem uma incógnita em ambos os membros.
Determine o conjunto-solução da equação, o módulo de 𝑥 mais três é igual a menos três 𝑥 mais sete.
Pode ser útil relembrar a definição do módulo. Ou seja, se estivermos a determinar o módulo de 𝑝, será igual a 𝑝 se 𝑝 for maior ou igual a zero ou menos 𝑝 se 𝑝 for menor do que zero. Para resolver esta equação, teremos que considerar as duas opções possíveis para o módulo de 𝑥 mais três.
Ou teremos 𝑥 mais três ou teremos menos 𝑥 mais três. Percorremos este primeiro caminho, se quiser, sempre que 𝑥 mais três é maior ou igual a zero. É claro que podemos pensar nisto alternativamente subtraindo três de ambos os membros para dizer que 𝑥 deve ser maior ou igual a menos três. Percorremos este caminho à direita quando 𝑥 mais três é menor do que zero. Subtraindo três de ambos os membros desta inequação, isto ocorre quando 𝑥 é menor do que menos três.
Agora que determinámos as duas opções para esta expressão à esquerda, vamos escrever o que isto significa em termos da equação. Quando temos 𝑥 mais três, a equação será 𝑥 mais três igual a menos três 𝑥 mais sete. Então, vamos resolver isto para determinar o valor de 𝑥. Em primeiro lugar, adicionando três 𝑥 a ambos os membros, temos quatro 𝑥 mais três igual a sete. Em seguida, podemos subtrair três de ambos os membros. E, finalmente, podemos dividir os dois membros por quatro para nos dar 𝑥 igual a um.
Agora que determinámos uma solução possível, vamos ver o que acontece quando temos menos 𝑥 mais três. Desta vez, a nossa equação será menos 𝑥 mais três igual a menos três 𝑥 mais sete. Simplificando, no primeiro membro teremos menos 𝑥 menos três igual a menos três 𝑥 mais sete. Podemos então adicionar três 𝑥 a ambos os membros. E adicionar três dar-nos-á dois 𝑥 igual a 10. E dividir dar-nos-á que 𝑥 é igual a cinco.
Agora que temos duas soluções possíveis para esta equação, vamos verificar os nossos resultados. Para a primeira solução de 𝑥 é igual a um, lembre-se de que isto só acontecerá quando 𝑥 for maior ou igual a menos três. Um é maior ou igual a menos três, então esta solução será válida. Para a segunda solução, então, 𝑥 é igual a cinco. Lembre-se de que chegámos aqui percorrendo o caminho de 𝑥 menor do que menos três. No entanto, cinco não é menor do que menos três. Portanto, 𝑥 igual a cinco não é uma solução válida.
Para ver como terminámos com uma solução que não é válida, vamos dar uma olhadela neste problema graficamente. Vamos começar por desenhar o gráfico de 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais três. Se considerarmos o gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 mais três, terá um declive de um e uma interseção com O𝑦 de três. Podemos começar com a coordenada zero, três e, em seguida, o declive de um significa que para cada unidade de diâmetro, vai uma unidade para cima.
Podemos continuar esta reta, mas vamos fazer uma pausa por um segundo na coordenada menos três, zero. Se estivéssemos apenas a desenhar a reta 𝑦 igual a 𝑥 mais três, então continuaria nesta direção. No entanto, o módulo de 𝑥 mais três é um pouco diferente neste ponto. Cada coordenada em 𝑦 negativa será, em vez disso, a coordenada em 𝑦 positiva.
Agora, vamos considerar o gráfico de 𝑦 igual a menos três 𝑥 mais sete. Para esta reta, a interseção com O𝑦 será sete e o declive será menos três. Este declive significa que para cada aumento positivo no eixo O𝑥 de um, o valor de 𝑦 diminui três. Podemos traçar uma reta nestes pontos para indicar o gráfico de 𝑦 igual a menos três 𝑥 mais sete.
Então, vamos pensar nas soluções. Temos este ponto aqui onde se intersetam. Observe que este é o ponto em que 𝑥 é igual a um. Então, de onde veio este valor de 𝑥 igual a cinco? Bem, é realmente uma extensão incorreta desta parte do gráfico. No entanto, sabemos que aqui embaixo quando 𝑥 é igual a cinco, bem, esta parte da reta não está no gráfico 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais três.
Portanto, o conjunto-solução desta equação é o conjunto que contém um.
Na próxima questão, veremos como podemos resolver uma equação que tem um módulo em ambos os membros.
Determine o conjunto-solução do módulo de 𝑥 mais três igual ao módulo de dois 𝑥 menos seis.
Nesta equação, temos duas expressões com módulo em ambos os membros da equação. Então, vamos considerar uma de cada vez.
Quando determinamos algo como o módulo de 𝑥 mais três, realmente temos duas opções diferentes. Podemos dizer que é igual a 𝑥 mais três se 𝑥 mais três for maior ou igual a zero, ou seja, é positivo. Ou o módulo de 𝑥 mais três é igual a menos 𝑥 mais três se 𝑥 mais três for menor do que zero.
Às vezes é bom visualizá-los como se fossem dois caminhos diferentes que poderemos seguir, algo um pouco assim. Observe que esta inequação 𝑥 mais três é maior ou igual a zero também pode ser escrita como 𝑥 maior ou igual a menos três simplesmente subtraindo três de ambos os membros da inequação. Da mesma forma, se 𝑥 mais três é menor do que zero, então 𝑥 deve ser menor do que menos três.
Agora vamos fazer a mesma coisa para o módulo de dois 𝑥 menos seis. Será igual a dois 𝑥 menos seis se dois 𝑥 menos seis for maior ou igual a zero ou menos dois 𝑥 menos seis se dois 𝑥 menos seis for menor do que zero.
Podemos simplificar estas desigualdades um pouco como da última vez. Os dois caminhos diferentes ocorrerão quando 𝑥 for maior ou igual a três ou 𝑥 for menor do que três. Pode ser útil criar uma reta numérica com as diferentes alternativas para as expressões com módulo. Por exemplo, podemos ver que teremos 𝑥 mais três quando 𝑥 fosse maior ou igual a menos três.
Agora, vamos considerar os diferentes valores que podemos obter para esta equação. Podemos começar com 𝑥 mais três igual a dois 𝑥 menos seis. Isto ocorrerá nesta região do nosso diagrama da reta numérica. Então, poderemos ter 𝑥 mais três igual a menos dois 𝑥 menos seis. Isto ocorrerá na região central do nosso diagrama de reta numérica. Então, uma terceira possibilidade será menos 𝑥 mais três igual a dois 𝑥 menos seis.
No entanto, onde exatamente é que isto ocorrerá no diagrama? Bem, na verdade não pode ocorrer porque menos 𝑥 mais três só é obtido quando 𝑥 é menor do que menos três e dois 𝑥 menos seis é obtido quando 𝑥 é maior ou igual a três. O valor de 𝑥 não pode ser menor do que menos três e maior ou igual a três. Portanto, esta equação não é realmente uma possibilidade.
Podemos, no entanto, resolver menos 𝑥 mais três igual a menos dois 𝑥 menos seis, pois é o que ocorre na região à esquerda do nosso diagrama de reta numérica. Agora, pegamos nestas equações e as resolvemos para determinar os valores de 𝑥. Quando 𝑥 mais três é igual a dois 𝑥 menos seis, vamos começar por subtrair 𝑥 de ambos os membros. Fazer isto e depois adicionar seis dar-nos-á que nove é igual a 𝑥 ou, é claro, 𝑥 é igual a nove.
Para a segunda equação, podemos começar por simplificar esta expressão no segundo membro. Então, 𝑥 mais três é igual a menos dois 𝑥 mais seis. Adicionar dois 𝑥 a ambos os membros e subtrair três dá-nos que três 𝑥 é igual a três. Portanto, 𝑥 é igual a um.
Na terceira equação, podemos notar que poderemos começar por dividir por menos um. Observe que, como isto nos dará 𝑥 mais três igual a dois 𝑥 menos seis, percebemos que é igual à primeira equação que resolvemos. Ambas as equações darão, portanto, a solução de que 𝑥 é igual a nove. Podemos, portanto, dar a resposta de que o conjunto-solução para esta equação é o conjunto que contém nove e um.
Mas antes de terminarmos com esta questão, vamos verificar utilizando um gráfico. Podemos obter um pouco de papel quadriculado. E vamos começar com o gráfico de 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais três. O gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 mais três tem um declive de um e uma interseção com O𝑦 de três. No entanto, em vez de continuar esta reta para baixo quando estamos a desenhar o gráfico de 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais três, cada coordenada em 𝑦 negativa será a coordenada em 𝑦 positiva.
A seguir, podemos considerar o gráfico de 𝑦 igual ao módulo de dois 𝑥 menos seis. Se estivéssemos a desenhar o gráfico de 𝑦 igual a dois 𝑥 menos seis, este terá uma interseção com O𝑦 de menos seis. No entanto, todas as coordenadas negativas de 𝑦 serão refletidas, portanto, este gráfico conterá as coordenadas zero, seis. O gráfico de 𝑦 igual ao módulo de dois 𝑥 menos seis ficará assim a rosa. Podemos ver que existem dois pontos de interseção: aqui quando 𝑥 é igual a um e aqui quando 𝑥 é igual a nove, confirmando assim a nossa resposta original.
Vamos dar uma olhadela numa questão final.
Determine algebricamente o conjunto-solução da equação, o módulo de 𝑥 mais três vezes o módulo de 𝑥 menos três é igual a 39.
Nesta questão, precisamos de descobrir a solução para duas expressões com módulo multiplicadas. Vamos considerar os diferentes valores possíveis para cada expressão. O módulo de 𝑥 mais três será 𝑥 mais três ou menos 𝑥 mais três. Será 𝑥 mais três quando 𝑥 mais três for maior ou igual a zero. Podemos simplificar isto subtraindo três de ambos os membros para que a inequação seja 𝑥 maior ou igual a menos três. E obtemos um resultado negativo quando 𝑥 mais três é menor do que zero ou 𝑥 é menor do que menos três.
Em seguida, para o módulo de 𝑥 menos três, teremos 𝑥 menos três ou menos 𝑥 menos três. Estes ocorrerão quando 𝑥 menos três for maior ou igual a zero ou quando for menor do que zero. Estas inequações podem ser escritas como quando 𝑥 é maior ou igual a três ou 𝑥 é menor do que três.
Agora podemos considerar as diferentes possibilidades de expressões que se multiplicarão. Para começar, poderemos ter 𝑥 mais três multiplicado por 𝑥 menos três igual a 39. Ou poderemos ter 𝑥 mais três multiplicado por menos 𝑥 menos três igual a 39. A terceira opção é que temos menos 𝑥 mais três multiplicado por 𝑥 menos três igual a 39. Ou, finalmente, poderemos ter menos 𝑥 mais três multiplicado por menos 𝑥 menos três igual a 39.
Antes de nos apressarmos em resolver todas as quatro equações, há algo que podemos observar. Olhando para a segunda e a terceira equações, por causa da propriedade comutativa da multiplicação, este menos aqui poderá ser colocado de forma equivalente aqui e o produto não mudará. Isto significa que as equações dois e três produzirão o mesmo resultado.
E assim o que notamos acerca da primeira e da última equações. Observe que este menos 𝑥 mais três multiplicado por um menos 𝑥 menos três produzirá um resultado positivo. Por outras palavras, é o mesmo que 𝑥 mais três multiplicado por 𝑥 menos três.
Então, vamos dar uma olhadela a como resolver a primeira equação e sabemos que dará o mesmo resultado que a quarta equação. Poderemos utilizar um método como o método FOIL para desembaraçar os parênteses no primeiro membro, observando que os termos mais três 𝑥 menos três 𝑥 simplificarão para zero. Assim, 𝑥 ao quadrado menos nove é igual a 39. Podemos então adicionar nove a ambos os membros. Poderemos então obter a raiz quadrada de ambos os membros, então teremos que 𝑥 igual à raiz quadrada de 48. No entanto, como queremos considerar os valores positivos e negativos da raiz quadrada, podemos utilizar o símbolo de mais ou menos. Como 48 pode ser escrito como 16 multiplicado por três, significa que podemos escrever isto de forma mais simples como igual a mais ou menos quatro raiz de três.
Agora, vamos dar uma olhadela a como resolver uma das outras equações, seja a equação dois ou três. Escolhendo menos 𝑥 mais três multiplicado por 𝑥 menos três é igual a 39, podemos começar por desembaraçar os parênteses. Utilizando o nosso resultado anterior de que 𝑥 mais três multiplicado por 𝑥 menos três dar-nos-á 𝑥 ao quadrado menos nove, temos que menos 𝑥 ao quadrado menos nove é igual a 39. Multiplicar ambos os membros desta equação por menos um dar-nos-á 𝑥 ao quadrado menos nove igual a menos 39. Então, adicionar nove dar-no-á 𝑥 ao quadrado igual a 30.
Neste ponto, podemos perceber que temos um problema. Pois, à medida que começamos a obter a raiz quadrada de ambos os membros, vemos que estamos a tentar obter a raiz quadrada de um valor negativo. Neste caso, não haverá solução real para 𝑥, portanto esta solução não será válida.
Antes de finalizarmos a nossa resposta, vamos pensar se as duas soluções para a equação 𝑥 mais três vezes 𝑥 menos três igual a 39 são válidas ou não para a equação com módulo. Esta equação em particular aplica-se apenas quando 𝑥 é menor do que menos três ou quando 𝑥 é maior ou igual a três. Portanto, se a solução para 𝑥 estiver na região menos três é menor ou igual a 𝑥 menor do que três, então não será válida. Acontece que menos quatro raiz de três é menor do que menos três; é cerca de menos 6.93. E quatro raiz de três é maior ou igual a três; é cerca de 6.93. Ambas as soluções são válidas. Portanto, temos apenas um conjunto de valores para a solução desta equação.
O conjunto-solução será menos quatro raiz de três e quatro raiz de três.
Agora podemos resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos que o módulo é a distância de um número de zero numa reta numérica. Finalmente, ao resolver equações com módulo, devemos verificar sempre se as nossas soluções são válidas, utilizando um método analítico ou gráfico.
