Vídeo: Divisão de Números Complexos

Nesta aula, aprenderemos a dividir números complexos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a dividir números complexos. Vamos aprender primeiro como dividir um número complexo por um número real e depois um número puramente imaginário, antes de generalizar essas técnicas para nos permitir dividir um número complexo por outro número complexo. Então, aprenderemos a usar esses processos para resolver equações que envolvam a divisão de números complexos.

Vamos começar aprendendo a dividir um número complexo por um número real. Isso é muito mais uma extensão do processo que usamos para multiplicar números complexos por números reais. Nós multiplicamos um número complexo por um número real usando a propriedade distributiva, multiplicando cada parte pelo número real. Podemos pensar em divisão por um número real 𝑐 como o mesmo que multiplicar pelo inverso de 𝑐, multiplicando por um sobre 𝑐. Um sobre 𝑐 multiplicado por 𝑧 é 𝑧 dividido por 𝑐. Nós multiplicamos um sobre 𝑐 por 𝑎 e obtemos 𝑎 sobre 𝑐. E multiplicamos um sobre 𝑐 por 𝑏𝑖 e obtemos 𝑏 sobre 𝑐𝑖. Podemos ver então que, para dividir um número complexo por um número real 𝑐, simplesmente dividimos a parte real e depois dividimos a parte imaginária.

Vamos ver um exemplo. Dado que 𝑧 é igual a cinco mais três 𝑖, expresse 𝑧 sobre dois na forma 𝑎 mais 𝑏𝑖.

Recebemos um número complexo, cinco mais três 𝑖, e estamos procurando calcular o valor ou o número complexo dado por 𝑧 dividido por dois. 𝑧 dividido por dois é cinco mais três 𝑖 dividido por dois. Para dividir um número complexo por um número real, precisamos dividir a parte real e a parte imaginária do número complexo pelo número real. Nós dividimos cinco — essa é a parte real — por dois. E nós dividimos a parte imaginária, três, por dois. Então, vemos que, para o nosso número complexo, 𝑧 sobre dois é o mesmo que cinco sobre dois mais três sobre dois 𝑖.

E quanto a dividir um número complexo por um número puramente imaginário? Simplifique dois mais quatro 𝑖 sobre 𝑖.

Para descobrir como dividir dois mais quatro 𝑖 por 𝑖, lembramos a definição de 𝑖. É uma solução para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos um. E nós dizemos que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Ou muitas vezes 𝑖 é igual à raiz quadrada de menos um.

Se considerarmos essa fração como dois mais quatro 𝑖 dividido pela raiz quadrada de menos um, podemos ver que, para simplificar, precisaríamos realizar o mesmo processo de racionalizar o denominador quando estivermos lidando com qualquer outro radical. Nós multiplicamos o numerador e o denominador da nossa fração pela raiz quadrada de menos um.

De fato, sabemos que a raiz quadrada de menos um é 𝑖. Então, multiplicaremos o numerador e o denominador dessa fração por 𝑖. E nós podemos fazer isso porque multiplicar por 𝑖 sobre 𝑖 é o mesmo que multiplicar por um. Essencialmente, estamos criando uma fração equivalente.

Vamos aplicar a propriedade distributiva para 𝑖 multiplicado por dois mais quatro 𝑖. 𝑖 multiplicado por dois é dois 𝑖 e 𝑖 multiplicado por quatro 𝑖 é quatro 𝑖 ao quadrado. Agora é claro que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Portanto, nossa expressão se torna dois 𝑖 mais quatro multiplicado por menos um, que é menos quatro mais dois 𝑖.

No denominador, multiplicamos 𝑖 por 𝑖, que é de fato 𝑖 ao quadrado, que é menos um. Assim, podemos reescrever dois mais quatro 𝑖 sobre 𝑖 como menos quatro mais dois um [𝑖] sobre menos um. E agora estamos simplesmente dividindo por um número real. E para dividir um número complexo por um número real, dividimos a parte real e depois dividimos separadamente a parte imaginária. Menos quatro dividido por menos um é quatro, e dois 𝑖 dividido por menos um é menos dois 𝑖. E nós simplificamos totalmente dois mais quatro 𝑖 sobre 𝑖. São quatro menos dois 𝑖.

De fato, podemos usar uma técnica semelhante para nos ajudar a dividir dois números complexos. Assim como usamos as regras para racionalizar o denominador quando esse denominador é um radical, também podemos aplicar as regras para racionalizar um denominador quando esse denominador é uma expressão que envolve um número racional e um radical.

Vamos considerar o exemplo. Simplifique três menos seis 𝑖 sobre um menos cinco 𝑖.

Para simplificar essa fração ou dividir três menos seis 𝑖 por um menos cinco 𝑖, precisamos encontrar uma maneira de obter um número real em nosso denominador. Então, o que podemos fazer para obter esse número real? Bem, lembre-se, se multiplicarmos um número complexo pelo seu complexo conjugado — que é encontrado alterando o sinal da parte imaginária, acabamos com um número real. Assim, para um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, seu conjugado é 𝑎 menos 𝑏𝑖.

Então, se multiplicarmos o numerador e o denominador dessa fração pelo conjugado complexo de um menos cinco 𝑖, acabaremos com um denominador real. E o conjugado de um menos cinco 𝑖 é um mais cinco 𝑖. Em seguida, distribuímos esses parênteses normalmente. Existem vários métodos diferentes que podemos usar.

Vamos ver o método de PEIU. “P” significa “primeiro”. Nós multiplicamos o primeiro termo no primeiro parêntese pelo primeiro termo no segundo parêntese. São três. “E” significa “exterior”. Nós multiplicamos os termos externos. Isso é 15𝑖. “I” significa “interior”. Nós multiplicamos os termos internos. Isso é menos seis 𝑖. E “U” significa “último”. Nós multiplicamos o último termo em cada parênteses. E desta vez, temos menos 30𝑖 ao quadrado.

Como sabemos que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, nosso último termo se torna menos 30 multiplicado por menos um, que é 30. E podemos simplificar nosso numerador para 33 mais nove 𝑖.

E vamos repetir esse processo com o denominador. Temos um mais cinco 𝑖 menos cinco 𝑖 menos 25 𝑖 ao quadrado. E, claro, 𝑖 ao quadrado é menos um. Então, acabamos com nosso termo final sendo 25 positivo. E então cinco 𝑖 menos cinco 𝑖 é zero. Então, ficamos com 26. E temos o denominador real que estávamos procurando. Então simplificamos parcialmente nossa fração. Agora temos 33 mais nove 𝑖 dividido por 26.

Para dividir um número complexo por um número real, podemos dividir a parte real e depois dividir separadamente a parte imaginária. A parte real de nossa resposta é 33 sobre 26, e a parte imaginária é nove sobre 26. Assim, nossa fração, na sua forma mais simples, é 33 sobre 26 mais nove sobre 26𝑖.

E, na verdade, nós poderíamos poupar um pouco de tempo recordando a fórmula geral para o produto de um número complexo com o seu conjugado. Se o número complexo for da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, dizemos que isso pode ser encontrado por 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Então, em geral, para dividir um número complexo por outro número complexo, escrevemos como uma fração. E então multiplicamos o numerador e o denominador dessa fração pelo conjugado do denominador. Podemos então distribuir e simplificar o máximo possível.

Vamos ver como isso se parece em geral. Um: Expandir e simplificar 𝑝 mais 𝑞𝑖 multiplicado por 𝑝 menos 𝑞𝑖. Dois: Expandir 𝑎 mais 𝑏𝑖 multiplicado por 𝑝 menos 𝑞𝑖. Três: Então, encontre uma fração que seja equivalente a 𝑎 mais 𝑏𝑖 sobre 𝑝 mais 𝑞𝑖 e cujo denominador seja real.

Para a primeira parte dessa pergunta, estamos tentando multiplicar dois números complexos. Poderíamos absolutamente aplicar qualquer método para distribuir parênteses, como o método PEIU ou o método de grade. No entanto, se olharmos com muito cuidado, podemos ver que esses dois números complexos são conjugados um do outro.

Para um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 é a parte real e 𝑏 é a parte imaginária, seu conjugado é encontrado alterando o sinal da parte imaginária. E isso é realmente útil. Permite-nos usar uma fórmula para o produto de um número complexo com o seu conjugado. É 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Nós elevamos a parte real ao quadrado e a adicionamos ao quadrado da parte imaginária. A parte real do nosso número complexo é 𝑝, e a parte imaginária é 𝑞. Assim, o produto de 𝑝 mais 𝑞𝑖 com seu conjugado 𝑝 menos 𝑞𝑖 é 𝑝 ao quadrado mais 𝑞 ao quadrado.

Infelizmente, não há truques legais que nos permitam multiplicar 𝑎 mais 𝑏𝑖 com 𝑝 menos 𝑞𝑖. Nós usaremos o método PEIU. Nós multiplicamos os primeiros termos. 𝑎 multiplicado por 𝑝 é 𝑎𝑝. Nós multiplicamos os termos externos e obtemos 𝑎𝑞𝑖. Multiplicando os termos internos nos dá 𝑏𝑝𝑖. E limpando um pouco de espaço para multiplicar os últimos termos, obtemos menos 𝑏𝑞𝑖 ao quadrado.

Agora, de fato, devemos lembrar que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. E assim este último termo se torna 𝑏𝑞 positivo. Vamos reorganizar isso um pouco, então parece um número complexo. Adicionamos as partes reais e obtemos 𝑎𝑝 mais 𝑏𝑞. E nós adicionamos separadamente as partes imaginárias. E quando o fazemos, descobrimos que a parte imaginária da distribuição desses parênteses é 𝑏𝑝 menos 𝑎𝑞. Então a resposta para a segunda parte é 𝑎𝑝 mais 𝑏𝑞 mais 𝑏𝑝 menos 𝑎𝑞𝑖.

E a parte final é encontrar uma fração equivalente a 𝑎 mais 𝑏𝑖 sobre 𝑝 mais 𝑞𝑖. E, claro, não é coincidência que nos tenham pedido para fazer o trabalho que já temos. Queremos criar uma fração equivalente que tenha um denominador real. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador de nossa fração pelo complexo conjugado do denominador. E claro, nós já calculamos isso.

Então vemos que uma fração equivalente a 𝑎 mais 𝑏𝑖 sobre 𝑝 mais 𝑞𝑖 cujo denominador é real — e de fato a forma geral de 𝑎 mais 𝑏𝑖 dividido por outro número complexo 𝑝 mais 𝑞𝑖 — é 𝑎𝑝 mais 𝑏𝑞 mais 𝑏𝑝 menos 𝑎𝑞𝑖 tudo sobre 𝑝 ao quadrado mais 𝑞 ao quadrado. Agora lembre-se, embora esteja tudo bem e bem derivar essa fórmula, é importante se concentrar em aplicar os processos de cada vez.

Se 𝑎 mais 𝑏𝑖 é igual a menos três menos cinco 𝑖 sobre menos três mais cinco 𝑖, é verdade que 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a um?

Recebemos o quociente de dois números complexos. E nos dizem que isso pode ser expresso como um único número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖. Para calcular a expressão 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado, precisaremos descobrir o que esse único número complexo realmente é. Para isso, aplicamos os processos para dividir números complexos.

Precisamos multiplicar o numerador e o denominador dessa fração pelo conjugado do denominador. Encontramos o conjugado alterando o sinal da parte imaginária. E se fizermos isso, vemos que o conjugado do nosso denominador é menos três menos cinco 𝑖.

Em seguida, multiplicaremos aplicando a propriedade distributiva. Vamos começar com o numerador. Vamos usar o método PEIU. Menos três multiplicado por menos três são nove. Multiplicando os termos externos, temos 15𝑖. E de fato os termos internos nos dão 15𝑖. E quando multiplicamos os dois últimos termos, temos 25𝑖 ao quadrado. Mas é claro que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então este último termo é 25 multiplicado por menos um, que é menos 25. Nós então adicionamos as partes reais e adicionamos separadamente as partes imaginárias, embora possamos pensar nisso como agrupar termos semelhantes. E conseguimos que o numerador de nossa fração seja menos 16 mais 30𝑖.

Agora podemos repetir este processo para o denominador. No entanto, se lembrarmos, para um número complexo geral da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖 cujo conjugado é 𝑎 menos 𝑏𝑖, o produto desses dois números é encontrado por 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. A parte real do nosso número complexo é menos três e a parte imaginária é cinco. Então, quando distribuímos esses parênteses, teremos menos três ao quadrado mais cinco ao quadrado. Isso é nove mais 25, que é 34. Então, menos três menos cinco 𝑖 sobre menos três mais cinco 𝑖 é menos 16 mais 30𝑖 sobre 34.

E, claro, se estamos dividindo um número complexo por um número real, dividimos as partes reais e depois as partes imaginárias separadamente. Menos 16 sobre 34 simplifica para menos oito sobre 17. E 30 sobre 34 simplifica para 15 sobre 17. E assim podemos ver que 𝑎 deve ser igual a menos oito sobre 17 e 𝑏 deve ser igual a 15 sobre 17.

Tudo o que resta é considerar a soma de seus quadrados, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Isso é menos oito sobre 17 ao quadrado mais 15 sobre 17 ao quadrado. Eles terão o mesmo denominador. Então, são 64 mais 225 sobre 289. Mas, na verdade, 64 mais 225 são 289. Assim, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 289 sobre 289, o que é obviamente um. E é de fato verdade que 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a um.

Agora, de fato, neste exemplo, os dois números complexos que estávamos dividindo eram conjugados um do outro. Na verdade, é uma regra geral que se dividirmos um número complexo pelo seu conjugado, a soma dos quadrados da parte real e imaginária desse novo número complexo será um.

Vamos agora considerar como resolver equações que envolvem a divisão de números complexos. Resolva a equação 𝑧 multiplicado por dois mais 𝑖 é igual a três menos 𝑖 em 𝑧.

Para resolver essa equação em 𝑧, precisamos aplicar operações inversas. Começaremos dividindo os dois lados dessa equação por dois mais 𝑖. E vemos que 𝑧 é igual a três menos 𝑖 dividido por dois mais 𝑖. Para dividir três menos 𝑖 por dois mais 𝑖, precisaremos multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de dois mais 𝑖. Para encontrar o conjugado, mudamos o sinal da parte imaginária. E vemos que o conjugado de dois mais 𝑖 é dois menos 𝑖.

Vamos distribuir os parênteses no numerador desta fração usando o método PEIU. Três multiplicado por dois é seis. Três multiplicado por menos 𝑖 é menos três 𝑖. Então, obtemos menos dois 𝑖. E nosso último termo dá 𝑖 ao quadrado. 𝑖 ao quadrado é obviamente menos um. Então nosso último termo é menos um.

E podemos agrupar termos semelhantes ou adicionar as partes reais e adicionar as partes imaginárias separadamente. E vemos que três menos 𝑖 multiplicado por dois menos 𝑖 é cinco menos cinco 𝑖. E poderíamos repetir esse processo para o denominador.

No entanto, existe uma regra especial que podemos usar para multiplicar um número complexo pelo seu conjugado. Podemos encontrar a soma dos quadrados das partes real e imaginária. A parte real é dois, e a parte imaginária, o coeficiente de 𝑖, é um. Portanto, o produto desses dois números complexos é quatro mais um, que é cinco. E vemos que 𝑧 é igual a cinco menos cinco 𝑖 sobre cinco.

Podemos então dividir as partes reais por este número real. Nós temos cinco dividido por cinco, que é um. E separadamente nós dividimos a parte imaginária por este número real. Cinco dividido por cinco é um. Então temos um menos 𝑖. E nós resolvemos nossa equação para 𝑧. Vimos que a divisão de números complexos pode consumir muito tempo.

Vamos ver um exemplo final de como podemos simplificar nosso trabalho. Simplifique três menos quatro 𝑖 sobre dois mais dois 𝑖 mais três menos quatro 𝑖 sobre dois menos dois 𝑖.

Nesta pergunta, procuramos descobrir a soma de duas frações cujos denominadores e numeradores são números complexos. Poderíamos aplicar as regras para dividir números complexos e trabalhar a partir daí. No entanto, esse é um processo demorado, especialmente para duas frações. Em vez disso, notamos que o numerador de cada fração é o mesmo. E podemos, portanto, reescrever essa expressão isolando o fator três menos quatro 𝑖. E temos três menos quatro 𝑖 multiplicados por um sobre dois mais dois 𝑖 mais um sobre dois menos dois 𝑖.

Em seguida, adicionaremos essas frações encontrando um denominador comum. O denominador comum é o produto desses dois números. São dois mais dois 𝑖 multiplicados por dois menos dois 𝑖. E quando multiplicamos o numerador da primeira fração por dois menos dois 𝑖, obtemos dois menos dois 𝑖. E para o numerador da segunda fração, obtemos dois mais dois 𝑖. Então simplificaremos isso em seguida.

Para o numerador, menos dois 𝑖 mais dois 𝑖 é zero. Então ficamos apenas com quatro. E na verdade não expandiremos os parênteses no denominador. Em vez disso, usamos o fato de que eles são complexos conjugados um do outro. E podemos encontrar seu produto encontrando a soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária. Isso é dois ao quadrado mais dois ao quadrado, que é oito.

Agora, quatro sobre oito simplifica para um meio. Então, precisamos encontrar a metade de três menos quatro 𝑖. A metade da parte real é três sobre dois e a metade da parte imaginária é menos dois. Portanto, nossa solução é três sobre dois menos dois 𝑖.

Neste vídeo, aprendemos que podemos dividir números complexos usando as mesmas técnicas que usamos para racionalizar o denominador. E isso é multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador, expandindo os parênteses e depois simplificando. Também vimos que pode ser útil procurar fatores comuns para ajudar a simplificar as expressões mais complicadas.

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