Vídeo: Transformações de Möbius

Neste vídeo, vamos definir as transformações de Möbius e aprender como interpretá-las no plano complexo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender sobre as transformações de Möbius, uma classe de transformações do plano complexo com o nome do matemático alemão August Ferdinand Möbius, que também deu seu nome à faixa de Möbius. Essa classe de transformações tem algumas propriedades muito interessantes, algumas das quais veremos no vídeo, que levam a aplicações para a matemática e além. Vamos pular direto para a definição.

Uma transformação de Möbius é uma transformação do plano complexo da forma 𝑇 tomando 𝑧 para 𝑎𝑧 mais 𝑏 tudo sobre 𝑐𝑧 mais 𝑑, onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são números complexos e 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é diferente de zero. Então, essencialmente, a imagem de 𝑧 é dada pelo quociente de polinômios lineares em 𝑧, com essa condição adicional envolvendo os coeficientes desses polinômios. Vamos primeiro ver por que precisamos dessa condição. Bem, suponha que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 fosse zero, então 𝑎𝑑 seria igual a 𝑏𝑐. E, portanto, poderíamos escrever 𝑎 em termos dos outros coeficientes. O que isso nos diz sobre a imagem de 𝑧? Usamos a fórmula que temos e substituímos nossa expressão por 𝑎. E agora nós simplificamos. E aqui está um truque.

No numerador, vemos que há um fator comum de 𝑏. E no denominador, vemos que há um fator comum de 𝑑. Fatorando 𝑏 e 𝑑, vemos os outros fatores serem cancelados. E a imagem de qualquer número complexo 𝑧 é apenas o quociente constante de coeficientes 𝑏 sobre 𝑑. Quando 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é zero, todo o plano complexo é mapeado para um único ponto, os pontos correspondentes ao número complexo 𝑏 sobre 𝑑. Não queremos considerar essas transformações. Então, exigimos que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 seja diferente de zero para impedir que isso aconteça.

Agora que entendemos isso, podemos nos concentrar na forma de 𝑇. Uma transformação de Möbius é uma transformação que pode ser escrita dessa forma. E 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 podem ser qualquer número complexo que você desejar, desde que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 seja diferente de zero. Para obter um exemplo da transformação de Möbius, precisamos apenas selecionar valores complexos para os coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑. Aqui, eu fiz 𝑎 dois mais 𝑖, 𝑏 menos dois, 𝑐 um e 𝑑 menos três menos quatro 𝑖. Claro, para ter certeza de que este é realmente um exemplo de uma transformação de Möbius, temos que verificar se 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é diferente de zero. Bem, com as escolhas que fizemos, obtemos um valor de menos 11𝑖 para 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐, que é diferente de zero. E, portanto, esta é realmente um exemplo de uma transformação de Möbius.

Este exemplo é bem complicado. Se quisermos entender as transformações de Möbius, devemos começar considerando as transformações de Möbius mais simples que podemos. O que podemos fazer é escolher 𝑐 para ser zero e 𝑑 para ser um. Então o denominador, zero 𝑧 mais um, é apenas um. E assim a imagem de 𝑧 simplifica muito bem para apenas 𝑎𝑧 mais 𝑏. Agora, o que nossa condição se torna? 𝑏 vezes zero é zero e 𝑎 vezes um é apenas 𝑎. Portanto, a condição para que esta seja uma transformação de Möbius é apenas 𝑎 é diferente de zero. Vemos então que qualquer transformação da forma 𝑇 um tomando 𝑧 para 𝑎𝑧 mais 𝑏, onde 𝑎 é diferente de zero, é uma transformação de Möbius. E todas as chamadas transformações básicas que vimos antes têm esse formato.

Por exemplo, podemos reduzir ainda mais nosso foco e definir 𝑎 igual a um. Vemos então que qualquer transformação da forma 𝑇 dois tomando 𝑧 para 𝑧 mais 𝑏, onde 𝑏 é um número complexo, é uma transformação de Möbius. Não há condição extra necessária nos coeficientes, pois 𝑎 é um e não zero. E você reconhece 𝑇 dois. Qualquer translação no plano complexo terá este formato. E, portanto, todas as translações do plano complexo são transformações de Möbius. A classe de transformações de Möbius contém a classe de translações. Agora, em vez de definir 𝑎 igual a um em 𝑇 um, podemos definir 𝑏 igual a zero. Isso nos deixa com transformações da forma 𝑇 três tomando 𝑧 para 𝑎𝑧, onde 𝑎 é um número complexo.

Aqui, precisamos ter cuidado com a condição de que 𝑎 é diferente de zero. Se 𝑎 fosse zero, então 𝑇 três transformaria todo número complexo 𝑧 em zero. Todo o plano complexo seria transformado para a origem. Podemos incluir essa condição fazendo 𝑎𝑏 um número complexo diferente de zero. Mais uma vez, reconhecemos a forma 𝑇 três. Todas as ampliações do plano complexo com o centro na origem têm essa forma, pois são todas rotações sobre a origem. Em geral, esta é a forma de uma composição de uma ampliação e rotação. E assim, podemos ver que todas as ampliações com centro na origem, rotações sobre a origem e suas composições são transformações de Möbius.

E, de fato, apesar de não provarmos isso, a forma 𝑇 um inclui todas as ampliações no plano complexo e não importa qual seja o centro e todas as rotações do plano complexo, independentemente do ponto no plano complexo em que estamos rotacionando. Assim, as transformações de Möbius incluem todas as translações, todas as ampliações e todas as rotações do plano complexo. No entanto, estes são os casos mais simples de transformações de Möbius. E assim, podemos não ter uma boa ideia da transformação geral de Möbius apenas examinando translações, ampliações e rotações. Para uma transformação geral de Möbius, 𝑐 não é zero e 𝑑 não é um. E assim, temos que fazer alguma divisão também. Vamos ver a transformação mais simples de Möbius, que envolve alguma divisão.

Definimos 𝑎 como zero, 𝑏 como um, 𝑐 como um e 𝑑 como zero. E assim, simplificando, vemos que a imagem de 𝑧 é a inversa, um sobre 𝑧. A condição nos coeficientes é satisfeita. E isso é realmente uma transformação de Möbius. Eu afirmo que com nossa compreensão de translações, ampliações e rotações, a fim de entender o que uma transformação geral de Möbius faz, é suficiente entender essa transformação inversa. Eu vou voltar neste assunto mais tarde. Mas, primeiro, vamos analisar a transformação inversa em detalhes.

É mais fácil ver o que a transformação inversa faz considerando seus efeitos no módulo e no argumento do número complexo. Então, escrevemos nosso número complexo na forma exponencial. Sua imagem é então um sobre 𝑟𝑒 para 𝑖𝜃, que pelo teorema de DeMoivre é 𝑟 elevado a menos um vezes 𝑒 elevado a 𝑖 menos 𝜃. Então o módulo 𝑟 vai para a inversa, um sobre 𝑟. E o argumento 𝜃 vai para o seu oposto, menos 𝜃. Dado o ponto no plano complexo, podemos encontrar sua imagem na transformação inversa em duas etapas. Primeiro, tomamos o módulo para a inversa, deixando o argumento inalterado. E então, pegamos o argumento ao seu oposto, deixando o módulo inalterado.

Então, se começamos com 𝑧 um, então esta é a imagem de 𝑧 um, que é um sobre 𝑧 um. O primeiro passo, em que levamos o módulo para a inversa, é um pouco misterioso. É importante perceber que, se começarmos com um número complexo cujo módulo for menor que um, ao tomar o inverso do módulo, acabaremos com um módulo maior. E assim, a imagem de 𝑧 dois tem um módulo maior do que 𝑧 dois. No entanto, podemos reconhecer o segundo passo em que pegamos o argumento 𝜃 ao seu oposto. Este passo por si só leva um número ao seu complexo conjugado. Geometricamente, isso representa a reflexão no eixo real.

Você pode gostar de passar algum tempo explorando onde esta transformação mapeia pontos em diferentes partes do plano complexo. Você verá, por exemplo, que para que essa transformação faça sentido, 𝑧 deve ser diferente de zero. Em particular, vale a pena explorar onde a transformação inversa mapeia pontos dentro, no e fora do círculo unitário. Então pause o vídeo e pense sobre isso.

Continuamos encontrando as imagens de vários locais no plano complexo sob essa transformação inversa. Uma transformação que transforma o plano 𝑧 no plano 𝑤 é definida por 𝑇 tomando 𝑧 para um sobre 𝑧, onde 𝑧 é diferente de zero. Parte um, encontre uma equação para a imagem do módulo de 𝑧 igual a dois sob a transformação. Parte dois, encontre uma equação para a imagem do argumento de 𝑧 é igual a três 𝜋 sobre quatro. Parte três, encontre uma equação cartesiana para a imagem da parte imaginária de 𝑧 é igual a dois. E parte quatro, encontre uma equação cartesiana para a imagem do módulo de 𝑧 menos 𝑖 igual a um.

Nossa transformação leva 𝑧 ao seu inverso, um sobre 𝑧. E assim, 𝑤 é um sobre 𝑧. Na primeira parte, queremos encontrar a imagem do módulo de 𝑧 igual a dois sob essa transformação. Podemos inverter nossa transformação para encontrar 𝑧 em termos de 𝑤. Multiplicando ambos os lados por 𝑧 e depois dividindo por 𝑤, descobrimos que 𝑧 é um sobre 𝑤. Substituindo isso, então, descobrimos que nossa imagem tem a equação do módulo de um sobre 𝑤 é igual a dois. Mas podemos melhorar esta equação. Usamos o fato de que o módulo de um quociente é o quociente dos módulos e que o módulo de um é simplesmente um. Reorganizando então, podemos reescrever nossa equação como o módulo de 𝑤 é igual a um meio.

Agora, o que isso parece no plano complexo? Bem, o nosso local original com equação de módulo de 𝑧 é igual a dois é um círculo com centro na origem e raio dois no plano 𝑧. E sua imagem sob a transformação inversa, nós mostramos que tem equação do módulo de 𝑤 é igual a um meio, o que reconhecemos como um círculo com o centro na origem e um raio de um meio no plano 𝑤. Isso faz sentido. Sabemos que a imagem de um número complexo com módulo 𝑟 sob essa transformação terá um módulo de um sobre 𝑟. E assim a imagem de um número complexo com módulo dois tem módulo um sobre dois que é um meio. E assim, quando transformamos o círculo de todos os números complexos com o módulo dois nessa transformação, é natural obtermos o círculo de todos os números complexos com o módulo de um meio.

Vamos agora seguir em frente para encontrar a imagem do argumento de 𝑧 igual a três 𝜋 sobre quatro. Mais uma vez, usamos o fato de que 𝑧 é um sobre 𝑤. E então o argumento de um sobre 𝑤 é três 𝜋 sobre quatro. Usamos o fato de que o argumento de um quociente é a diferença dos argumentos. E também que o argumento de um é apenas zero. E assim multiplicando ambos os lados por menos um, obtemos a equação do argumento de 𝑤 é igual a menos três 𝜋 sobre quatro. Mais uma vez, é útil analisar o diagrama. Vemos que a metade da reta de números complexos com argumento três 𝜋 sobre quatro é transformada para a metade da reta dos números complexos com argumentos negativos três 𝜋 sobre quatro. Sabemos que há um número complexo com argumento 𝜃 será transformado em um número complexo com argumento menos 𝜃. Então isso faz sentido.

Agora vamos encontrar a imagem da parte imaginária de 𝑧 igual a dois. Pode não estar claro o que fazer com a parte imaginária de um sobre 𝑤. O que fazemos quando pedimos uma equação cartesiana é escrever 𝑤 ​​em termos de suas partes real e imaginária, que chamamos de 𝑢 e 𝑣. Como encontramos a parte imaginária de um sobre 𝑢 mais 𝑖𝑣? Nós fazemos o denominador real da maneira normal. E agora, com esse número escrito em forma algébrica, podemos apenas ler as partes imaginárias. É menos 𝑣 sobre 𝑢 ao quadrado mais 𝑣 ao quadrado. Podemos ser tentados a parar de simplificar nesse ponto. Mas se dividirmos por dois e completarmos o quadrado em 𝑣, obteremos algo. Isso é reconhecidamente a equação de um círculo. Vamos traçar isso em um diagrama. Vemos que a reta de números complexos com a parte imaginária dois foi transformada em um círculo no plano 𝑤.

Finalmente, encontramos a imagem do módulo de 𝑧 menos 𝑖 igual a um. Nós substituímos um sobre 𝑤 por 𝑧 e depois escrevemos o que temos dentro do módulo como uma única fração. Isso nos permite aplicar o que sabemos sobre o módulo de um quociente. Assim, podemos multiplicar ambos os lados pelo módulo de 𝑤. Agora podemos substituir 𝑢 mais 𝑖𝑣 por 𝑤. Podemos simplificar no lado esquerdo. E agora estamos prontos para aplicar a definição do módulo. Nós elevamos os dois lados ao quadrado. E menos 𝑢 ao quadrado é o mesmo que 𝑢 ao quadrado; então estes cancelam. Distribuindo no lado esquerdo, vemos os termos 𝑣-quadrados cancelados também. Então nós achamos que dois 𝑣 é menos um. E, portanto, a equação da nossa imagem é 𝑣 igual a menos um meio. Vemos então que o círculo com centro 𝑖 e raio um é transformado na linha reta de pontos no plano 𝑤 com parte imaginária menos um meio.

Vamos recapitular então. Na primeira parte, o círculo foi transformado em um círculo. Na parte dois, uma reta foi transformada em uma reta. Bem, na verdade, uma meia reta foi transformada em uma meia reta. Na parte três, uma reta foi transformada em um círculo. E na parte quatro, um círculo foi transformado em uma reta. Esses exemplos foram cuidadosamente escolhidos para ilustrar todas as possibilidades. A transformação inversa transforma qualquer círculo em um círculo ou uma linha reta e qualquer linha reta em uma linha reta ou um círculo. Podemos definir um círculo generalizado para ser uma curva que seja um círculo ou uma linha reta. Então, é um teorema que não provaremos neste vídeo que a transformação inversa transforma círculos generalizados em círculo generalizados.

A imagem de um círculo generalizado sob a transformação inversa é um círculo generalizado. A transformação inversa é representativa de todas as transformações de Möbius dessa maneira. Qualquer transformação de Möbius transforma círculos generalizados em círculos generalizados. A imagem de um círculo ou reta sob uma transformação de Möbius será sempre um círculo ou uma reta. Não há outras possibilidades. Esta é uma das boas propriedades das transformações de Möbius, o que as torna muito úteis. Vale a pena passar algum tempo a convencer-se de que isto é claramente verdade para translações, rotações e ampliações, todas elas são casos especiais de transformações de Möbius.

Agora que esperamos compreender melhor a transformação inversa, deixem-me justificar minha afirmação de que isso nos ajuda a entender qualquer transformação de Möbius. Nós tomamos uma transformação arbitrária de Möbius. Então, se 𝑐 é diferente de zero, definimos algumas transformações auxiliares. Observe que todas elas são transformações de Möbius. Em particular, temos duas translações, uma ampliação com o centro na origem, rotação sobre a origem ou combinação das mesmas e a transformação inversa que acabamos de ver. Espero que todas essas transformações sejam familiares agora. Então acontece que nossa transformação arbitrária de Möbius é uma composição dessas transformações auxiliares.

Eu não vou passar pela álgebra aqui. Mas você pode verificar isso, se quiser. Se entendermos as transformações de 𝑇 um a 𝑇 quatro individualmente, podemos entender a transformação original como uma composição. Se 𝑐 é igual a zero, então é ainda mais fácil. Podemos provar muitas das propriedades das transformações de Möbius decompondo-as dessa maneira. Por exemplo, sabemos que 𝑇 um como uma translação leva círculos generalizados a círculos generalizados. E temos boas razões para esperar que 𝑇 dois também. 𝑇 três é uma ampliação ou rotação sobre a origem ou talvez uma combinação delas. E assim, certamente leva círculos generalizados em círculos generalizados. E 𝑇 quatro é outra translação que leva círculos generalizados a círculos generalizados.

Então, o que 𝑇 faz para círculos generalizados? Bem, 𝑇 um leva o círculo generalizado em um círculo generalizado que é transformado por 𝑇 dois para um círculo generalizado que é transformado por 𝑇 três para um círculo generalizado que é finalmente transformado por 𝑇 quatro em um círculo generalizado. Assim, a arbitrária transformação de Möbius 𝑇 transforma círculos generalizados em círculos generalizados. Ou, pelo menos, podemos reduzir o problema de verificar se uma transformação arbitrária de Möbius transforma círculos generalizados em círculos generalizados para verificar se a transformação inversa transforma círculos generalizados em círculos generalizados. As transformações de Möbius se comportam bem sob a composição. Vamos provar que a composição de duas transformações de Möbius é em si uma transformação de Möbius.

Prove que a composição de duas transformações de Möbius é uma transformação de Möbius.

Nós permitimos que 𝑇 um e 𝑇 dois sejam duas transformações arbitrárias de Möbius com os coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 e 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, respectivamente. Nossa tarefa é então mostrar que sua composição é uma transformação de Möbius. Pela definição de composição, vemos que a transformação leva 𝑧 para 𝑇 um de 𝑇 dois de 𝑧. E nós sabemos o que 𝑇 dois de 𝑧 é; então nós substituímos. É 𝛼𝑧 mais 𝛽 sobre 𝛾𝑧 mais 𝛿. Agora só temos que aplicar 𝑇 um a isso. Usamos a fórmula para 𝑇 um de 𝑧 substituindo 𝛼𝑧 mais 𝛽 sobre 𝛾𝑧 mais 𝛿 para 𝑧. Agora, simplificamos e reorganizamos os termos para escrevê-lo na forma esperada.

Então parece que temos a forma de uma transformação de Möbius. Mas ainda não acabamos. Ainda precisamos verificar a restrição nos coeficientes de que o produto desses coeficientes menos o produto desses coeficientes é diferente de zero. Aplicamos a propriedade distributiva e notamos que alguns termos são cancelados, e que dois dos termos restantes têm um fator comum de 𝑎𝑑. E os outros dois termos têm um fator comum de 𝑏𝑐. Agora podemos ver o fator comum de 𝛼𝛿 menos 𝛽𝛾, o que nos permite fatorar completamente. Agora, como isso nos ajuda a mostrar que isso é diferente de zero?

Bem, sabemos que 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é diferente de zero e também que αδ menos 𝛽𝛾 é diferente de zero. E, portanto, essa quantidade como um produto de números diferentes de zero é em si mesma diferente de zero. Portanto, conforme necessário, a composição de 𝑇 um e 𝑇 dois é uma transformação de Möbius. E como 𝑇 um e 𝑇 dois foram transformações arbitrárias de Möbius, provamos que a composição de duas transformações de Möbius é uma transformação de Möbius conforme necessário.

Os principais pontos abordados neste vídeo são os seguintes. Uma transformação de Möbius é uma transformação da forma 𝑇 tomando 𝑧 para 𝑎𝑧 mais 𝑏 sobre 𝑐𝑧 mais 𝑑 onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são números complexos e 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é diferente de zero. As transformações de Möbius transformam retas e círculos em retas e círculos. E a transformação que você obtém ao compor duas transformações de Möbius é sempre ela mesma, uma transformação de Möbius.

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