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Neste vídeo, aprenderemos como determinar a probabilidade da diferença de dois acontecimentos. Isto é escrito como a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵, onde 𝐴 e 𝐵 são dois acontecimentos. Começaremos este vídeo introduzindo algumas notações importantes e fórmulas. No diagrama de Venn apresentado que representa os acontecimentos 𝐴 e 𝐵, a secção sombreada a rosa representa a probabilidade de 𝐴. No segundo diagrama de Venn, a secção sombreada representa a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Estes são os elementos que ocorrem no acontecimento 𝐴 e no acontecimento 𝐵.
Neste vídeo, utilizaremos estas definições para ajudar a entender a regra da diferença em probabilidade. Isto é denotado como a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 e é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto pode ser representado num diagrama de Venn da seguinte maneira. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é todos os elementos dentro do acontecimento 𝐴, mas não no acontecimento 𝐵. Segue-se que a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 é igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. No nosso diagrama de Venn, vemos que estes são todos os elementos no acontecimento 𝐵 menos aqueles que também estão no acontecimento 𝐴. Vamos agora considerar alguns exemplos em que precisamos de utilizar estas fórmulas.
Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam dois acontecimentos. Dado que a probabilidade de 𝐴 é 0.3 e a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é 0.03, determine a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵.
Para responder a esta questão, precisamos de nos recordar da regra da diferença em probabilidade. Isto afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Substituindo os valores dados na questão, temos a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 igual a 0.3 menos 0.03. Isto é igual a 0.27. Dados os dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 onde a probabilidade de 𝐴 é 0.3 e a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é 0.03, então a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é 0.27.
Também poderemos responder a esta questão utilizando um diagrama de Venn onde os dois círculos apresentados representam os acontecimentos 𝐴 e 𝐵. Dizem-nos que a probabilidade do acontecimento 𝐴 é 0.3. Também nos é dito que a interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 tem uma probabilidade de 0.03. Nesta questão, precisamos de calcular a probabilidade do acontecimento 𝐴 menos 𝐵, e é claro no diagrama que esta corresponde ao cálculo 0.3 menos 0.03 que, mais uma vez, nos dá a nossa resposta de 0.27.
No nosso próximo exemplo, precisaremos de reorganizar a fórmula.
Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam dois acontecimentos. Dado que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual a dois sétimos e a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é um sexto, determine a probabilidade de 𝐴.
Começamos esta questão recordando a regra da diferença em probabilidade. Isto afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Dizem-nos que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual a dois sétimos e a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é um sexto. Substituindo estes valores na nossa fórmula, temos dois sétimos é igual à probabilidade de 𝐴 menos um sexto. Para calcular a probabilidade de 𝐴, podemos adicionar um sexto a ambos os membros desta equação. A probabilidade de 𝐴 é igual a dois sétimos mais um sexto.
Para adicionar quaisquer duas frações, começamos por determinar um denominador comum. Neste caso, utilizaremos 42, pois este é o menor múltiplo comum de sete e seis. Multiplicar o numerador e o denominador da nossa primeira fração por seis dá-nos 12 sobre 42, e multiplicar o numerador e o denominador da segunda fração por sete dá-nos sete sobre 42. Dois sétimos mais um sexto é, portanto, igual a 19 sobre 42. Podemos, portanto, concluir que a probabilidade do acontecimento 𝐴 é 19 sobre 42.
No nosso próximo exemplo, resolveremos um problema no contexto.
Uma bola é retirada ao acaso de um saco que contém 12 bolas, cada uma com um número único de um a 12. Suponha que 𝐴 seja o acontecimento de desenhar um número ímpar e 𝐵 é o acontecimento de desenhar um número primo. Determine a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵.
É-nos dito na questão que existem 12 bolas numeradas de um a 12 no saco. Cada um deles tem a mesma probabilidade de ser retirada ao acaso, tendo uma probabilidade de um sobre 12 ou um doze avos de ser escolhido. Disseram-nos que 𝐴 é o caso de desenhar um número ímpar. Existem seis destas bolas, números um, três, cinco, sete, nove e 11. Isto significa que a probabilidade do acontecimento 𝐴 ocorrer é seis sobre 12. Ao dividir o numerador e o denominador por seis, vemos que isto simplifica para um meio. Também nos é dito que 𝐵 é o caso de desenhar um número primo. Sabemos que um número primo tem exatamente dois fatores: o número um e o próprio número. Os números primos entre um e 12 inclusive são dois, três, cinco, sete e 11. Isto significa que a probabilidade do acontecimento 𝐵 ocorrer é de cinco em 12 ou cinco doze avos.
Também podemos ver que a probabilidade do acontecimento 𝐴 e 𝐵 ocorrerem, a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵, é igual a quatro sobre 12. Isto ocorre porque quatro dos números, três, cinco, sete e 11, são ímpares e primos. Somos solicitados a determinar a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵. Recordando a regra da diferença em probabilidade, sabemos que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é, portanto, igual a um meio ou seis doze avos menos quatro doze avos. Isto é igual a dois doze avos, o que por sua vez simplifica para um sobre seis ou um sexto. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual a um sexto.
Na verdade, poderemos ter calculado esta resposta diretamente no nosso diagrama. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 significa que precisamos de determinar números ímpares que não sejam primos. Nesta questão, estes são os números um e nove. Dois dos 12 números são ímpares e não primos. Isto confirma a nossa resposta de dois sobre 12 ou um sexto.
Antes de considerar os nossos dois últimos exemplos, precisamos de lembrar algumas outras fórmulas de probabilidade importantes. A regra da adição em probabilidade afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Esta fórmula também pode ser reorganizada como se apresenta. O complementar de um acontecimento denotado por 𝐴 barra ou 𝐴 linha é o conjunto de resultados que não são o acontecimento. Como as probabilidades somam um, sabemos que a probabilidade do complementar de 𝐴 é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Agora utilizaremos estas duas fórmulas em conjunto com a regra da diferença em probabilidade para resolver os nossos dois últimos exemplos.
Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam acontecimentos numa experiência aleatória. Dado que a probabilidade de 𝐴 é 0.71, a probabilidade de 𝐵 bar é 0.47 e a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é 0.99, determine a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴.
Antes de iniciar esta questão, lembramos que 𝐵 barra significa o complementar do acontecimento 𝐵. A probabilidade do complementar é a mesma que a probabilidade do acontecimento não ocorrer. Como as probabilidades somam um, sabemos que a probabilidade de 𝐵 barra é igual a um menos a probabilidade de 𝐵. Reorganizando esta fórmula, a probabilidade do acontecimento 𝐵 é, portanto, igual a um menos a probabilidade do complementar de 𝐵. Como isto é igual a 0.47, podemos subtrair isto de um para calcular a probabilidade do acontecimento 𝐵. A probabilidade do acontecimento 𝐵 é, portanto, igual a 0.53. A razão pela qual precisamos deste valor é que somos solicitados a calcular a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴. Recordando a regra da diferença em probabilidade, sabemos que esta é igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.
Agora sabemos que a probabilidade de 𝐵 é 0.53 e podemos calcular a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Podemos fazer isto utilizando a regra da adição em probabilidade, uma forma da qual afirma que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 união 𝐵. Dizem-nos na questão que a probabilidade de 𝐴 é 0.71. Calculamos que a probabilidade de 𝐵 é 0.53 e também nos é dado que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é 0.99. A probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é, portanto, igual a 0.71 mais 0.53 menos 0.99. Isto é igual a 0.25. Substituindo este valor na regra da diferença em probabilidade, vemos que a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 é igual a 0.53 menos 0.25. Isto dá-nos uma resposta final de 0.28.
Vamos agora ver um exemplo final em contexto.
A probabilidade de James passar a matemática é de 0.33 e a probabilidade de reprovar em física é de 0.32. Dado que a probabilidade de passar em pelo menos uma delas é de 0.71, determine a probabilidade de ele passar exatamente numa das duas disciplinas.
Começaremos por definir o acontecimento 𝐴 como passar a matemática e o acontecimento 𝐵 como passar a física. É importante notar que estamos a considerar apenas dois resultados possíveis, se o aluno é aprovado ou reprovado. Não estamos interessados na nota ou pontuação, apenas se passa ou não. Isto significa que a probabilidade do acontecimento 𝐴, James passar a matemática, é de 0.33. Temos a probabilidade de James reprovar a física. Isto é igual a 0.32. Isto é conhecido como complementar do acontecimento 𝐵 e é escrito como a probabilidade de 𝐵 bar. Isto é igual a 0.32.
Sabemos que a probabilidade do complementar é igual a um menos a probabilidade do acontecimento. Neste caso, 0.32 é igual a um menos a probabilidade de 𝐵. Reorganizando esta equação, temos a probabilidade do acontecimento 𝐵 ser igual a um menos 0.32 que por sua vez é igual a 0.68. A probabilidade de James passar a física é de 0.68.
Também nos é dito que a probabilidade de James passar a pelo menos uma disciplina é de 0.71. Isto é o mesmo que dizer que James passa a matemática ou a física ou a ambos. Isto pode ser escrito como a probabilidade de 𝐴 união 𝐵. Podemos então utilizar a regra da adição em probabilidade para calcular a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 união 𝐵. Substituindo os valores que conhecemos, isto é igual a 0.33 mais 0.68 menos 0.71 que é igual a 0.3 ou 0.30. A probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é 0.3.
Nesta fase, podemos proceder de duas maneiras. Em primeiro lugar, podemos utilizar a regra da diferença em probabilidade. Isto afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Também temos a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Determinar a soma destes dois acontecimentos dar-nos-á a probabilidade de o James passar exatamente numa das duas disciplinas. Vamos começar por calcular a probabilidade de que ele passe apenas a matemática. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual a 0.33 menos 0.3. Isto é igual a 0.03. Agora, vamos considerar a probabilidade de que James passe apenas a física. Isto é igual a 0.68 menos 0.3, que é igual a 0.38.
Determinando a soma destes dois valores, podemos concluir que a probabilidade de o James passar exatamente a uma das duas disciplinas é de 0.41. Podemos demonstrar esta solução num diagrama de Venn. Sabemos que a probabilidade dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 ocorrerem é 0.3, a probabilidade de apenas o acontecimento 𝐴 ocorrer, James passar apenas a matemática, é 0.03 e a probabilidade de apenas o acontecimento 𝐵 ocorrer é 0.38. Os três valores no diagrama de Venn somam 0.71, a probabilidade de 𝐴 ou 𝐵 ocorrer. Como sabemos que todas as probabilidades somam um, a probabilidade de que nem o acontecimento 𝐴 nem o acontecimento 𝐵 ocorram é de 0.29. Esta é a probabilidade de James reprovar a ambas as disciplinas. Adicionando 0.03 e 0.38, isto confirma que a probabilidade de James passar exatamente a uma das suas duas disciplinas é 0.41.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Neste vídeo, utilizamos a regra da diferença em probabilidade para resolver vários problemas. Esta regra afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Da mesma forma, a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 é igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Também utilizámos outras fórmulas de probabilidade, incluindo a regra de adição para ajudar a resolver problemas de várias etapas.
