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Vídeo: Função por Partes

Depois de uma recapitulação dos termos domínio, imagem e função, consideramos funções que são definidas de maneira fragmentada, com uma coleção de domínios não sobrepostos e equações correspondentes mapeando as entradas para a imagem.

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Transcrição do vídeo

Funções Por Partes

Mas primeiro, precisamos lembrar que o domínio é sempre o eixo 𝑥 e os valores de entrada, e a imagem é sempre o eixo 𝑦 e os valores de saída. Também precisamos lembrar que uma função é onde cada elemento no domínio é mapeado para exatamente um elemento na imagem. E isso é o que realmente uma função por partes parece. E uma função por partes pode ser definida como uma função na qual mais de uma fórmula é usada para definir a imagem em diferentes partes do domínio. O que significa é que essa fórmula um é apenas parte da imagem. É apenas uma parte da função se 𝑥 estiver nessa parte do domínio e o mesmo com a fórmula dois e a fórmula três. Agora, pode haver tantas fórmulas dentro de uma função por partes quanto precisarmos para fazer função por partes. Obviamente, não há máximo, mas o mínimo é claro, duas partes. Porque senão, será apenas uma função. Agora, outra coisa importante a notar é que apenas uma fórmula pode ser aplicada a um domínio. E isso fará mais sentido quando analisarmos o próximo exemplo.

A função 𝑓 de 𝑥 é definida por 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco menos dois 𝑥, se 𝑥 for menor que um, e 𝑥 ao quadrado mais três, se 𝑥 for maior que ou igual a um. Encontre o domínio e a imagem. Então, olhando para essas inequações, podemos ver o que eu disse antes, que apenas uma função pode ser aplicada a uma parte do domínio. Assim, podemos ver que a primeira função é tudo menos que um e, em seguida, para a segunda função, é tudo maior ou igual a um. Elas também não podem ser iguais. OK. Então, vamos começar a encontrar o domínio e a imagem. A primeira coisa que devemos fazer é esboçar ambos os gráficos individualmente e depois combiná-los em um eixo. Eu vou em frente e apenas combiná-los para um eixo imediatamente.

Então este é o gráfico 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco menos dois 𝑥. E este é o gráfico 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais três. Agora você notará esses círculos. Fizemos isso porque dissemos que neste círculo que está colorido, isso significa que a função também está incluída nessa coordenada, enquanto esse círculo não está colorido, portanto aqui, ela não está incluída. E isso vai relembrar como agimos em retas numéricas.

OK. Então, vamos encontrar o domínio e a imagem. Bem, sabemos que o domínio é todo valor de entrada possível no eixo 𝑥. Então o que quer que 𝑥 seja, sabemos que 𝑥 pode ser qualquer número real, como 𝑥 pode ser qualquer número negativo da função cinco menos dois 𝑥, e 𝑥 pode ser qualquer número positivo da função 𝑥 ao quadrado mais três. Também recebemos isso na pergunta, porque nos disseram que 𝑥 será tudo menor que um e também tudo que for maior ou igual que um. Portanto, o domínio é apenas 𝑥 no conjunto dos números reais. Ou poderíamos dizer, todo valor de 𝑥 do infinito negativo até o infinito positivo, se você preferir definir por essa notação.

Agora, olhando para a imagem, sabemos que a imagem são todos os nossos valores de saída ou o eixo 𝑦. E podemos ver que receberemos todos os valores de 𝑦 maior que três. Agora isso é importante notar. É maior que três porque essa coordenada não está incluída na função. Então 𝑓 de 𝑥 é maior que três.

OK. Então, apenas para recapitular, uma função por partes, depois do que aprendemos aqui, é uma função que possui múltiplas fórmulas para definir o intervalo em diferentes partes do domínio dado. E sabemos que o domínio é o eixo 𝑥, todos os nossos valores de entrada. E o intervalo é o eixo 𝑦, todos os valores de saída. E o que devemos fazer quando nos é dada uma função por partes, é esboçar e encontrá-los.