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Vídeo: Falsa Demostração de Matriz 𝐴 = Matriz 𝐼

Neste vídeo, realizamos operações em matrizes para verificar uma alegada demonstração de que uma matriz é igual a outra matriz diferente.

09:09

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos trabalhar com matrizes e verificar uma alegada demonstração de que a matriz um, um, zero, zero é igual à matriz um, zero, zero, um.

Então vamos começar por definir a matriz 𝐴 como um, um, zero, zero. E se eu multiplicar 𝐴 por si própria, primeiro eu multiplico um por um, e a seguir eu adiciono um vezes zero para obter este termo aqui. A seguir eu multiplico um por um e adiciono um vezes zero para obter este termo aqui. Depois, zero vezes um e zero vezes zero para obter este termo aqui. E, por último, zero vezes um e zero vezes zero para obter este termo aqui.

Bem, um vezes um é um. Um vezes zero é zero. Um e zero é um. E um vezes um é um. Um vezes zero é zero. Um e zero é um. Zero vezes um é zero. Zero vezes zero é zero. Zero mais zero é zero. E mais uma vez, zero vezes um é zero. Zero vezes zero é zero. Zero mais zero é zero.

Então isso significa que se eu multiplicar matriz 𝐴 pela matriz 𝐴, por si própria, por outras palavras, eu obtenho o resultado que é a matriz 𝐴. Agora, eu posso multiplicar ambos os membros da minha equação pela inversa da matriz 𝐴. E como a multiplicação de matrizes é associativa, não importa se eu multiplico inversa de 𝐴 pelo resultado de 𝐴 vezes 𝐴 ou se multiplico o resultado de 𝐴 inversa de 𝐴 pela matriz 𝐴. Em ambos os casos, obteremos o mesmo resultado.

Agora, a definição da inversa da matriz 𝐴 é que, quando eu multiplico 𝐴 pela sua inversa, obtenho a matriz identidade um, zero, zero, um. E estou a fazer isso aqui e aqui. Portanto, a matriz identidade vezes a matriz 𝐴 é igual à matriz de identidade. E porque multiplicar pela matriz identidade é um pouco como multiplicar um número por um, dá um resultado que é igual à matriz original, o que significa que 𝐴 é igual a 𝐼.

E através de uma série de etapas lógicas, provamos que a matriz um, um, zero, zero é igual à matriz um, zero, zero, um. Bem, isso foi tudo muito plausível, mas posso garantir que a matriz um, um, zero, zero não é igual à matriz um, zero, zero, um. Então, por que não para o vídeo agora. Observe atentamente. E veja se consegue descobrir onde a lógica falhou. Certo! Primeiro de tudo, vou arrumar um pouquinho isto para criar algum espaço para escrevermos mais algumas coisas.

Ok, a nossa primeira linha diz que 𝐴 é definida como sendo a matriz um, um, zero, zero. Bem, essa é uma matriz perfeitamente boa, portanto não há problemas. E na linha seguinte multiplicámos a matriz por si própria e obtivemos o resultado um, um, zero, zero. Bem, o método para multiplicar duas matrizes dois por dois é pegar nesta entrada e multiplicar por esta entrada e depois adicionar esta entrada multiplicada a esta entrada. E isso dá-nos esta entrada na resposta, que é 𝑎 vezes 𝑒 mais 𝑏 vezes 𝑔.

Em seguida, para obter esta entrada aqui, faço 𝑎 vezes 𝑓 mais 𝑏 vezes ℎ. Depois, para obter esta entrada aqui, faço 𝑐 vezes 𝑒 mais 𝑑 vezes 𝑔. E, para obter esta entrada aqui, faço 𝑐 vezes 𝑓 mais 𝑑 vezes ℎ. E, de facto, quando aplico esta lógica a um, um, zero, zero vezes um, um, zero, zero, eu obtenho um vezes um mais um vezes zero, um vezes um mais um vezes zero, zero vezes um mais zero vezes zero e zero vezes um mais zero vezes zero, que é de facto um, um, zero, zero. Então esta segunda linha também está correta.

Então, apenas representando as matrizes pelas suas letras, podemos ver que 𝐴𝐴 ou 𝐴 vezes 𝐴 de facto é igual a 𝐴. Agora, na linha seguinte, começamos a falar sobre inversa de 𝐴, 𝐴 elevada a menos um, a matriz inversa de 𝐴. E o significado da palavra inversa aqui é a matriz que eu preciso multiplicar a 𝐴 para obter a matriz identidade um, zero, zero, um. Então, se a nossa matriz 𝐴 começa por ser 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, a inversa de 𝐴 é a inversa desta matriz. E isso acaba por ser um sobre 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 vezes a matriz 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎.

Agora 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é um valor que chamamos de determinante da matriz. E é muito fácil de calcular para uma matriz dois por dois. É um pouco mais complicado para matrizes maiores. Mas vamos fixar-nos numa matriz dois por dois por enquanto. E então, dentro da própria matriz, pode ver que trocamos o 𝑎 e o 𝑑 aqui. E nós tomámos o simétrico de 𝑏 e 𝑐. Portanto, definindo a matriz inversa desta maneira, descobrimos que 𝐴 vezes inversa de 𝐴 dá-nos a matriz identidade um, zero, zero, um.

Vamos calcular tudo isto e vê-la em ação. Sendo 𝐴 definida como a matriz 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 e sendo a inversa de 𝐴 um sobre o determinante vezes 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎, temos 𝐴 inversa de 𝐴 igual a tudo isto. Agora, isto é apenas uma constante vezes cada entrada na matriz resultante. Então, vamos multiplicar estas duas matrizes utilizando o método que mencionamos anteriormente.

Nós vamos ter que fazer 𝑑 vezes 𝑎 mais 𝑏 vezes menos 𝑐 para esta entrada aqui em cima. A seguir, vai ser 𝑑 vezes 𝑏 mais menos 𝑏 vezes 𝑑 para esta entrada aqui. Depois, 𝑐 vezes menos 𝑎 mais 𝑎 vezes 𝑐 para esta entrada aqui embaixo. E finalmente, menos 𝑏 vezes 𝑏 mais 𝑎 vezes 𝑑 aqui embaixo. Agora 𝑑 vezes 𝑎 é o mesmo que 𝑎 vezes 𝑑. E a seguir, se adicionarmos menos 𝑏 vezes 𝑐, é o mesmo que menos 𝑏 vezes 𝑐. Então eu posso reescrever esta entrada como 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐.

Depois 𝑑𝑏, adicionado a menos 𝑏 vezes 𝑑, bem, é o mesmo que 𝑏 vezes 𝑑 menos 𝑏 vezes 𝑑, que é nada ou zero. E em seguida menos 𝑐𝑎 mais 𝑎𝑐, bem 𝑐 vezes 𝑎 é o mesmo que 𝑎 vezes 𝑐. Então isso é menos 𝑎𝑐 mais 𝑎𝑐. Isto é zero novamente. E então aqui embaixo, menos 𝑐𝑏 é o mesmo que menos 𝑏𝑐. E se eu escrever estes dois numa ordem diferente, obtenho 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. E agora, tenho que multiplicar cada uma das entradas desta matriz pelo termo constante fora.

E, claro, zero dividido por 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é simplesmente zero. E 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 dividido por 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 é simplesmente um. Assim, em geral, sim, a inversa de 𝐴 vezes 𝐴 dá-nos esta matriz identidade, 𝐼: um, zero, zero, um. Mas vejamos o caso específico em que a matriz 𝐴 é um, um, zero, zero. Então a inversa de 𝐴 será um sobre o determinante vezes — bem, eu preciso de trocar o zero e o outro aqui. E eu preciso tirar o menos do um e do zero aqui.

Bem, claro, menos zero é apenas zero. Então eu vou escrever isto aqui e assim posso descobrir qual é o determinante. Bem, é um vezes zero menos um vezes zero. E um vezes zero é zero. Então, isto fica um sobre zero menos zero. E obviamente zero menos zero é zero. E acabamos de acionar o alarme da divisão por zero! Um dividido por zero não está definido. Então, estamos a tentar multiplicar esta matriz por um número não definido.

Acontece que a inversa da matriz 𝐴 não está definida. Nós chamamos a 𝐴 uma matriz singular ou degenerada. É apenas uma matriz quadrada que não admite inversa pois o determinante é zero. Então, voltando à nossa suposta demonstração, ao multiplicar por inversa de 𝐴, estamos a multiplicar por um número não definido. E a partir daí, é tudo um completo absurdo. Como a inversa de 𝐴 não está definida, não podemos fazer cálculos adicionais com números não definidos. Nós não demonstramos que um, um, zero, zero é igual a um, zero, zero, um, ao fim e ao cabo. Foi uma falsa demonstração.