Vídeo: Encontrando a Equação de uma Reta na Forma Geral

Escreva a equação da reta que passa pelos pontos (2, −2) e (−2, 10) na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

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Transcrição do vídeo

Escreva a equação da reta que passa pelos pontos dois, menos dois e menos dois, 10 na forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero.

Então, nessa pergunta, somos solicitados a encontrar a equação de uma reta, dadas as coordenadas de dois pontos que estão na reta. Nós responderemos a essa pergunta usando o método do coeficiente angular. Primeiro, encontraremos a equação da reta na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐, onde 𝑚 representa o coeficiente angular da reta e 𝑐 representa a intercepção 𝑦. Isso não indica a equação da reta na forma específica solicitada: 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero. Então, precisamos fazer um rearranjo no final.

Vamos lembrar primeiro de como calcular o coeficiente angular de uma reta. O coeficiente angular da reta que une os pontos com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois é igual à variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥: 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um.

Agora, vamos substituir as coordenadas desta questão na fórmula do coeficiente angular. 𝑦 dois menos 𝑦 um é igual a 10 menos menos dois. 𝑥 dois menos 𝑥 um é igual a menos dois menos dois. Isto simplifica a 12 sobre menos quatro, que é igual a menos três. Então o coeficiente angular da reta é menos três.

Substituindo este valor em nossa equação da reta dá 𝑦 é igual a menos três 𝑥 mais 𝑐. Em seguida, precisamos encontrar o valor de 𝑐 - o 𝑦 interceptado. Para fazer isso, podemos usar o fato de que qualquer um desses dois pontos está na reta e, portanto, suas coordenadas satisfazem a equação da reta. Usando o primeiro ponto, isso significa que quando 𝑥 é igual a dois, 𝑦 é igual a menos dois. E assim podemos substituir este par de valores na equação da reta para dar uma equação que podemos resolver para 𝑐.

Substituindo dois por 𝑥 e menos dois por 𝑦 dá a equação menos dois é igual a menos três multiplicado por dois mais 𝑐. Agora resolvemos para 𝑐. O menos três multiplicado por dois é menos seis. Então temos menos dois é igual a menos seis mais 𝑐. Para resolver essa equação, precisamos adicionar seis aos dois lados. Isso dá quatro é igual a 𝑐.

Agora, sabemos o valor de 𝑐, podemos substituir isso na equação de nossa reta. Nós temos 𝑦 é igual a menos 𝑥 mais quatro. Lembre-se de que a equação de uma reta na forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero, então precisamos de todos os termos do mesmo lado. Nós poderíamos agrupá-los em ambos os lados. Mas se eu agrupei os termos à esquerda, então os coeficientes de ambos 𝑥 e 𝑦 serão positivos.

Para agrupar os termos no lado esquerdo dessa equação, preciso adicionar três 𝑥 a ambos os lados e também subtrair quatro de ambos os lados. Isso dá a equação da reta no formato solicitado: três 𝑥 mais 𝑦 menos quatro é igual a zero.

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