Vídeo: Determinar a Equação da Reta que Passa por Dois Determinados Pontos

Mostramos como calcular a equação de uma reta se te derem dois pares de coordenadas por onde esta passa. Utilizaremos um conjunto de exemplos com coordenadas positivas e negativas e com declives positivos e negativos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos. Se te derem as coordenadas dos pontos, poderás criar um triângulo de declive para calcular o declive da reta. E, a seguir, veremos como prosseguir e calcular o valor da interseção em O𝑦 para que possamos escrever a equação da reta.

Vamos começar com um exemplo específico: determine a equação da reta que passa pelos pontos A cinco, onze e B dez, vinte e um. Agora, temos um diagrama que nos ajudará a visualizar esta situação.

Então, o que vou fazer primeiro é criar um triângulo pequeno e agradável no diagrama. E no nosso triângulo de declive, podemos estabelecer a diferença nas coordenadas em 𝑦 dos dois pontos, que é esta distância vertical aqui, e a diferença entre as coordenadas em 𝑥 destes dois pontos, e esta é a distância horizontal aqui.

E em A, a coordenada em 𝑥 era cinco; e em B, a coordenada em 𝑥 era dez. Portanto, a diferença entre estas duas coordenadas é dez menos cinco; é cinco. Portanto, ao passar do ponto A para o ponto B ao longo desta reta, a coordenada em 𝑥 de A aumentou em cinco para ser a coordenada em 𝑥 de B.

E a diferença de coordenadas em 𝑦, bem, passamos de uma coordenada em 𝑦 de onze a uma coordenada em 𝑦 de vinte e um. Então, se eu fizer vinte e um, subtrair onze, dar-me-á dez. A coordenada em 𝑦 aumentou em dez indo do ponto A ao ponto B ao longo desta reta.

Agora, uma definição de declive é se eu aumentar minha coordenada em 𝑥 uma unidade, em quanto a minha coordenada em 𝑦 varia. E este triângulo de declive mostra-nos que, ao aumentar a nossa coordenada em 𝑥 em cinco, isso gera um aumento na coordenada em 𝑦 de dez. Então, o que eu gostaria de fazer é dividir ambos por cinco.

Então, avanço apenas um quinto na direção em 𝑥. Por outras palavras, avanço; estou a adicionar um à minha coordenada em 𝑥. Portanto, se eu estiver a avançar apenas um quinto na direção em 𝑥, avançarei apenas um quinto na direção em 𝑦. Então, dez dividido por cinco é dois.

Portanto, um aumento de uma unidade na coordenada em 𝑥 gera um aumento de duas unidades na coordenada em 𝑦; este é o nosso declive. Agora, entendendo esta definição de declive, podemos ver um padrão que será um atalho para nós quando estivermos a fazer cálculos futuros.

Então, para gerar este declive de dois, o que fiz foi tomar a diferença das coordenadas em 𝑦, uma diferença de dez positivo, e dividi-a pela diferença das coordenadas em 𝑥. Por outras palavras, a razão para o fazer era dizer qual seria a diferença nas coordenadas em 𝑦 se houver uma diferença nas coordenadas em 𝑥 de um. Tomamos a diferença em 𝑦 e dividimos pela diferença das coordenadas em 𝑥. e isto gera o declive.

E a diferença nas coordenadas em 𝑦 era dez; a diferença nas coordenadas em 𝑥 era cinco; e dez dividido por cinco é dois. Agora, a forma geral da equação para uma reta é 𝑦 igual 𝑚𝑥 mais 𝑏. E este multiplicador de 𝑥, o valor 𝑚, diz-nos o declive da reta. Então descobrimos que o declive é dois, então sabemos que o valor de 𝑚 é dois.

Então começamos a calcular a equação da nossa reta: 𝑦 igual a dois 𝑥 mais algo. Agora, que algo é a interseção com o eixo O𝑦. Onde interseta o eixo O𝑦?

Então, como vamos resolver isto. Bem, não sabemos onde interseta o eixo O𝑦 a partir do diagrama ou das informações na questão, mas temos a coordenada deste ponto aqui e a coordenada deste ponto aqui. E uma coordenada, um par ordenado, diz-nos um dado valor de 𝑥 que corresponde a um determinado valor de 𝑦. Então, podemos colocar estes valores de 𝑥 e 𝑦 na nossa equação, e isso permitir-nos-á descobrir o valor deste 𝑏, o valor desta interseção aqui. Agora, posso escolher o ponto A ou o ponto B. Ambos funcionariam da mesma forma. Vou escolher o ponto A aqui, cinco, onze, porque os números são menores, pelo que é um pouco mais fácil trabalhar com estes.

Portanto, a coordenada em 𝑦 no ponto A é onze, pelo que posso substituir 𝑦 por onze. E a coordenada em 𝑥 é cinco, então posso substituir 𝑥 por cinco. Então, agora posso utilizar estas informações para calcular 𝑏. Então, onze é igual a dois vezes cinco, então onze é igual a dez mais 𝑏.

E se subtrair dez a cada membro da minha equação, no primeiro membro tenho onze menos dez é um e no segundo membro dez menos dez não é nada, então ainda tenho o meu 𝑏. Então, 𝑏 é igual a um; é onde interseta o eixo O𝑦.

Então, colocando este valor de 𝑏 de volta na minha equação aqui, agora sei que 𝑦 é igual a dois 𝑥 mais um. Esta é a equação da reta. Esta interseta o eixo O𝑦 em um e tem um declive de dois. Agora posso verificar a minha resposta porque sei que o ponto B também está em jogo. Então, quando 𝑥 é igual a dez, 𝑦 é igual a vinte e um. Logo, posso colocar estes valores em 𝑥 e 𝑦 e ver que tudo ainda se equilibra.

Então, colocando estes valores em, 𝑦 é vinte e um, 𝑥 é dez, vinte e um é igual a dois vezes dez mais um. Bem, dois vezes dez é obviamente vinte, então vinte mais um é vinte e um, então vinte e um é igual a vinte e um. Sim, isto corresponde à equação, então parece que obtivemos a resposta certa.

Portanto, neste exemplo, desenvolvemos um atalho para trabalhar o declive. Podemos basicamente observar a diferença nas coordenadas em 𝑦 dos dois pontos na reta e a diferença nas coordenadas em 𝑥 e simplesmente dividir a diferença em 𝑦 pela diferença em 𝑥. Isso diz-nos o declive imediatamente e, em seguida, fomos capazes de utilizar este resultado para calcular o valor de b, a interseção com O𝑦 e, finalmente, gerar a nossa equação.

Ok, vamos fazer outra questão: escreve a equação da reta que passa pelos pontos indicados nesta tabela de valores. E temos quando 𝑥 é três, 𝑦 é doze; e quando 𝑥 é sete, 𝑦 é zero. Portanto, não temos um diagrama aqui e não precisas desenhar um diagrama, se não quiseres; não precisas de desenhar um esboço da outra reta. Mas, na verdade, ajuda e evita — para evitar erros tolos.

Portanto, os nossos pares ordenados são três, doze e sete, zero. Então, quando esboçamos isto, obtemos o — todos os pontos de coordenada são positivos, então só precisamos de desenhar este pedaço dos eixos 𝑥O𝑦. E temos os pontos três, doze e sete, zero. E se traçarmos a reta entre estes dois pontos, será mais ou menos assim. Agora, este esboço não precisa de ser completamente preciso, mas apenas dar-te uma sensação geral do que será uma reta decrescente porque o segundo ponto sete, zero, tem uma coordenada em 𝑦 inferior à do primeiro e tem um ponto à esquerda; três, doze está à esquerda de sete, zero porque a coordenada em 𝑥 é menor.

Agora, desenhando nosso o triângulo de declive, temos a distância daqui até aqui é a diferença nas coordenadas em 𝑥 destes dois pontos, e a distância daqui até aqui é a diferença nas coordenadas em 𝑦 entre estes dois pontos. E lembra-te, estamos a tentar calcular o declive que é a diferença nas coordenadas em 𝑦 dividida pela diferença nas coordenadas em 𝑥.

Agora, para determinar o declive, realmente não importa, de alguma maneira, se subtrai as coordenadas à esquerda das da direita ou as da direita às da esquerda, desde que o faça da mesma maneira para as coordenadas em 𝑥 e 𝑦. Agora, imagino-me sempre a ir da esquerda para a direita no gráfico, movendo-me na direção positiva de O𝑥. Portanto, faz sempre sentido para mim afastar as coordenadas à esquerda das coordenadas à direita para determinar quanto cada coordenada aumentou ou diminuiu ao longo do caminho.

Então, o meu cálculo da coordenada em 𝑦 à direita do zero é zero e vou subtrair a coordenada em 𝑦 à esquerda, que é doze. E, correspondentemente, vou tomar a coordenada em 𝑥 à direita é sete e vou subtrair a coordenada em 𝑥 à esquerda, que é três.

E isso faz sentido. Então, a minha coordenada em 𝑦 começou às doze e caiu para zero, então esta é uma variação de menos doze. E a coordenada em 𝑥 vai de três e vai até sete, então esta é uma variação positiva de quatro. E menos doze dividido por quatro é menos três, então o declive da minha reta é menos três; sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 diminui três.

Então começamos a progredir na equação da nossa reta. Substituímos o declive, então 𝑦 é igual a menos três 𝑥. E agora temos que calcular o valor de 𝑏 onde interseta o eixo O𝑦. Agora, temos dois pares ordenados: três, doze e sete, zero. Lembra-te, esta é a coordenada em 𝑥; esta é a coordenada em 𝑦. Portanto, podemos utilizar um destes, substituí-lo numa equação para calcular o valor de 𝑏. Agora, neste caso em particular, vou tomar o segundo sete, zero, porque acho que são números um pouco mais fáceis de trabalhar; um valor de 𝑦 de zero será mais fácil do que trabalhar com um valor de 𝑦 de doze.

Portanto, substituindo em 𝑦 igual a zero e 𝑥 igual a sete, tenho zero igual a menos três vezes sete mais 𝑏. E menos três vezes sete é menos vinte e um. Então, agora tenho zero igual a menos vinte e um mais 𝑏. Quero isolar 𝑏, então adicionarei vinte e um aos dois membros desta equação, o que me deixa com vinte e um igual a 𝑏. Então, agora sei a interseção com O𝑦 e posso inseri-la na minha equação final.

𝑦 igual a menos três 𝑥 mais vinte e um. Então, novamente, posso verificar isto utilizando o outro par de coordenadas. E isso diz-me que quando 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a doze. E se a equação estiver correta, isso significa que doze é igual a menos três vezes três mais vinte e um. Bem, três vezes menos três é menos nove, e menos nove mais vinte e um é o mesmo que vinte e um nove. E isto é de facto igual a doze, então está correto. Então, parece que temos a equação correta.

Então, agora vamos fazer outra questão. E, neste caso, acaba por ser uma questão mais fácil, embora pareça mais difícil de começar. Determine a equação da reta através dos pontos menos dez, dois e zero, cinco. Então, a situação nesta questão, embora não tenhamos um diagrama, é-nos dito que este ponto aqui zero, cinco está em jogo. Agora, isso significa que a coordenada em 𝑥 é zero quando a coordenada em 𝑦 é cinco; isso está a dizer-nos qual é a interseção com O𝑦.

Portanto, interseta o eixo O𝑦 quando 𝑦 é cinco. Portanto, o valor de 𝑏 na nossa equação é cinco. Então, isto torna a nossa vida um pouco mais fácil. Então, agora fazemos um rápido esboço da situação. Temos menos dez, dois e zero, cinco na reta.

Podemos fazer um pequeno triângulo de declive e calcular a diferença nas coordenadas em 𝑦. E a coordenada em 𝑦 à direita é cinco e a coordenada em 𝑦 à esquerda é dois, então a diferença é cinco menos dois, que é três. E isto faz sentido, indo do primeiro ponto ao segundo ponto, subimos a distância de três ao longo do eixo O𝑦.

E, em seguida, podemos calcular a diferença nas coordenadas em 𝑥. Bem, passamos de menos dez para zero, o que obviamente é um aumento de dez. Mas, para escrevê-lo como fizemos lá, teremos que fazer a coordenada da direita, zero, e subtrair a coordenada da esquerda, menos dez, e zero subtrair menos dez é dez. Portanto, qualquer que seja a forma que fizeres, não importa, desde que encontres a resposta certa. Agora, claramente, o declive torna-se três sobre dez; este é um valor positivo. E isto faz sentido porque, indo do primeiro para o segundo ponto aqui, subimos a colina; é um valor positivo.

E podemos assim terminar a nossa equação, então é declive vezes 𝑥. Então, isto é 𝑦 igual a três décimos vezes 𝑥. E o valor de 𝑏 é cinco, por isso estamos a adicionar cinco à nossa equação. Portanto, a equação é 𝑦 igual a três décimos de 𝑥 mais cinco.

Agora utilizamos este ponto aqui, o segundo ponto à direita, para nos dizer onde interseta o eixo O𝑦, então utilizaremos a outra coordenada para nos ajudar a verificar a nossa equação. Então, quando 𝑥 é igual a menos dez, 𝑦 é igual a dois. E, ao inserir estes valores, dois são iguais a três décimos de menos dez mais cinco. Bem, três décimos de menos dez é menos três. E menos três mais cinco é iguais a dois, e isto está correto. Então, estamos felizes por a nossa equação ser a correta.

Portanto, para resumir o que aprendemos, primeiro desenha sempre um diagrama com as informações que tem. Dá-te tempo para pensar e interpretar as informações que estão em questão. Em segundo lugar, o declive é a diferença nas coordenadas em 𝑦 e a diferença nas coordenadas em 𝑥 entre dois pontos. E uma grande dica é que, quando estiveres a trabalhar no declive, faças sempre as coordenadas na mesma ordem. Por exemplo, faz sempre as coordenadas à direita menos as coordenadas à esquerda.

Por exemplo, se tivéssemos as coordenadas dois, cinco e sete, quinze, temos quinze, cinco e cinco, e sete. E isso dá-nos um declive de dois. E, finalmente, utiliza o declive e um par de coordenadas para calcular a interseção em O𝑦.

Por exemplo, calculamos que o declive era dois, pelo que podemos utilizar 𝑚 é dois; e, utilizando esta coordenada aqui, procura sempre os números mais fáceis, se puderes, a coordenada em 𝑥 é cinco, pelo que podemos colocar isto aqui e a coordenada em 𝑦 é dois, pelo que podemos colocar aqui. E, em seguida, podemos reorganizar isto para calcular o valor de 𝑏.

E isso dá-nos nossa equação final. E é sempre uma boa ideia verificar a sua resposta utilizando o outro par de coordenadas. Agora utilizamos dois, cinco para nos ajudar a calcular a interseção, então utilizaremos o outro par de coordenadas aqui onde 𝑥 é sete e 𝑦 e quinze para verificar a nossa resposta. E quinze é igual a dois vezes sete mais um. Bem, dois vezes sete é catorze e um é quinze, de modo que parece correto. Então, parece que temos a resposta certa.

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