Vídeo: Volumes de Sólidos Semelhantes

Identifica a relação entre os volumes de sólidos semelhantes. Utiliza a razão dos comprimentos para calcular a razão dos volumes e vice-versa. Aplica este método ao cálculo do volume de sólidos semelhantes ou a comprimentos em falta com base no conhecimento de dois volumes.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos analisar sólidos semelhantes e, em particular, a relação entre os seus volumes. Antes de mais, vamos esclarecer o significado do termo sólidos semelhantes.

Dois sólidos são semelhantes se, em primeiro lugar, tiverem a mesma forma e, em segundo lugar, os comprimentos correspondentes estiverem na mesma razão. Por exemplo, no caso de um paralelepípedo, se duplicares a largura do paralelepípedo, também deves duplicar o comprimento e a altura para criar dois sólidos semelhantes. Não podes multiplicar uma dimensão por dois e multiplicar outra por três, por exemplo.

Então, aqui, como exemplo, estão dois paralelepípedos semelhantes. Se olhares para os comprimentos dos paralelepípedos, verás que são sempre o dobro no paralelepípedo B do que eram no paralelepípedo A. Então os dois centímetros agora são quatro, os três centímetros são agora seis e os cinco centímetros são agora dez centímetros.

Agora nos referimos a isto como a razão de comprimentos ou a razão dos comprimentos entre os dois sólidos. E se eu considerar qualquer par de lados correspondentes, por exemplo, de três para seis, então a razão dos comprimentos será de três para seis, mas é claro que esta razão poderia ser simplificada para um para dois. E esta razão é a mesma para qualquer par de lados correspondentes.

Agora queríamos ver os volumes destes sólidos semelhantes. Então, vamos ver o volume de cada um destes paralelepípedos. E lembra-te que calcular o volume de um paralelepípedo, essencialmente, multiplicas apenas as suas três dimensões. Assim, no caso do paralelepípedo A, será dois vezes três vezes cinco, o que nos dá trinta centímetros cúbicos.

E no caso do paralelepípedo B, quatro vezes seis vezes dez, que é duzentos e quarenta centímetros cúbicos. Agora, como fizemos com os comprimentos, vamos escrever uma razão para estes dois volumes. Portanto, será trinta para duzentos e quarenta, mas isto simplifica porque ambos os termos desta razão podem ser divididos por trinta. E dá-nos uma razão dos volumes de um para oito.

Agora, há um ponto chave aqui, que é que existe uma relação entre a razão dos comprimentos e a razão dos volumes. Pode não ser tão óbvio no caso do um. Mas no caso do dois e do oito, a relação é que dois ao cubo é oito. E, claro, agora que pensas sobre isto, um ao cubo também é um.

Isto não é uma coincidência. É sempre assim qualquer que seja a razão dos comprimentos, a razão dos volumes pode ser encontrada fazendo o cubo cada um dos dois termos. Portanto, isto é ilustrativo de uma regra geral que utilizaremos ao longo deste vídeo, ou seja, se a razão dos comprimentos entre dois sólidos semelhantes for 𝑎 para 𝑏, a razão dos volumes entre eles será 𝑎 ao cubo para 𝑏 ao cubo.

Então, vamos analisar algumas questões relacionadas com isto. A primeira diz que os sólidos R e S são semelhantes. Os seus comprimentos estão na razão de dois para sete. Perguntam-nos qual é a razão dos seus volumes. Portanto, esta primeira questão é apenas um caso de aplicar a regra geral que vimos no slide anterior.

E deixa-me lembrar-te de que essa regra era esta: se a razão dos comprimentos entre dois sólidos semelhantes é de 𝑎 para 𝑏, então a razão dos volumes é de 𝑎 ao cubo para 𝑏 ao cubo. Assim, podemos calcular a razão dos volumes para estes sólidos R e S apenas colocando ao cubo os dois termos da razão dos comprimentos.

Portanto, a razão dos volumes será de dois ao cubo para sete ao cubo. E calcular os dois termos dá-nos a razão dos volumes de oito para trezentos e quarenta e três.

Agora, esta é uma questão direta, mas é importante, porque as pessoas muitas vezes esquecem que esta relação existe e presumem que, se os comprimentos estiverem numa razão específica, os volumes também devem estar na mesma razão. Mas como vimos com os paralelepípedos, não é o caso. Certo, esta é a próxima questão. Os cones A e B são semelhantes. Calcula o volume do cone B.

Então, se olhares para as informações na questão, verás que temos um comprimento para o cone A e um comprimento para o cone B. São ambos o raio do círculo na base e também nos dizem o volume do cone A. E precisamos de utilizar todas estas informações para calcular o volume do cone B. Então, para começar esta questão, temos os comprimentos correspondentes nos dois cones, o que significa que podemos escrever a razão dos comprimentos.

Portanto, a razão dos comprimentos entre os dois cones é de três para seis, mas é claro que isto simplificará para um para dois, dividindo os dois termos por três. A partir disto, podemos calcular a razão dos volumes, porque lembra-te de que vimos que, para calcular a razão dos volumes a partir da razão dos comprimentos, precisamos de fazer o cubo das duas partes. Portanto, a razão dos volumes é de um ao cubo para dois ao cubo, o que, claro, é apenas de um para oito.

O que isto significa, então, é que o volume do cone B é oito vezes maior que o volume do cone A. Assim, posso calculá-lo tomando o volume do cone A, que é setenta centímetros cúbico, e multiplicando-o por oito. E isso dá-me uma resposta de quinhentos e sessenta centímetros cúbicos para o volume do cone B.

Então, o importante a ser observado nesta questão é que não precisamos de utilizar uma fórmula para calcular o volume de um cone, embora, claro, tal fórmula exista. Nós apenas utilizamos a razão entre os volumes dos dois cones devido à sua semelhança.

A questão final que vamos ver, diz que as duas pirâmides em baixo são semelhantes. Calcula a altura da menor. Então, olhando para as informações na questão, podemos ver que temos o volume de ambas as pirâmides e temos a altura da maior, mas a altura da menor está em falta. E é isso que estão a tentar resolver.

Então vamos pensar sobre o que podemos escrever para começar. Sabemos quais são os dois volumes, para podermos escrever uma razão dos volumes entre as duas pirâmides. Portanto, a razão dos volumes é de dezasseis para cinquenta e quatro, e podemos simplificar isto dividindo ambos os termos da razão por dois. Portanto, a razão simplificada é de oito para vinte e sete.

Agora, procurando descobrir a altura da pirâmide menor, que é um comprimento, também gostaríamos de saber qual é a razão dos comprimentos. E podemos resolver isso a partir da razão dos volumes. Lembras-te que a regra geral que temos diz que seja qual for a razão dos comprimentos, a razão dos volumes é o cubo daquela? Isso significa, então, que podemos ir do conhecimento da razão dos volumes para calcular a razão dos comprimentos. Mas em vez dos cubos, vamos fazer a raiz cúbica uma vez que invertemos o sentido.

Portanto, a razão dos comprimentos será a raiz cúbica de oito para a raiz cúbica de vinte e sete. E calcular os dois diz-me que a razão dos comprimentos é de dois para três. Então, finalmente, precisamos de utilizar esta razão para calcular a altura em falta. Agora vou dar uma letra, vou chamá-la ℎ.

Então o que isso me diz é que se eu fizer ℎ, a altura da pirâmide menor, dividida por seis que é a altura de uma pirâmide maior, dar-me-á dois dividido por três utilizando esta razão dos comprimentos, então tenho uma equação, bastante direta, para esta letra incógnita ℎ. O que preciso de fazer agora é resolver esta equação. Então, se multiplicar ambos os termos da equação por seis, isto transforma-se em ℎ igual a seis multiplicado por dois terços, que é quatro.

Portanto, a altura da pirâmide menor deve ser igual a quatro metros. Assim, esta questão era um pouco mais complexa do que as que vimos antes, porque envolvia trabalhar de trás para frente e tivemos que aplicar uma raiz cúbica na razão dos volumes para chegar à razão dos comprimentos.

Então, em resumo, vimos esta relação chave que existe entre os volumes de sólidos semelhantes e vimos como usá-la para responder a questões sobre o cálculo do volume de um sólido menor ou maior e também o cálculo um comprimento em falta num dos dois sólidos.

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