Vídeo: Extremo Absoluto

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar os valores de máximo e mínimo absolutos de uma função em um determinado intervalo usando derivadas.

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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar os valores de máximo e mínimo absolutos de uma função em um determinado intervalo usando derivadas. Neste estágio, você deve se sentir confiante em encontrar mínimos e máximos relativos ou locais para calcular a natureza desses fatores, considerando derivadas. Agora, vamos procurar estender essas ideias para encontrar mínimos e máximos absolutos, em outras palavras, os maiores e menores valores que uma função levará.

Para começar, vamos nos lembrar do teorema do valor extremo. Isto diz que se 𝑓 de 𝑥 é contínua sobre algum intervalo fechado 𝑎 para 𝑏, então há dois números 𝑐 e 𝑑 que são maiores ou iguais a 𝑎 e menores ou iguais a 𝑏. Tal que, 𝑓 de 𝑐 é um máximo absoluto para a função, e 𝑓 de 𝑑 é um mínimo absoluto para a função naquele intervalo fechado.

Em outras palavras, se tivermos uma função contínua em algum intervalo fechado, garantimos que, em algum momento desse intervalo, tenhamos um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Este teorema é importante para encontrar extremos absolutos em um intervalo fechado. Isso significa que nunca iremos procurar por algo que não existe. Podemos dizer que esses valores extremos são obtidos no local ou lugares onde ocorrem pontos críticos, ou nos extremos do intervalo.

Isto significa que temos alguns passos que podem nos ajudar a encontrar extremos absolutos para alguma função contínua 𝑓. Começamos por encontrar todos os pontos críticos no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. Então, encontramos os valores de nossa função nesses pontos críticos. E então, calculamos nossa função nos extremos do nosso intervalo. Estamos procurando valores que podem ser menores que qualquer mínimo relativo ou maiores que os máximos relativos. Vamos dar uma olhada em como podemos aplicar esse processo a um exemplo.

Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 para a quarta potência menos oito 𝑥 ao quadrado menos 13 no intervalo fechado menos um a dois.

Lembre-se, para encontrar extremos absolutos para alguma função contínua 𝑓 de 𝑥, seguimos três passos. Começamos por encontrar todos os pontos críticos no intervalo fechado. Verificamos os valores de 𝑓 de 𝑥 nesses pontos críticos. E então, nós verificamos os extremos de qualquer extremo absoluto, valores que podem ser menores que qualquer mínimo relativo ou maiores que qualquer máximo relativo. Pontos críticos ocorrem quando a derivada da função é igual a zero, ou não existe. Então, vamos começar encontrando a derivada da nossa função.

A derivada de 𝑓 de 𝑥 é escrita como 𝑓 linha de 𝑥, e é quatro vezes dois 𝑥 para a terceira potência menos duas vezes oito 𝑥. E, claro, a derivada de menos 13 é zero. Então, vemos que a derivada de nossa função é oito 𝑥 ao cubo menos 16𝑥. Vamos definir isso como zero e resolver para 𝑥. Aqui, nós fatoramos a expressão do lado direito para obter oito 𝑥 vezes 𝑥 ao quadrado menos dois.

E vemos que para oito 𝑥 vezes 𝑥 ao quadrado menos dois para ser igual a zero, ou oito 𝑥 deve ser igual a zero, o que significa que 𝑥 é igual a zero. Ou podemos dizer que 𝑥 ao quadrado menos dois deve ser igual a zero. E resolvendo isso, vemos que 𝑥 é igual ambas a raiz quadrada positiva e negativa de dois. Então, temos pontos críticos em nossa função em 𝑥 igual a zero, 𝑥 é igual a menos raiz de dois e 𝑥 é igual a raiz de dois.

Nosso segundo passo é calcular a função nesses pontos críticos. Isso é 𝑓 de zero, 𝑓 de raiz de dois e 𝑓 de menos dois. 𝑓 de zero é duas vezes zero para a quarta potência menos oito vezes zero ao quadrado menos 13, que é menos 13. 𝑓 da raiz de dois é dois raiz de dois para a quarta potência menos oito raiz de dois ao quadrado menos 13, que é menos 21. E, na verdade, 𝑓 de menos raiz de dois também é menos 21. Agora, isso por si só não nos ajuda muito. Certamente parece que o menos 21 e o menos 13 podem ser extremos locais, mas precisamos saber se eles são extremos absolutos.

Então, vamos calcular nossa função no final do nosso intervalo. Lembre-se, isso acontece porque sabemos que, se tivermos uma função contínua em algum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, garantimos que, em algum momento desse intervalo, tenhamos um máximo absoluto e um mínimo absoluto. E esses valores extremos são obtidos no local ou locais onde ocorrem os extremos locais ou nos extremos do intervalo.

Então, vamos calcular 𝑓 de menos um e 𝑓 de dois. 𝑓 de menos um é duas vezes menos um para a quarta potência menos oito vezes menos um ao quadrado menos 13, que é menos 19. E 𝑓 de dois é duas vezes dois elevado a quatro menos oito vezes dois ao quadrado menos 13, que é menos 13. Podemos ver claramente que o valor máximo absoluto de nossa função no intervalo fechado menos um a dois é menos 13. E o valor mínimo absoluto é menos 21. Este exemplo envolve alguma derivação razoavelmente simples, então vamos ver agora um exemplo que envolve um pouco mais de trabalho.

Determine os valores de máximo e mínimo absolutos da função 𝑦 é igual a 𝑥 sobre dois 𝑥 mais oito no intervalo fechado de dois a seis.

Lembre-se, para encontrar extremos absolutos para nossa função 𝑓 de 𝑥 sobre algum intervalo fechado, seguimos três passos. Começamos por encontrar pontos críticos no nosso intervalo fechado. Nós então encontramos os valores de 𝑓 de 𝑥 nesses pontos críticos. E então, nós verificamos os extremos dos extremos absolutos, em outras palavras, valores menores que o mínimo relativo ou maior que o máximo relativo.

Lembre-se, os pontos críticos são os pontos em nossa curva onde a derivada é igual a zero ou possivelmente não existe. Então, precisamos encontrar a derivada da nossa função e defini-la como zero. Mas como podemos derivar 𝑥 sobre dois 𝑥 mais oito? Na verdade, temos vários métodos que podemos usar. Mas como é o quociente de duas funções deriváveis, podemos usar a regra do quociente.

Isto diz que a derivada do quociente de duas funções deriváveis ​​𝑢 e 𝑣 é 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥 menos 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado. O numerador de nossa fração é 𝑥, então vamos deixar 𝑢 ser igual a 𝑥 e 𝑣 ser igual a dois 𝑥 mais oito. Então, d𝑢 por d𝑥 é igual a um. E d𝑣 por d𝑥 é igual a dois.

Assim, a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é dois 𝑥 mais oito vezes d𝑢 por d𝑥, que é um, menos 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥, que é 𝑥 vezes dois, tudo sobre 𝑣 ao quadrado, ou seja, dois 𝑥 mais oito todos ao quadrado. Então, podemos dizer que d𝑦 por d𝑥 é igual a oito sobre dois 𝑥 mais oito todos ao quadrado. Em seguida, vamos definir esse valor igual a zero e resolver para 𝑥. Mas olhe o que acontece quando fazemos.

Para uma fração algébrica ser igual a zero, o numerador deve ser igual a zero. Neste caso, acabamos com a declaração zero igual a oito, que sabemos ser errada. Isso significa que d𝑦 por d𝑥, neste caso, não pode ser igual a zero. Não há pontos de inflexão para calcularmos. E nós, portanto, vamos direto para o passo três e calculamos a função nos extremos do intervalo. Isso é 𝑓 de dois e 𝑓 de seis.

𝑓 de dois é dois sobre duas vezes dois mais oito, isso é dois doze avos, que simplifica para um sexto. 𝑓 de seis é seis sobre duas vezes seis mais oito. São seis vinte avos, que simplifica para três décimos. Três décimos é maior que um sexto, então podemos dizer que o valor máximo absoluto de nossa função é três décimos e o valor mínimo absoluto é um sexto. Agora vamos voltar um pouco.

Dissemos que pontos críticos ocorrem em lugares na função onde a derivada não existe e há um ponto em nossa função onde a derivada não existe. Esse é o ponto em que dois 𝑥 mais oito é igual a zero, ou 𝑥 é igual a menos quatro. Agora, como isso estava fora do intervalo fechado, de dois a seis, na verdade, não precisávamos nos preocupar com esse ponto crítico. E poderíamos nos concentrar unicamente nos extremos dos intervalos 𝑓 de dois e 𝑓 de seis.

Em nosso próximo exemplo, veremos como aplicar o processo para encontrar extremos absolutos para funções por partes.

Determine os valores de máximo e mínimo absolutos da função 𝑓 de 𝑥 é igual a seis 𝑥 menos três ao quadrado, se 𝑥 for menor ou igual a dois e dois menos nove 𝑥, se 𝑥 for maior que dois no intervalo fechado de um a seis.

Lembre-se, para encontrar extremos absolutos para funções contínuas, seguimos três passos. Começamos por encontrar pontos críticos no intervalo fechado que estamos observando. Encontramos os valores de nossa função 𝑓 de 𝑥 nesses pontos críticos. E então, nós verificamos os extremos para extremos absolutos, valores que são menores que o mínimo relativo ou maiores que o máximo relativo.

Agora temos um pequeno problema aqui. Esta é uma função por partes. E ainda não sabemos se essa função por partes é contínua. Nós temos uma nota que a função seis 𝑥 menos três todos ao quadrado é contínua, e a função dois menos nove 𝑥 é contínua. Então, o que faremos é considerar que 𝑥 é igual a dois, pode ser um ponto crítico. E para testar isso, vamos calcular a derivada direita e esquerda da nossa função em 𝑥 é igual a dois.

Começaremos calculando a derivada direita de 𝑓 em 𝑥 é igual a dois. Isto é dado pelo limite quando ℎ se aproxima de zero da direita de 𝑓 de dois mais ℎ menos 𝑓 de dois tudo sobre ℎ. Estamos olhando para a derivada do lado direito, por isso, estamos interessados ​​na função que se aplica quando 𝑥 é maior que dois. Isso é 𝑓 de 𝑥 igual a dois menos nove 𝑥.

Então, estamos procurando o limite à medida que ℎ se aproxima de zero à direita de dois menos nove vezes dois mais ℎ menos dois menos nove vezes dois sobre ℎ. Isso é dois menos 18 menos nove ℎ menos dois mais 18 tudo sobre ℎ. Isso rapidamente simplifica para menos nove ℎ sobre ℎ. E depois, simplificamos ainda mais e vemos que estamos procurando o limite quando ℎ tende a zero da direita de menos nove. Mas isso é independente de ℎ, então sabemos que isso vai ser igual a menos nove. E assim, a nossa derivada a direita é menos nove.

Vamos agora repetir este processo para a derivada esquerda. Desta vez, estamos calculando 𝑓 de dois mais ℎ menos 𝑓 de dois sobre ℎ quando ℎ se aproxima de zero da esquerda. Então, estamos interessados ​​na parte de 𝑓 de 𝑥 onde 𝑥 é menor ou igual a dois. Então, temos o limite quando ℎ se aproxima de zero da esquerda de seis vezes dois mais ℎ menos três todos ao quadrado menos seis vezes dois menos três todos ao quadrado tudo sobre ℎ. Isto simplifica para nove mais seis ℎ todos ao quadrado menos nove ao quadrado sobre ℎ.

Depois, se distribuirmos os parênteses, veremos que ficamos com o limite à medida que ℎ se aproxima de zero à esquerda de 108ℎ mais 36ℎ ao quadrado. Nós podemos simplificar um pouco, e isso se torna 108 mais 36ℎ. E então, vemos que à medida que ℎ se aproxima de zero da esquerda, ficamos com 108.

Podemos ver que as nossas derivadas do lado esquerdo e direito não são iguais. E assim, 𝑓 linha de 𝑥, nossa derivada, na verdade não existe em 𝑥 é igual a dois. E assim, sabemos que temos um ponto crítico em 𝑥 igual a dois. E sabemos que precisaremos encontrar 𝑓 de 𝑥 neste momento. Devemos também verificar se há algum ponto crítico em cada parte da nossa função por partes. Então, vamos derivar cada parte em relação a 𝑥 e definir isso como zero.

Podemos usar a regra de potência geral para derivar seis 𝑥 menos três todos ao quadrado em relação a 𝑥. São duas vezes seis 𝑥 menos três. E então, reduzimos o expoente em um. E então, multiplicamos isso pela derivada de seis 𝑥 menos três, que é apenas seis. Então, a derivada desse termo é 12 vezes seis 𝑥 menos três. E a derivada de dois menos nove 𝑥 é menos nove.

Deve ficar bem claro que não há como menos nove ser igual a zero. A derivada dessa parte da nossa função é sempre menos nove. Mas podemos definir 12 vezes seis 𝑥 menos três igual a zero. E quando resolvemos 𝑥, obtemos 𝑥 igual a 0.5. Então, temos mais um ponto crítico em 𝑥 igual a 0.5. Vamos calcular nossa função nos pontos 𝑥 igual a dois e 𝑥 é igual a 0.5 então. Vamos limpar algum espaço.

0.5 é menor que dois, então calculamos a função neste ponto usando seis 𝑥 menos três todos ao quadrado. E quando substituímos 0.5, obtemos zero. Então, 𝑓 de 0.5 é zero. Usamos a mesma parte da nossa função por partes para calcular 𝑓 de dois. E quando fazemos, obtemos 81. Então, encontramos 𝑓 de 𝑥 nos pontos críticos da nossa função. Em seguida, precisamos verificar os extremos.

Estes são 𝑓 de um e 𝑓 de seis. Nós usamos seis 𝑥 menos três todos ao quadrado mais uma vez para calcular 𝑓 de um. E isso nos dá nove. Mas seis é maior que dois. Assim, para calcular 𝑓 de seis, usamos dois menos nove 𝑥 e obtemos menos 52. Podemos ver que o valor máximo absoluto de nossa função é 81 e o valor mínimo absoluto é menos 52. O ponto chave a ser lembrado aqui é que se estamos lidando com uma função por partes, devemos verificar o comportamento no final de cada parte de nossa função. No nosso exemplo final, consideraremos como podemos aplicar ideias sobre como encontrar extremos absolutos para funções exponenciais.

Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos arredondados para duas casas decimais da função 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥, dado que 𝑥 é uma parte do intervalo fechado de zero a quatro.

Lembre-se, para encontrar extremos absolutos para nossa função 𝑓 de 𝑥, seguimos três etapas. Encontramos todos os pontos críticos no nosso intervalo fechado. Nós então encontramos os valores de 𝑓 de 𝑥 nesses pontos críticos. E então, nós verificamos os extremos para os extremos absolutos. Os pontos críticos são os pontos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Então, vamos encontrar a derivada da nossa função e definir ela como zero.

E aqui, notamos que isso em si é o produto de duas funções deriváveis. Então, vamos usar a regra do produto. Isto diz que a derivada do produto de duas funções deriváveis ​​𝑢 e 𝑣 é 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥. Então, vamos deixar 𝑢 ser igual a cinco 𝑥 e 𝑣 ser igual a 𝑒 elevado a menos 𝑥. Então, d𝑢 por d𝑥 é igual a cinco e d𝑣 por d𝑥 𝑥 é igual a menos 𝑒 elevado a menos 𝑥. Isso significa que a derivada de nossa função é cinco 𝑥 vezes menos 𝑒 elevado a menos 𝑥 mais 𝑒 elevado a menos 𝑥 vezes cinco, o que podemos simplificar para cinco 𝑒 elevado a menos 𝑥 vezes um menos seis.

Vamos definir isso igual a zero. Agora não há como cinco 𝑒 elevado a menos 𝑥 ser igual a zero. Assim, para a declaração cinco 𝑒 elevado a menos 𝑥 vezes um menos 𝑥 igual a zero ser verdade, sabemos que um menos 𝑥 em si deve ser igual a zero, o que significa que 𝑥 igual a um é um ponto crítico. Vamos, portanto, calcular nossa função neste ponto crítico e nos extremos da função, então, 𝑓 de um, 𝑓 de zero e 𝑓 de quatro.

𝑓 de um é cinco vezes um vezes 𝑒 elevado a menos um, que é 1.8393 e assim por diante, ou corrigido para duas casas decimais, conforme necessário é 1.84. 𝑓 de zero é zero. E 𝑓 de quatro é cinco vezes quatro vezes 𝑒 elevado a menos quatro, que é 0.37 correto para duas casas decimais. E podemos, portanto, dizer que o valor de máximo absoluto de nossa função é 1.84 e o valor de mínimo absoluto é zero.

Neste vídeo, aprendemos que, se tivermos uma função contínua sobre um intervalo fechado, garantimos que, em algum ponto desse intervalo, tenhamos um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Também vimos que esses valores extremos são obtidos no local ou locais onde ocorrem os extremos locais ou nos extremos do intervalo. Vimos que podemos aplicar essas ideias a funções exponenciais e funções que são produtos e quocientes de outras funções deriváveis, mas precisamos ter cuidado com funções por partes para calcular os extremos de cada parte da função.

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