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Vídeo: Vetores na Resolução de Problemas

Aqui, utilizaremos a notação vetorial para ajudar a encontrar a velocidade no solo e o ângulo do rumo real de um avião, dada a velocidade do ar, o ângulo aparente e a velocidade do vento.

10:35

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, usaremos nosso conhecimento de vetor que aprendemos até agora para solucionar um problema da vida real. E, de fato, o problema será sobre um avião voando e há algum vento atrás dele. Nós temos a velocidade dele no ar e temos que trabalhar a sua velocidade no solo. E vamos usar produto escalar e alguns vetores para representar esse problema e resolvê-lo.

Certo, então aqui está o problema. Um avião está voando em um rumo de cento e vinte graus. Então começamos a olhar para o norte como temos aqui, virando no sentido horário de cento e vinte graus; esta é a direção em que nosso avião está voando. Ele tem uma velocidade de trezentas milhas por hora. Agora, isso significa que ele está viajando a trezentas milhas por hora em relação ao ar ao seu redor. Agora a próxima frase diz que há um vento de cinquenta quilômetros por hora soprando do norte, diretamente para o sul. Então nós temos um vento de cinquenta milhas por hora soprando nessa direção. Portanto, se estiver viajando a trezentas milhas por hora em relação ao vento - em relação ao ar ao redor -, o ar estará viajando para o sul a cinquenta quilômetros por hora para começar. Então esse é um tipo de componente adicional de velocidade que sopra na direção sul - viajando naquela direção para o sul. Agora temos que encontrar o rumo real do avião e sua velocidade no solo.

Então, vamos representar todas essas informações em um diagrama vetorial e, em seguida, usaremos alguns dos nossos conhecimentos em vetores que obtivemos para resolver esse problema. Certo, aqui está nosso diagrama. Nós temos vetor 𝑎 representa a velocidade do ar ou a velocidade do ar da aeronave. Então, é um rumo de cento e vinte graus, como dissemos antes. E a magnitude do vetor 𝑎 será trezentos, porque essa é a velocidade com a qual ele está viajando. Então a magnitude do vetor 𝑎 é de trezentos se movendo nessa direção. Agora, porque o vento está viajando a trinta milhas por hora nessa direção, a velocidade no solo vai ter esse componente extra de velocidade para o sul. Então a velocidade no solo será um pouco maior do que isso e ela estará indo em direção um pouco mais ao sul.

E também estamos tentando encontrar o tamanho desse ângulo aqui; vamos chamar de 𝜃. E se acrescentarmos 𝜃 aos cento e vinte graus que tínhamos aqui em cima, isso nos daria o rumo da velocidade no solo - o rumo real - que a aeronave está seguindo. Agora, o que você pode ver é que temos dois vetores e estamos tentando encontrar o ângulo entre eles. Então, vamos usar produtos escalares de vetores aqui. E também vamos observar magnitudes de vetores. Então, vamos usar algumas dessas habilidades também.

Então, vamos tentar preencher alguns detalhes sobre o vetor 𝑎. Bem, tem uma componente 𝑥, que neste caso é uma direção leste em nosso diagrama. E tem uma componente 𝑦, que neste caso está na direção sul. Então vai ser um número negativo; está indo para baixo na direção negativa de 𝑦. Dissemos que a magnitude do nosso vetor era trezentos porque ele está viajando a trezentas milhas por hora. Então, vamos trabalhar um pouco nesse triângulo que criamos antes de descobrirmos qual é a componente 𝑥 e a componente 𝑦.

Então eu acabei de desenhar o meu oeste, leste e sul e preenchi este ângulo aqui de trinta graus porque o ângulo entre o norte e o leste é de noventa graus, o que deixa trinta graus para este ângulo aqui. Então, apenas olhando para o cosseno disso, nós temos um triângulo retângulo. O cosseno de trinta graus é o lado adjacente sobre a hipotenusa; então isso é 𝑎𝑥 sobre trezentos. Assim, podemos reorganizá-lo para descobrir o que 𝑎𝑥 é, simplesmente multiplicando os dois lados por trezentos. Então 𝑎𝑥 é trezentos cos trinta. E então, cos trinta, é claro, é a raiz de três sobre dois.

Então, quando calculamos tudo isso, a componente leste 𝑎’s da velocidade é cento e cinquenta raiz de três milhas por hora. Ok, vamos ver agora 𝑎𝑦 - a componente 𝑦. E o seno de trinta é o lado oposto da hipotenusa que é 𝑎𝑦 sobre trezentos, que novamente multiplicam os dois lados por trezentos e obtemos trezentos sen trinta. Agora o sen trinta é um meio, então isso equivale a cento e cinquenta. Assim, a velocidade do avião, se você quiser no sentido leste, é de cento e cinquenta raiz de três, e na direção sul, são cento e cinquenta milhas por hora. Então, nós descobrimos quais são as componentes 𝑎 do vetor.

Agora, a única coisa que temos que observar é lembrar de que a direção 𝑦 positiva estaria indo para uma direção mais ao norte. Mas porque estamos indo para o sul, temos uma componente 𝑦 negativa. Assim, cento e cinquenta milhas por hora estão na direção sul. Portanto, em nossa escala, o vetor 𝑎 será este aqui: cento e cinquenta raiz de três, menos cento e cinquenta.

Então, seguindo para o vetor de velocidade no solo, podemos ver que a componente horizontal é exatamente o mesmo que a velocidade no ar. O vento extra soprava apenas na direção sul; por isso não afeta a componente horizontal. Portanto, a componente horizontal - a componente 𝑥 - da velocidade no solo é o mesmo que para a velocidade no ar. Agora, com a componente sul, a componente 𝑦, temos essa velocidade extra de, chutando, trinta milhas por hora. Portanto, temos a velocidade do ar aqui, mas estamos adicionando 30 milhas por hora a isso. Assim, a componente 𝑦 de velocidade no solo será equivalente a cento e cinquenta como a velocidade do ar mais o extra de trinta então cento e oitenta milhas por hora.

E mais uma vez, porque isso é na direção sul, não na direção norte, é a componente 𝑦 negativa, então vai ser menos cento e oitenta milhas por hora então o nosso vetor 𝑔 é cento e cinquenta raiz de três para a componente 𝑥 o mesmo que a velocidade no ar e menos cento e oitenta, aquele extra de trinta milhas por hora, na componente 𝑦.

Então, calculamos nossos vetores de velocidade para a velocidade no ar e velocidade no solo, vetores 𝑎 e 𝑔. E o que precisamos fazer agora é descobrir qual é a magnitude dessa velocidade no solo. Então, vamos tentar encontrar a magnitude de 𝑔. E para fazer isso lembre-se que nós elevamos a componente 𝑥 ao quadrado e adicionamos isso ao quadrado da componente 𝑦. E calculando isso, obtemos a raiz quadrada de noventa e nove mil e novecentos, que é igual a trinta raiz de um um um, se você quiser ser exato sobre ela ou aproximar para uma casa decimal três um seis vírgula um milhas por hora. Assim, a magnitude da velocidade no solo é de trezentos e dezesseis vírgula um milhas por hora, aproximado a uma casa decimal. Então essa é a nossa velocidade no solo. Agora, o que precisamos fazer é calcular o tamanho deste ângulo aqui, de modo que possamos acrescentá-lo a cento e vinte graus e obter o tamanho de nosso rumo.

E para calcular o ângulo, vamos usar o produto escalar dos vetores unitários na direção da velocidade no ar e da velocidade no solo. Então, 𝑎 sobre a magnitude de 𝑎 vezes 𝑔 sobre a magnitude de 𝑔 neste caso. Portanto, a magnitude de 𝑎 é as componentes ao quadrado e somadas e tirar a raiz quadrada disso. Já calculamos a magnitude de 𝑔; então agora podemos simplificar isso. E para calcular esses produtos escalares, vou pegar essa componente e multiplicá-la por essa componente e adicioná-la a essa componente multiplicada por essa componente.

Então é isso que isso nos dá. Lembre-se, porque estamos fazendo produtos escalares, não devemos usar o sinal de multiplicação cruzada; precisamos ser consistentes e usar esses pontos para multiplicar os números. Então, temos apenas um denominador comum que já multiplica esses números e adicioná-los nos dá vinte e um sobre dois raiz de um um um. Então, o que estamos dizendo é que este cos 𝜃 aqui é igual a vinte e um sobre dois raiz de um um um. Então, se eu fizer cos elevado a menos um, isso me dirá o que 𝜃 é.

E a uma casa decimal que nos dá quatro vírgula sete graus. Agora, vale a pena mencionar que, neste momento, não tenho arredondado esses números como o que tenho seguido; tenho tentado mantê-los em formato de raiz - formato raiz - apenas para manter a precisão na pergunta o maior tempo possível. Por isso, nem sempre é possível fazer isso porque você sabe que alguns números não são tão fáceis; a calculadora não consegue lidar com eles nesse formato. Mas, se puderem, é melhor trabalhar nesse formato pelo maior tempo possível. Agora lembre-se da nossa pergunta, então acabamos de descobrir isso aqui. Então, temos que acrescentar isso a cento e vinte para descobrir qual era o rumo real. Então, isso vai nos dar uma resposta de cento e vinte e quatro vírgula e sete graus Então, nós temos isso. Nossas respostas foram trezentos e dezesseis vírgula um milhas por hora, aproximado a uma casa decimal para a velocidade no solo e cento e vinte e quatro vírgula sete graus, aproximado a uma casa decimal para o rumo.

Então, vamos recapitular algumas dicas enquanto trabalhamos. Sempre vale a pena fazer um diagrama, de modo que definitivamente nos ajudou fazer um diagrama. Nós representamos a velocidade no ar e a velocidade do solo como vetores, o que se mostrou bastante útil. Fomos capazes de calcular a magnitude do vetor 𝑔 com bastante facilidade usando apenas o teorema de Pitágoras. Nós estávamos tentando manter nossos valores em formato raiz - nesse formato de raiz - na medida do possível para manter os números tão precisos quanto possível também. E nós também fomos capazes de usar o cos 𝜃 igual ao produto escalar do vetor unitário em cada direção para calcular o ângulo entre esses dois vetores. Então, espero que isso lhe dê um pouco mais de conhecimento sobre o uso de vetores para resolver alguns problemas.