Transcrição do vídeo
Neste vídeo, aprenderemos como utilizar as regras de potências negativas e fracionárias para resolver problemas algébricos. Para nos ajudar a entender estas regras, vamos começar por recordar as regras da multiplicação e da divisão de potências. Aqui temos as regras para a multiplicação e a divisão de potências. Para valores de 𝑚 e 𝑛 nos números reais, podemos multiplicar potências com a mesma base e fazemos isto adicionando os seus expoentes. Então, para dividir as potências que têm a mesma base, subtraímos os seus expoentes. Desta vez, 𝑎 deve ser um valor diferente de zero. Agora, como 𝑚 e 𝑛 podem ser quaisquer valores reais, estas regras também se aplicam a expoentes negativos e fracionários. Vamos considerar o que acontece quando modificamos estas regras para obter um expoente negativo.
Utilizando a regra da divisão, vamos considerar o valor de 𝑚 igual a zero. Então, teremos 𝑎 elevado a zero dividido por 𝑎 elevado a 𝑛. Utilizando esta regra das potências, podemos escrever isto como 𝑎 elevado a zero menos 𝑛. Isto é equivalente a 𝑎 elevado a menos 𝑛. Então, vamos considerar o que acabámos de descobrir, utilizando o facto de que 𝑎 elevado a zero é igual a um. É o facto de que um dividido por 𝑎 elevado a 𝑛 ou um sobre 𝑎 elevado a 𝑛 é igual a 𝑎 elevado a menos 𝑛. Podemos adicionar isto às regras das potências como regra para expoentes negativos. Observe que aqui 𝑚 e 𝑛 são ainda valores nos números reais e 𝑎 é diferente de zero.
No primeiro exemplo, veremos como podemos aplicar esta regra das potências.
Qual das opções seguintes é igual a menos 10 sobre nove 𝑥 elevado a menos dois 𝑦 elevado a menos sete? Opção (A) menos nove sobre 10𝑥 ao quadrado elevado a sete. Opção (B) menos 10 sobre nove 𝑥 elevado a sete 𝑦 ao quadrado. Opção (C) menos 10 sobre nove 𝑥 ao quadrado 𝑦 elevado a sete. Ou a opção (D) menos 10𝑥 ao quadrado elevado a sete sobre nove.
Nesta questão, temos alguns expoentes negativos. E, portanto, seria útil lembrar a regra das potências para expoentes negativos. Esta regra afirma que 𝑎 elevado a menos 𝑛 é igual a um sobre 𝑎 elevado a 𝑛 para qualquer 𝑎 diferente de zero. Como 𝑥 e 𝑦 têm expoentes negativos aqui, podemos aplicar a regra a ambas as variáveis. Para 𝑥 elevado a menos dois, podemos substituir 𝑎 igual a 𝑥 e 𝑛 igual a dois. Portanto, 𝑥 elevado a menos dois é igual a um sobre 𝑥 ao quadrado. Da mesma forma, para 𝑦 elevado a menos sete, isto significa que 𝑎 é igual a 𝑦 e 𝑛 é igual a sete. Portanto, 𝑦 elevado a menos sete é igual a um sobre 𝑦 elevado a sete.
Podemos então substituir estes valores na expressão. Isto dá-nos menos 10 sobre nove vezes um sobre 𝑥 ao quadrado vezes um sobre 𝑦 elevado a sete. E quando multiplicamos frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores. A expressão é, portanto, igual a menos 10 sobre nove 𝑥 ao quadrado 𝑦 elevado a sete, que foi a resposta dada na opção (C).
No próximo exemplo, utilizaremos a regra as potências para expoentes negativos, bem como a regra da divisão para potências.
Verdadeiro ou falso: a forma simplificada de 𝑥 elevado a menos quatro sobre 𝑥 elevado a menos dois é um sobre 𝑥 ao quadrado.
Uma maneira de simplificar esta expressão é utilizando a regra da divisão para potências. Esta regra diz-nos que se estivermos a dividir dois expoentes, neste caso 𝑎 elevado a 𝑚 dividido por 𝑎 elevado a 𝑛, subtraímos estes expoentes de modo que obtemos 𝑎 elevado a 𝑚 menos 𝑛 para qualquer 𝑎 que seja diferente de zero. E sabemos que este valor de 𝑥 elevado a menos quatro ou 𝑥 elevado a menos quatro sobre 𝑥 elevado a menos dois é igual a 𝑥 elevado a menos quatro dividido por 𝑥 elevado a menos dois. Utilizando a regra das potências com 𝑚 igual a menos quatro e 𝑛 igual a menos dois, teremos 𝑥 elevado a menos quatro menos menos dois. Isto simplifica para 𝑥 elevado a menos dois.
Esta é uma equivalência perfeitamente válida, mas não corresponde à forma que nos foi dada na questão. No entanto, devemos lembrar que existe outra regra das potências para expoentes negativos, que afirma que 𝑎 elevado a menos 𝑛 é igual a um sobre 𝑎 elevado a 𝑛 para um valor diferente de zero 𝑎. Portanto, este valor de 𝑥 elevado a menos dois é realmente igual a um sobre 𝑥 ao quadrado. Está a utilizar um valor de 𝑛 igual a dois. Então, o que fizemos aqui foi descobrir que esta expressão 𝑥 elevado a menos quatro sobre 𝑥 elevado a menos dois é de facto equivalente a um sobre 𝑥 ao quadrado. E assim a afirmação da questão é verdadeira.
Mas também há outra maneira na qual poderíamos ter manipulado esta expressão para chegar à mesma conclusão. Neste método alternativo, começaremos por aplicar esta regra para expoentes negativos primeiro. Quando fazemos isto e pegamos no numerador desta expressão primeiro, podemos dizer que isto é equivalente a um sobre 𝑥 elevado a quatro. O denominador de 𝑥 elevado a menos dois é equivalente a um sobre 𝑥 ao quadrado. Simplificar isto é mais fácil se recordarmos que uma fração é o mesmo que uma divisão. Então, isto será igual a um sobre 𝑥 elevado a quatro dividido por um sobre 𝑥 elevado a segundo.
Dividimos duas frações multiplicando pelo inverso da segunda fração. Então, ficamos com 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 elevado a quatro. Para simplificar ainda mais, poderemos aplicar a primeira regra que vimos nesta questão. Com um valor de 𝑚 igual a dois e 𝑛 igual a quatro, teremos 𝑥 elevado a dois menos quatro. E, claro, dois menos quatro é menos dois. E então podemos reescrever isto utilizando a nossa regra para expoentes negativos como um sobre 𝑥 ao quadrado. E assim, confirmamos que a afirmação da questão é verdadeira.
Antes de examinarmos mais exemplos, vamos recapitular mais algumas regras das potências. Estas regras das potências dizem-nos que para qualquer 𝑚 e 𝑛 no conjunto dos números reais, temos que 𝑎 elevado a 𝑚 elevado a 𝑛 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚𝑛. 𝑎𝑏 elevado a 𝑚 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 vezes 𝑏 elevado a 𝑚. E em terceiro lugar, 𝑎 sobre 𝑏 elevado a 𝑚 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 sobre 𝑏 elevado a 𝑚, onde 𝑏 é diferente de zero.
Vamos ver como podemos aplicar estas regras das potências nos exemplos seguintes.
Simplifique 𝑚 sobre 𝑛 elevado a menos um tudo elevado a menos três vezes dois 𝑚 elevado a menos dois sobre 𝑛 elevado a menos dois elevado a menos três.
Para simplificar esta expressão, precisaremos de algumas regras das potências. Como temos frações elevadas a uma potência, podemos utilizar uma das regras das potências, que nos diz que 𝑎 sobre 𝑏 elevado a 𝑚 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 sobre 𝑏 elevado a 𝑚, onde 𝑏 é diferente de zero e 𝑚 está nos números reais. Então, vamos aplicar esta regra à primeira parte da expressão. Como temos esta fração elevada a menos três, sabemos que isto será equivalente ao numerador elevado a menos três num denominador elevado a menos três. No entanto, para simplificar o denominador de 𝑛 elevado a menos um elevado a menos três, precisaremos de outra regra das potências.
A regra de que precisamos é uma das regras das potências, que nos diz que 𝑎 elevado a 𝑚 elevado a 𝑛 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 vezes 𝑛. Tomamos os dois expoentes de menos um e menos três e multiplicamo-los. E sabemos que menos um multiplicado por menos três é três. Agora simplificamos esta parte da expressão para 𝑚 elevado a menos três sobre 𝑛 elevado a três. Vamos ver se podemos simplificar a segunda parte desta expressão da mesma maneira.
A primeira coisa que podemos fazer é aplicar esta regra das potências para frações. Portanto, o numerador será equivalente a dois 𝑚 elevado a menos dois elevado a menos três. E o denominador será 𝑛 elevado a menos dois elevado a menos três. Para simplificar o numerador desta fração, precisaremos de recordar outra regra das potências. Esta regra das potências diz-nos que 𝑎𝑏 elevado a 𝑚 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 vezes 𝑏 elevado a 𝑚, onde 𝑚 está no conjunto dos números reais. O numerador desta fração será, portanto, simplificado para dois elevado a menos três vezes 𝑚 elevado a menos dois elevado a menos três. Também podemos simplificar o denominador, lembrando que podemos utilizar esta segunda regra das potências aqui para multiplicar os expoentes. E menos dois vezes menos três nos dá seis, então o denominador se tornará 𝑛 elevado a seis.
A próxima etapa do nosso trabalho será simplificar esta parte da expressão, 𝑚 elevado a menos dois elevado a menos três. Assim como antes, podemos multiplicar estes expoentes. Portanto, temos 𝑚 elevado a menos dois vezes menos três. E sabemos que menos dois vezes menos três é seis. Agora, poderemos potencialmente simplificar um pouco mais esta expressão, lidando com o dois elevado a menos três. Mas, por enquanto, vamos substituir estes valores a laranja e rosa para as partes da expressão. Quando os multiplicamos, temos 𝑚 elevado a menos três sobre 𝑛 elevado a três vezes dois elevado a menos três 𝑚 elevado a seis sobre 𝑛 elevado a seis.
Sabemos que quando multiplicamos frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores. Podemos então notar que no numerador, temos dois valores da mesma base de 𝑚. E há uma regra das potências para nos ajudar a resolver isto. Esta regra diz-nos que 𝑎 elevado a 𝑚 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 mais 𝑛. Obviamente, os valores que estamos a utilizar na questão de 𝑚 e 𝑛 não são os mesmos valores que utilizamos nestas regras das potências. E assim no numerador, adicionaremos os dois expoentes para 𝑚 de menos três e seis. Portanto, temos dois elevado a menos três vezes 𝑚 elevado a menos três mais seis no numerador. No denominador, adicionamos os expoentes três e seis de 𝑛. Portanto, temos 𝑛 elevado a três mais seis.
Nesta altura, simplificamos as variáveis de 𝑚 e 𝑛 o máximo que podemos. Mas vamos ver se podemos fazer algo para simplificar este dois elevado a menos três. E podemos utilizar uma regra das potências final para expoentes negativos. Esta regra diz-nos que 𝑎 elevado a menos 𝑛 é igual a um sobre 𝑎 elevado a 𝑛. Isto significa que dois elevado a menos três pode ser escrito como um sobre dois ao cubo. Devemos recordar que dois ao cubo é igual a dois vezes dois vezes dois, e isto é oito. Então, dois elevado a menos três é igual a um sobre oito. E quando inserimos um oitavo no lugar de dois elevado a menos três, temos a expressão 𝑚 ao cubo sobre oito 𝑛 elevado a nove. E esta é a resposta. Simplificamos a expressão dada o máximo possível para dar 𝑚 ao cubo sobre oito 𝑛 elevado a nove.
Vamos agora ver um exemplo final.
Simplifique a expressão 𝑥 elevado a oito sobre 𝑦 elevado a menos quatro tudo elevado a um meio.
Para simplificar esta expressão, podemos começar com a regra das potências das frações, que nos diz que 𝑎 sobre 𝑏 elevado a 𝑚 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 sobre 𝑏 elevado a 𝑚. Podemos, portanto, escrever que esta expressão é igual a 𝑥 elevado a oito elevado a um meio sobre 𝑦 elevado a menos quatro elevado a um meio. Para simplificar as potências no numerador e no denominador, podemos aplicar uma segunda regra das potências. Multiplicamos os expoentes no numerador oito e meio e os expoentes no denominador menos quatro e meio. Isto dá-nos 𝑥 elevado a quatro sobre 𝑦 elevado a menos dois. Embora esta seja uma expressão perfeitamente válida e totalmente simplificada, é comum dar expoentes negativos em vez de expoentes positivos.
Lembramos que 𝑎 elevado a menos 𝑛 é igual a um sobre 𝑎 elevado a 𝑛, onde 𝑎 é diferente de zero. Isto significa que podemos escrever a nossa expressão como 𝑥 elevado a quatro sobre um sobre 𝑦 ao quadrado. Podemos simplificar esta fração dentro de uma fração, lembrando que as frações são todas sobre divisão. O que realmente temos aqui é a expressão 𝑥 elevado a quatro dividido por um sobre 𝑦 ao quadrado. Lembramos que, para realizar uma divisão por uma fração, multiplicamos pelo seu inverso. Isto significa que temos 𝑥 elevado a quatro multiplicado por 𝑦 ao quadrado. E assim a resposta é que a expressão dada na questão pode ser simplificada para 𝑥 elevado a quatro 𝑦 ao quadrado.
Antes de terminarmos este vídeo, existem mais duas regras das potências que precisamos de saber. Estas são relativos a índices fracionários. A primeira regra diz-nos que 𝑎 elevado a um sobre 𝑛 é igual à raiz 𝑛 de 𝑎 para qualquer valor de 𝑎 maior ou igual a zero e qualquer número inteiro positivo 𝑛. Também podemos estender isto para nos dar uma segunda regra de que 𝑎 elevado a 𝑚 sobre 𝑛 é igual à 𝑛 -ésima raiz de 𝑎 elevado a 𝑚. E isto também é equivalente à raiz 𝑛 de 𝑎 elevado a 𝑚. Estas duas regras são particularmente úteis quando estamos a utilizar valores numéricos em vez de valores algébricos.
Mas agora vamos resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos que as regras para multiplicação, divisão e potências de potências também se aplicam a expoentes fracionários e negativos. Vimos então que a regra das potências para expoentes negativos é um sobre 𝑎 elevado a 𝑛 é igual a 𝑎 elevado a menos 𝑛 para valores diferentes de zero de 𝑎. E, finalmente, terminamos com duas regras das potências para índices fracionários. Vale a pena observar todas estas regras das potências, pois muitas vezes somos obrigados a aprendê-las para os exames.
