Vídeo: Simplificando a Expressão Trigonométrica Utilizando Identidades Pitagóricas e Quocientes

Simplifique sen 𝜃 cos 𝜃 (tan 𝜃 + cot 𝜃).

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Transcrição do vídeo

Simplifique sen 𝜃 vezes cos 𝜃 vezes tan 𝜃 mais cot 𝜃.

Então, primeiro, apenas copiamos a expressão que precisamos simplificar da questão. Existem seis funções trigonométricas que costumamos utilizar: sen, cos, tan, csc, sec e cot. E todas elas podem ser escritas só em termos de sen e cos. E é útil fazer isso quando estamos a simplificar, por isso vamos utilizar estas relações para escrever a nossa expressão que temos que simplificar em termos de apenas sen e cos.

Bem, obviamente, com sen e cos 𝜃, não temos nada para fazer, mas temos que fazer algo com tan 𝜃. Podemos reescrever tan 𝜃 como sen 𝜃 sobre cos 𝜃, assim.

Nós podemos fazer o mesmo para o cot 𝜃; cot 𝜃 é igual a cos 𝜃 sobre o sen 𝜃, assim. E agora podemos ver que na nossa expressão precisamos de simplificar está escrita apenas em termos de sen e cos.

Aqui temos a soma das frações, que gostaríamos de simplificar combinando-as numa fração, e isso requer encontrar um denominador comum. Podemos ver que cos 𝜃 sen 𝜃 funcionará. Com este denominador comum, a primeira fração torna-se sen 𝜃 vezes sen 𝜃 sobre cos 𝜃 vezes sen 𝜃.

E a segunda fração fica cos 𝜃 vezes cos 𝜃 sobre cos 𝜃 vezes sen 𝜃. E podemos combinar estas duas frações agora que têm um denominador comum, cos 𝜃 sen 𝜃, para obter sen 𝜃 sen 𝜃 mais cos 𝜃 cos 𝜃 sobre cos 𝜃 sen 𝜃.

Podemos fazer alguns anulamentos aqui. Estamos a multiplicar por cos 𝜃 e depois a dividir por ele, e semelhantemente estamos a multiplicar por sen 𝜃 e depois a dividir por ele. E assim ficamos com o sen 𝜃 sen 𝜃 mais cos 𝜃 cos 𝜃, que podemos escrever como sen quadrado 𝜃 mais cos quadrado 𝜃.

E nós reconhecemos esta linha porque é parte de uma identidade famosa: sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um. Depois de toda esta simplificação, temos uma resposta muito simples: sen 𝜃 vezes cos 𝜃 vezes tan 𝜃 mais cot 𝜃 é igual a um.

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