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Vídeo: Uma Forma Fácil Complexa de Descobrir o Tesouro

Neste vídeo nós vamos aprender como utilizar números complexos para resolver um mistério do mapa do tesouro.

11:54

Transcrição do vídeo

Há um velho quebra-cabeça de um tesouro enterrado que acaba por ser bastante fácil de resolver se souber alguma coisa sobre números complexos. Neste vídeo, vamos ver uma maneira complexa fácil de descobrir algum tesouro. O temido pirata Barba de Tiras Verde e Laranja enterrou o seu tesouro numa pequena ilha deserta com um pinheiro e um louro e uma lápide próximos. E depois deixou algumas instruções simples para o seu neto Nigel descobrir o local onde o tesouro estava enterrado.

Começa na lápide e caminha em linha reta até à árvore da baía. Roda 90 graus em sentido horário e percorre a mesma distância novamente. Em seguida, assinala o local. Volta para a lápide e segue em frente até ao pinheiro. Roda 90 graus em sentido anti-horário, percorre a mesma distância novamente e assinala o local.

O tesouro está no ponto médio dos dois pontos que marcou. Infelizmente, antes que Nigel chegasse à ilha para recuperar o tesouro, alguns ladrões de túmulos literalmente roubaram o túmulo, incluindo a lápide. Então, como é que Nigel vai encontrar o seu tesouro agora que não tem o ponto de partida para trabalhar? É importante ressaltar que este quebra-cabeça foi criado numa época anterior à fotografia por drones e ao radar de penetração no solo que poderiam dar-lhe algumas pistas.

E ele não foi capaz de obter qualquer maquinaria pesada para escavar vastas áreas aleatoriamente. Ele tem uma pá e quer ir diretamente para o tesouro e desenterrá-lo. E também vale a pena ressaltar que Barba de Tiras Verde e Laranja escolheu o pinheiro e a árvore da baía porque elas eram únicas na ilha e seriam fáceis de representar num mapa simples. Uma assemelha-se a um triângulo e a outra assemelha-se a um círculo.

Ele não levou em conta o facto de que ambas se parecem com um círculo quando representadas no plano. Mas não nos vamos prender a pequenos detalhes como este. Faça pausa no vídeo agora e tente resolver o quebra-cabeça de como Nigel pode descobrir o tesouro do Barba de Tiras Verde e Laranja e, em seguida, digo-lhe uma maneira.

A-har! Yo ho ho! Quem roubou o meu chapéu de pirata? Outras coisas piratas ...

Ok, a nossa primeira tática pode ser desenhar um mapa simples, escolher um ponto aleatório para a lápide e seguir as instruções para ver onde o leva. Bem, aqui está o pinheiro e aqui está a árvore da baía. Vamos colocar aleatoriamente a lápide aqui e depois seguir as instruções. Caminhe em linha reta até ao louro. Rode 90 graus em sentido horário. Caminhe a mesma distância novamente. E então marque este ponto.

Depois, regresse à lápide. Caminhe em linha reta para o pinheiro. Rode 90 graus em sentido anti-horário. Caminhe a mesma distância novamente e marque este ponto. Em seguida, determine o ponto médio destes dois pontos e é aí que estará o seu tesouro. E quando fizer isto algumas vezes mais, perceberá algo interessante. Talvez já tenha tentado esta abordagem. Mas se não o tiver feito, poderá querer parar o vídeo novamente e tentar por si mesmo antes de falar sobre isso.

Vamos fazer uma segunda demonstração. Desta vez colocámos a lápide aqui. Caminhe em linha reta para árvore da baía. Rode 90 graus em sentido horário. Caminhe a mesma distância novamente. E marque o local. Volte para a lápide. Caminhe até o pinheiro. Rode 90 graus em sentido anti-horário. Caminhe a mesma distância novamente. E marque este ponto. Então, quando determinar o ponto médio destes dois pontos, é onde o tesouro estará escondido. Interessante, o local do tesouro está no mesmo lugar.

Isto é apenas uma coincidência? Porque, se não for, então não importa onde começamos. Terminaremos sempre no mesmo local se seguirmos as instruções. Obviamente, temos que ser um pouco cuidadosos sobre onde começamos ou teremos que marcar um ponto no mar, o que não será fácil. Mas podemos encontrar uma maneira de provar que, onde quer que a lápide estivesse, encontraremos sempre o tesouro se seguirmos as instruções?

Bem, existem várias, mas vamos utilizar números complexos para explorar uma maneira. Vamos desenhar uma linha entre o pinheiro e a árvore da baía. A seguir, vamos rodar um pouco a nossa visão da ilha e chamá-la de eixo real num plano complexo. Agora podemos tomar o ponto médio entre as árvores e chamá-lo de origem, depois desenhar um eixo imaginário.

Em seguida, se definirmos a nossa unidade como a distância da origem até à árvore da baía, podemos representar a localização da árvore da baía como o número complexo um mais zero 𝑖 naquele plano e a posição do pinheiro como menos um mais zero 𝑖. Agora vamos escolher um ponto arbitrário para a lápide. Vamos chamá-lo 𝐺. E enquanto estamos nisto, vamos designar os pontos onde as árvores estão por 𝑃 para o pinheiro e 𝐵 para a árvore da baía. E vamos representar a posição de 𝐺 com o número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖.

Este número tem uma componente real de 𝑎 vezes a distância da origem até à árvore da baía e uma componente imaginária de 𝑏 vezes a distância da origem até à árvore da baía. As instruções da caça ao tesouro disseram-nos para começar em 𝐺 e caminhar até 𝐵 então vamos representar isso na forma de vetor no nosso plano complexo. Bem, para ir de 𝐺 para 𝐵, a componente real muda de 𝑎 para um. Portanto, essa componente vetorial é um menos 𝑎, a diferença entre um e 𝑎. E a componente imaginária muda de 𝑏𝑖 para zero, que pode ser escrita zero 𝑖 menos 𝑏𝑖 e simplificada apenas como menos 𝑏𝑖.

Assim, o vetor 𝐺𝐵 pode ser escrito como um menos 𝑎 mais menos 𝑏𝑖 ou mesmo um menos 𝑎 menos 𝑏𝑖. Em seguida, temos que rodar 90 graus em sentido horário e percorrer a mesma distância novamente. Agora, no plano complexo, basta multiplicar um vetor por menos 𝑖 para rodá-lo 90 graus em sentido horário. Então vamos fazer isso. Menos 𝑖 vezes 𝐺𝐵 é igual a menos 𝑖 vezes um menos 𝑎 menos 𝑏𝑖. E quando multiplico por menos 𝑖, eu tenho menos um menos 𝑎𝑖 mais 𝑏𝑖 ao quadrado.

Agora lembre-se, 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então, este último termo acaba por se tornar menos 𝑏. Agora vamos colocar a componente real primeiro e a componente imaginário em segundo para ter menos 𝑏 menos um menos 𝑎 𝑖. Na verdade, eu não gosto de todos estes sinais negativos por aqui. Então, vou escrever isto como menos 𝑏 mais 𝑎 menos um 𝑖. Mas este vetor representa apenas um movimento no plano complexo, uma direção que é de 90 graus em sentido horário, rodada a partir do vetor 𝐺𝐵 e o mesmo comprimento ou distância do vetor 𝐺𝐵.

Precisamos de colocar este vetor de modo que o seu ponto inicial esteja na árvore da baía. E a seguir podemos determinar o seu ponto final ou terminal para nos dizer onde marcar um ponto no solo. Vamos chamá-lo 𝐵 linha. O nosso vetor, menos 𝑏 mais 𝑎 menos um 𝑖, pode ser chamado de vetor 𝐵𝐵 linha ou este vetor aqui. Então, para encontrar o vetor posição de 𝐵 linha, precisamos de iniciar na origem e especificar o vetor que nos leva ao ponto 𝐵 linha.

Agora, para fazer isso, vamos percorrer de 𝑂 para 𝐵 e depois de 𝐵 para 𝐵 linha. Assim, o vetor 𝑂𝐵 linha é igual ao vetor 𝑂𝐵 mais o vetor 𝐵𝐵 linha. E lembre-se, nós apenas elaboramos uma expressão para o vetor 𝐵𝐵 linha. O vetor 𝑂𝐵 era um mais zero 𝑖 e o vetor 𝐵𝐵 linha era menos 𝑏 mais 𝑎 menos um 𝑖. Então, retirando as componentes reais, temos um menos 𝑏 e as componentes imaginárias zero 𝑖 e 𝑎 menos um 𝑖.

Assim, o vetor posição para o ponto 𝐵 linha simplifica para um menos 𝑏 mais 𝑎 menos um 𝑖. Ora, vamos anotar isso aqui. E agora podemos fazer um processo semelhante para descobrir onde o ponto 𝑃 linha está após começar em 𝐺, andar em linha reta para 𝑃, rodar 90 graus desta vez em sentido anti-horário e caminhar novamente a mesma distância naquela direção. Então vamos voltar para a lápide e caminhar em linha reta em direção a um ponto 𝑃.

E a componente real de 𝐺P é a diferença entre menos um e 𝑎, que é menos um menos 𝑎 ou simplesmente menos 𝑎 mais um. E a sua componente imaginária é a diferença entre zero 𝑖 e 𝑏𝑖, que é zero 𝑖 menos 𝑏𝑖 ou simplesmente menos 𝑏𝑖. Então, temos esta expressão para o vetor 𝐺𝑃: menos 𝑎 mais um mais menos 𝑏𝑖 ou simplesmente menos 𝑎 mais um menos 𝑏𝑖. Em seguida, para executar uma rotação de 90 graus em sentido anti-horário, basta multiplicar isto por 𝑖, o que nos dá 𝑖 vezes 𝐺𝑃 é igual a 𝑖 vezes menos 𝑎 mais um menos 𝑏𝑖.

E multiplicar por 𝑖 dá-nos menos 𝑎 mais um 𝑖 menos 𝑏𝑖 ao quadrado. Bem, novamente, 𝑖 ao quadrado é menos um. Então temos menos 𝑏 vezes menos um, o que é mais 𝑏. Em seguida, trocando a posição destes para colocar a componente real primeiro, temos 𝑖 vezes 𝐺𝑃 é 𝑏 menos 𝑎 mais um 𝑖. E assim, tal como no vetor 𝐵𝐵 linha, isto representa a direção e o comprimento do vetor 𝑃𝑃 linha. E quando desenhamos isto no nosso esquema, passa perfeitamente bem pelo nosso trabalho. Mas, diz-nos que 𝑃 linha está aqui embaixo.

E, tal como dantes, para calcular o vetor posição de 𝑃 linha, vou de 𝑂 para 𝑃 e, em seguida, de 𝑃 para 𝑃 linha. Assim, o vetor posição de 𝑃 linha é igual ao vetor posição do pinheiro mais o vetor 𝑃𝑃 linha. Então isso é menos um mais zero 𝑖, a posição do pinheiro, mais 𝑏 menos 𝑎 mais um 𝑖. Tomando as componentes reais, temos menos um mais 𝑏 e as componentes imaginárias zero mais menos 𝑎 mais um 𝑖. Aqui, em vez de escrever menos um mais 𝑏, vou escrever isto como 𝑏 menos um.

Portanto, este é o vetor posição para 𝑃 linha. E vamos anotar isso aqui. Agora só precisamos de determinar o ponto médio entre 𝐵 linha e 𝑃 linha para encontrar o tesouro. E para fazer isso, precisamos apenas de calcular a média destes dois vetores posição. Basta juntá-los e dividir por dois. E isso significa que temos que simplificar isto: um menos 𝑏 mais 𝑎 menos um 𝑖 mais 𝑏 menos um menos 𝑎 mais um 𝑖 em dois. Então, pensando nas componentes reais primeiro, temos apenas menos 𝑏 mais 𝑏 menos um. Bem, um menos um é zero e menos 𝑏 mais 𝑏 não é zero. Então isto simplifica para zero.

E colocando as componentes imaginárias em segundo lugar, tomando cuidado para lembrar que isto é menos 𝑎 menos um, temos 𝑎 menos 𝑎 que é zero. Mas desta vez temos menos um menos um, que é menos dois. Portanto, isto pode ser simplificado para zero na parte real mais menos dois sobre dois 𝑖. E claro que menos dois sobre dois simplifica para menos um. Então, isto é zero mais menos 𝑖, o que obviamente é zero menos 𝑖 ou apenas menos 𝑖. Então, no nosso mapa, o tesouro está em zero menos 𝑖.

Portanto, é uma unidade na direção negativa do eixo imaginário, o que significa que esta distância aqui é a mesma que esta distância aqui. Mas, mais importante, é completamente independente de 𝑎 e 𝑏. Não importa onde começamos a nossa pequena jornada. Terminamos sempre em zero menos 𝑖. Assim, depois de um pouco de análise matemática do problema, criamos um novo método mais fácil para encontrar o tesouro. Está na bissetriz perpendicular ao segmento de reta entre as duas árvores a uma distância de metade da distância entre as árvores e o segmento de reta, com a árvore da baía à direita, conforme se pode observar. Feliz Caça ao Tesouro!